Poincaré mapa - Poincaré map

Dvourozměrná Poincaré část nucených Tlumící rovnice

v matematika, zejména v dynamické systémy, a mapa prvního opakování nebo Poincaré mapa, pojmenoval podle Henri Poincaré, je křižovatkou a periodická oběžná dráha v státní prostor a spojitý dynamický systém s určitým nižším dimenzionálním podprostorem, nazývaným Sekce Poincaré, příčný do tok systému. Přesněji řečeno, uvažujeme o periodické dráze s počátečními podmínkami v části prostoru, která poté tuto část opouští, a pozorujeme bod, ve kterém se tato dráha nejprve vrací do sekce. Jeden pak vytvoří a mapa poslat první bod druhému, odtud název mapa prvního opakování. Transverzálnost Poincarého úseku znamená, že jím protékají pravidelné oběžné dráhy, které začínají subprostorem a nejsou s ním rovnoběžné.^{[Citace je zapotřebí ]}

Mapu Poincaré lze interpretovat jako a diskrétní dynamický systém se stavovým prostorem, který je o jednu dimenzi menší než původní spojitý dynamický systém. Protože zachovává mnoho vlastností periodických a kvaziperiodických oběžných drah původního systému a má stavový prostor nižší dimenze, často se používá pro analýzu původního systému jednodušším způsobem.^{[Citace je zapotřebí ]} V praxi to není vždy možné, protože neexistuje obecná metoda konstrukce Poincarého mapy.

Mapa Poincaré se liší od a rekurentní spiknutí v tomto prostoru, ne v čase, určuje, kdy se má vykreslit bod. Například místo Měsíce, když je Země na přísluní je rekurentní spiknutí; místo Měsíce, když prochází rovinou kolmou na oběžnou dráhu Země a prochází Sluncem a Zemí v perihelionu, je mapa Poincaré.^{[Citace je zapotřebí ]} To bylo používáno Michel Hénon studovat pohyb hvězd v a galaxie, protože dráha hvězdy promítnutá do letadla vypadá jako zamotaný nepořádek, zatímco mapa Poincaré ukazuje strukturu jasněji.

Definice

V sekci Poincaré S, mapa Poincaré P projekty ukazují X do bodu P(X).

Nechť (R, M, φ) být a globální dynamický systém, s R the reálná čísla, M the fázový prostor a φ the evoluční funkce. Nechť γ je a periodická oběžná dráha skrz bod str a S být místní diferencovatelnou a příčnou částí φ přes str, nazvaný a Sekce Poincaré přes str.

Vzhledem k tomu, otevřené a připojené sousedství ${ displaystyle U podmnožina S}$ z str, a funkce

{ displaystyle P: U to S}

je nazýván Poincaré mapa pro oběžnou dráhu γ na Sekce Poincaré S skrz bod str -li

P(str) = str
P(U) je sousedství str a P:U → P(U) je difeomorfismus
za každý bod X v U, pozitivní polooběžná dráha z X protíná se S poprvé v P(X)

Poincaréovy mapy a analýza stability

Poincaré mapy lze interpretovat jako a diskrétní dynamický systém. The stabilita periodické oběžné dráhy původního systému úzce souvisí se stabilitou pevného bodu odpovídající mapy Poincaré.

Nechť (R, M, φ) být a diferencovatelný dynamický systém s periodickou oběžnou dráhou γ až str. Nechat

{ displaystyle P: U to S}

být odpovídající mapou Poincaré str. Definujeme

{ displaystyle P ^ {0}: = operatorname {id} _ {U}}

{ displaystyle P ^ {n + 1}: = P circ P ^ {n}}

{ displaystyle P ^ {- n-1}: = P ^ {- 1} circ P ^ {- n}}

a

{ displaystyle P (n, x): = P ^ {n} (x)}

pak (Z, U, P) je diskrétní dynamický systém se stavovým prostorem U a evoluční funkce

{ displaystyle P: mathbb {Z} krát U až U.}

Podle definice má tento systém pevný bod str.

Periodická dráha γ kontinuálního dynamického systému je stabilní právě tehdy, pokud je pevný bod str diskrétního dynamického systému je stabilní.

Periodická dráha γ kontinuálního dynamického systému je asymptoticky stabilní právě tehdy, pokud je pevný bod str diskrétního dynamického systému je asymptoticky stabilní.

Viz také

Reference

Teschl, Gerald. Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost.

externí odkazy

Shivakumar Jolad, Poincare Map a její aplikace na problém 'Spinning Magnet', (2005)