Split-čtveřice - Split-quaternion - Wikipedia

v abstraktní algebra, rozdělené čtveřice nebo coquaternions jsou prvky 4-dimenzionálního asociativní algebra představil James Cockle v roce 1849 pod druhým jménem. Jako čtveřice představil Hamilton v roce 1843 tvoří čtyřku dimenzionální nemovitý vektorový prostor vybaveno multiplikativní operací. Ale na rozdíl od čtveřic obsahují rozdělené čtveřice netriviální nulové dělitele, nilpotentní prvky a idempotents. (Například, 1/2(1 + j) je idempotentní dělitel nuly a i - j je nilpotentní.) Jako algebra nad reálnými čísly, oni jsou izomorfní do algebry 2 × 2 skutečné matice. Další názvy split-quaternions viz Synonyma níže.

The soubor {1, i, j, k} tvoří a základ. Výrobky těchto prvků jsou

ij = k = −ji,

jk = −i = −kj,

ki = j = −ik,

i² = −1,

j² = +1,

k² = +1,

a tedy ijk = 1. Z definujících vztahů vyplývá, že množina {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k} je a skupina pod multiplikací split-quaternion; to je izomorfní do dihedrální skupina D₄, skupina symetrie čtverce.

Rozdělená čtveřice

q = w + Xi + yj + zk, má a sdružené q^∗ = w − Xjá - yj - zk.

V důsledku antikomutativní majetek z jeho bazických vektorů je produkt děleného čtveřice s konjugátem dán vztahem izotropní kvadratická forma:

${ displaystyle N (q) = qq ^ {*} = w ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Vzhledem k tomu, dva rozdělené čtveřice p a q, jeden má N(p q) = N(p) N(q), což ukazuje N je kvadratická forma přijímající složení. Tato algebra je a složení algebra a N je jeho norma. Žádný q ≠ 0 takhle N(q) = 0 je nulový vektor, a jeho přítomnost znamená, že split-quaternions tvoří „algebru rozdělené kompozice“ - odtud jejich název.

Když je norma nenulová, pak q má multiplikativní inverzní, jmenovitě q^∗/N(q). Sada

U = {q : qq^∗ ≠ 0}

je sada Jednotky. Sada P všech split-quaternions tvoří a prsten (P, +, •) s skupina jednotek (U, •). Rozdělené čtveřice s N(q) = 1 tvoří a nekompaktní topologická skupina SU (1, 1), zobrazeno níže jako izomorfní s SL (2,R).

Předcházely historicky rozdělené čtveřice Cayley maticová algebra; split-quaternions (spolu s quaternions a tessarines ) vyvolal širší lineární algebra.

Maticové reprezentace

Nechat q = w + Xi + yj + zk, a zvažte u = w + Xjá a proti = y + zi jako obyčejný komplexní čísla s komplexní konjugáty označeno u^∗ = w − Xjá, proti^∗ = y − zi. Pak složitá matice

${ displaystyle { begin {pmatrix} u & v v ^ {*} & u ^ {*} end {pmatrix}}}$

představuje q v kruhu matic: množení split-quaternions se chová stejně jako násobení matic. Například určující této matice je

U u^∗ − vv^∗ = qq^∗.

Vzhled znaménka mínus odlišuje rozdělené čtveřice od čtveřic, které zde mají znaménko plus. Matice determinantu jedna tvoří speciální jednotnou skupinu SU (1,1), což jsou rozdělené čtveřice normy jedna a poskytují hyperbolické pohyby z Poincaré model disku z hyperbolická geometrie.

Kromě komplexní maticové reprezentace, další lineární reprezentace sdružuje split-quaternions s 2 × 2 skutečné matice. Tento izomorfismus lze explicitně vyjádřit následovně: Nejprve si všimněte produktu

${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}}$

a že čtverec každého faktoru nalevo je matice identity, zatímco čtverec na pravé straně je zápor matice identity. Dále si všimněte, že tyto tři matice spolu s maticí identity tvoří základ pro M (2, R). Dá se udělat, aby výše uvedený maticový produkt odpovídal jk = −i v kruhu rozdělené čtveřice. Pak pro libovolnou matici existuje bijekce

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & c b & d end {pmatrix}} leftrightarrow q = { frac {(a + d) + (cb) i + (b + c) j + (ad) k} {2 }},}$

což je ve skutečnosti prstencový izomorfismus. Kromě toho to ukazuje výpočet čtverců komponent a shromažďování výrazů qq^∗ = inzerát − před naším letopočtem, což je determinant matice. V důsledku toho existuje mezi jednotkou skupinový izomorfismus kvazi-koule rozdělených čtveřic a SL (2, R) = {G ∈ M (2, R): det G = 1}, a tedy také s SU (1, 1): to lze vidět ve složitém znázornění výše.

Například viz Karzel a Kist^[1] pro reprezentaci skupiny hyperbolického pohybu s 2 × 2 reálnými maticemi.

V obou těchto lineárních reprezentacích je norma dána funkcí determinantu. Vzhledem k tomu, že determinantem je multiplikativní mapování, je norma součinu dvou rozdělených čtveřic rovna součinu dvou samostatných norem. Split-quaternions tedy tvoří a složení algebra. Jako algebra nad pole z reálná čísla, je to jedna z pouhých sedmi takových algeber.

Generování z dělených komplexních čísel

Kevin McCrimmon ^[2] ukázal, jak vše složení algebry lze postavit podle způsobu, který vyhlásil L. E. Dickson a Adrian Albert pro divizní algebry C, H, a Ó. Ve skutečnosti představuje pravidlo násobení

${ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac + d ^ {*} b, da + bc ^ {*})}$

použít při výrobě zdvojnásobeného produktu v případech skutečného rozdělení. Stejně jako dříve zdvojnásobený konjugát ${ displaystyle (a, b) ^ {*} = (a ^ {*}, - b),}$ aby

${ displaystyle N (a, b) = (a, b) (a, b) ^ {*} = (aa ^ {*} - bb ^ {*}, 0).}$

Li A a b jsou rozdělit-komplexní čísla a rozdělené čtveřice ${ Displaystyle q = (a, b) = ((w + zj), (y + xj)),}$

pak ${ displaystyle N (q) = aa ^ {*} - bb ^ {*} = w ^ {2} -z ^ {2} - (y ^ {2} -x ^ {2}) = w ^ {2 } + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}.}$

Profil

Kruh E leží v rovině z = 0.
Prvky J jsou odmocniny +1.

Prvky Já jsou odmocniny z -1

The subalgebry z P lze vidět tím, že si nejprve povšimnete podstaty podprostoru {zi + Xj + yk: X, y, z ∈ R}. Nechat

r(θ) = j cos (θ) + k hřích (θ)

Parametry z a r(θ) jsou základem a válcový souřadnicový systém v podprostoru. Parametr θ označuje azimut. Dále nechte A označte jakékoli reálné číslo a zvažte dělené čtveřice

p(A, r) = i sinh A + r hovno A

proti(A, r) = i cosh A + r sinh A.

Jedná se o rovnostranné-hyperboloidní souřadnice popsané Alexander Macfarlane a Carmody.^[3]

Dále vytvořte tři základní sady ve vektorovém podprostoru kruhu:

E = {r ∈ P: r = r(θ), 0 ≤ θ < 2π}

J = {p(A, r) ∈ P: A ∈ R, r ∈ E}, hyperboloid jednoho listu

Já = {proti(A, r) ∈ P: A ∈ R, r ∈ E}, hyperboloid dvou listů.

Nyní je snadné to ověřit

{q ∈ P: q² = 1} = J ∪ {1, −1}

a to

{q ∈ P: q² = −1} = Já.

Tyto nastavené rovnosti znamenají, že když p ∈ J pak letadlo

{X + yp: X, y ∈ R} = D_p

je podřízený z P to je izomorfní k rovině rozdělit-komplexní čísla stejně jako kdy proti je v Já pak

{X + yv: X, y ∈ R} = C_proti

je rovinný podřetězec z P to je izomorfní vůči obyčejnému složité letadlo C.

Všimněte si, že pro každého r ∈ E, (r + i)² = 0 = (r - i)² aby r + i a r - i jsou nilpotents. Letadlo N = {X + y(r + i): X, y ∈ R} je podřetězec z P to je izomorfní s duální čísla. Protože každý coquaternion musí ležet v D_p, a C_proti, nebo N letadlo, tyto roviny se profilují P. Například jednotka kvazi-koule

SU (1, 1) = {q ∈ P: qq* = 1}

se skládá z "jednotkových kruhů" v základních rovinách P: V D_p to je jednotka hyperbola, v N "jednotka kruh" je dvojice paralelních linií, zatímco v C_proti je to opravdu kruh (i když se zdá eliptický kvůli protažení v). Tyto elipsy / kruhy nalezené v každém C_proti jsou jako iluze Rubinová váza který „přináší divákovi mentální výběr ze dvou interpretací, z nichž každá je platná“.

Pan-ortogonalita

Když split-čtveřice q = w + Xi + yj + zk, pak skalární část z q je w.

Definice. Pro nenulové rozdělené čtveřice q a t píšeme q ⊥ t když skalární část produktu qt^∗ je nula.

• Pro každého proti ∈ Já, pokud q, t ∈ C_proti, pak q ⊥ t znamená paprsky od 0 do q a t jsou kolmý.
• Pro každého p ∈ J, pokud q, t ∈ D_p, pak q ⊥ t znamená, že tyto dva body jsou hyperbolicko-ortogonální.
• Pro každého r ∈ E a každý A ∈ R, p = p(A, r) a proti = proti(A, r) uspokojit p ⊥ proti.
• Li u je tedy jednotka v kruhu rozdělené čtveřice q ⊥ t naznačuje qu ⊥ tu.

Důkaz: (qu)(tu)^∗ = (U u^∗)q(t^∗) vyplývá z (tu)^∗ = u^∗t^∗, které lze zjistit pomocí protikomutativní majetek vektoru křížové výrobky.

Protisférická geometrie

Kvadratická forma qq^∗ je v letadlech pozitivní C_proti a N. Zvažte protisféra {q: qq^∗ = −1}.

Vzít m = X + yi + zr kde r = j cos (θ) + k hřích (θ). Opravit θ a předpokládejme

mm^∗ = −1 = X² + y² - z².

Vzhledem k tomu, že body na protisféře musí odpovídat konjugátu jednotka hyperbola v nějakém letadle D_p ⊂ P, m pro některé lze psát p ∈ J

${ Displaystyle m ~ = p exp {(bp)} = sinh b + p cosh b = sinh b + já sinh a ~ cosh b + r cosh a ~ cosh b}$.

Nechť φ je úhel mezi hyperbolami od r na p a m. Tento úhel lze pozorovat v rovině tečna do protisféry v r, podle projekce:

${ displaystyle tan phi = { frac {x} {y}} = { frac { sinh b} { sinh a ~ cosh b}} = { frac { tanh b} { sinh a }}}$. Pak

${ displaystyle lim _ {b to infty} tan phi = { frac {1} { sinh a}},}$

jako ve výrazu úhel rovnoběžnosti v hyperbolická rovina H² . Parametr θ stanovení poledníku se v průběhu roku liší S¹. Protisféra se tak jeví jako potrubí S¹ × H².

Aplikace na kinematiku

Použitím výše uvedených základů lze ukázat, že mapování

${ displaystyle q mapsto u ^ {- 1} qu}$

je obyčejná nebo hyperbolická rotace podle as

${ displaystyle u = e ^ {av}, quad v v I quad { text {nebo}} quad u = e ^ {ap}, quad p v J}$.

Sbírka těchto mapování má určitý vztah k Skupina Lorentz protože se také skládá z obyčejných a hyperbolických rotací. Mezi zvláštnosti tohoto přístupu k relativistické kinematice patří anizotropní profil, řekněme ve srovnání s hyperbolické čtveřice.

Neochota používat rozdělené čtveřice pro kinematické modely může pramenit z (2, 2) podpis kdy vesmírný čas se předpokládá, že má podpis (1, 3) nebo (3, 1). Přesto transparentně relativistické kinematika se objeví, když je bod protisféry použit k reprezentaci setrvačný referenční rámec. Opravdu, pokud tt^∗ = −1, pak existuje p = i sinh (A) + r cosh (A) ∈ J takhle t ∈ D_pa b ∈ R takhle t = p exp (bp). Pak pokud u = exp (bp), proti = i cosh (A) + r sinh (A), a s = ir, sada {t, u, proti, s} je pan-ortogonální základ vycházející z ta ortogonality přetrvávají prostřednictvím aplikací obyčejných nebo hyperbolických rotací.

Historické poznámky

Coquaternions byly původně představeny (pod tímto názvem)^[4] v roce 1849 James Cockle v Londýně – Edinburgh – Dublinu Filozofický časopis. Úvodní články Cockle byly odvolány v roce 1904 Bibliografie^[5] z Quaternion Society. Alexander Macfarlane nazývá se struktura split-quaternion vektorů an exspherical system když mluvil na Mezinárodní kongres matematiků v Paříži v roce 1900.^[6]

Jednotkovou sféru zvažoval v roce 1910 Hans Beck.^[7] Například dihedrální skupina se objeví na straně 419. Struktura split-quaternion byla také krátce zmíněna v Annals of Mathematics.^[8][9]

Synonyma

• Para-kvaterniony (Ivanov a Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) Rozdělovače s para-kvaternionovými strukturami jsou studovány v diferenciální geometrie a teorie strun. V para-kvaternionové literatuře je k nahrazeno −k.
• Exspherical system (Macfarlane 1900)
• Split-čtveřice (Rosenfeld 1988)^[10]
• Antiquaternions (Rosenfeld 1988)
• Pseudoquaternions (Yaglom 1968^[11] Rosenfeld 1988)

Viz také

• Split-biquaternions
• Split-octonions
• Hyperkomplexní čísla
• Duální čtveřice

Poznámky

Další čtení

• Brody, Dorje C., a Eva-Maria Graefe. „Na složitou mechaniku a coquaterniony.“ Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi:10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), „Parahermitian and paraquaternionic manifolds“, Diferenciální geometrie a její aplikace 23, str. 205–234, arXiv:math.DG / 0310415, PAN2158044.
• Mohaupt, Thomas (2006), „Nový vývoj ve speciální geometrii“, arXiv:hep-th / 0602171.
• Özdemir, M. (2009) „Kořeny rozděleného čtveřice“, Aplikovaná matematická písmena 22:258–63. [1]
• Özdemir, M. & A.A. Ergin (2006) „Rotace s časově podobnými čtveřicemi v Minkowského 3prostoru“, Journal of Geometry and Physics 56: 322–36.[2]
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Některé algebraické a analytické vlastnosti coquaternionové algebry, Pokroky v aplikované Cliffordské algebře.