Prodloužení prstenu - Ring extension

v algebra, a prodloužení kroužku a prsten R podle abelianská skupina Já je pár (E, ${ displaystyle phi}$) sestávající z prstenu E a a kruhový homomorfismus ${ displaystyle phi}$ který zapadá do krátká přesná sekvence abelianských skupin:

${ displaystyle 0 to I to E { overset { phi} {{} to {}}} R na 0.}$

Poznámka Já je pak a oboustranný ideál z E. Vzhledem k tomu, komutativní prsten A, an A-rozšíření je definován stejným způsobem nahrazením „zazvonit“ za „algebra přes A„a„ abelianské skupiny “s„A-moduly ".

Rozšíření se říká, že je triviální -li ${ displaystyle phi}$ rozděluje; tj., ${ displaystyle phi}$ připouští a sekce to je homomorfismus algebry.

A morfismus mezi rozšířeními R podle Já, řekněme A, je homomorfismus algebry E → E' který vyvolává identity Já a R. Podle pět lemmat, takový morfismus je nutně izomorfismus, a tak jsou dvě rozšíření ekvivalentní, pokud mezi nimi existuje morfismus.

Příklad: Nechte R být komutativní prsten a M an R-modul. Nechat E = R ⊕ M být přímý součet abelianských skupin. Definujte násobení na E podle

${ displaystyle (a, x) cdot (b, y) = (ab, ay + bx).}$

Všimněte si, že identifikace (A, X) s A + εx kde ε čtverce na nulu a rozšiřující se (A + εx)(b + např) poskytuje výše uvedený vzorec; zvláště to vidíme E je prsten. Pak máme krátkou přesnou sekvenci

${ displaystyle 0 až M až E { přesahující {p} {{} až {}}} R až 0}$

kde str je projekce. Proto, E je příponou R podle M. Jednou zajímavou vlastností této konstrukce je, že modul M se stává ideálem nějakého nového prstenu. Nagata ve svých „místních kruzích“ tento proces nazývá princip idealizace.

Reference

• E. Sernesi: Deformace algebraických schémat

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.