Duální čtveřice - Dual quaternion

Pamětní deska na Broomově mostě (Dublin) připomínající Hamiltonův vynález čtveřic

v matematika, duální čtveřice jsou 8-dimenzionální skutečný algebra isomorfní s tenzorový produkt z čtveřice a duální čísla. Mohou tedy být konstruovány stejným způsobem jako čtveřice, kromě použití duální čísla namísto reálná čísla jako koeficienty. Ve formě může být zastoupen dvojí čtveřice A + εB, kde A a B jsou obyčejné čtveřice a ε je dvojitá jednotka, která splňuje ε² = 0 a dojíždí s každým prvkem algebry. Na rozdíl od čtveřic duální čtveřice netvoří a divize algebra.

v mechanika, duální čtveřice jsou použity jako a číselný systém reprezentovat tuhé transformace ve třech rozměrech.^[1] Vzhledem k tomu, že prostor duálních čtveřic je 8-dimenzionální a rigidní transformace má šest skutečných stupňů volnosti, tři pro překlady a tři pro rotace, v této aplikaci se používají duální čtveřice splňující dvě algebraická omezení.

Podobně jako mohou být rotace v 3D prostoru reprezentovány čtveřicemi jednotkové délky, tuhé pohyby ve 3D prostoru mohou být reprezentovány duálními čtveřicemi jednotkové délky. Tato skutečnost se využívá teoreticky kinematika (viz McCarthy^[2]) a v aplikacích pro 3D počítačová grafika, robotika a počítačové vidění.^[3]

Dějiny

W. R. Hamilton představen čtveřice^[4][5] v roce 1843 a do roku 1873 W. K. Clifford získal široké zobecnění těchto čísel, které nazýval biquaternions,^[6][7] což je příklad toho, co se nyní nazývá a Cliffordova algebra.^[2]

V roce 1898 Alexander McAulay použitý Ω s Ω² = 0 pro vygenerování algebry duální čtveřice.^[8] Jeho terminologie „octonions“ se však nedržela jako dnešní octonions jsou další algebra.

V Rusku, Aleksandr Kotelnikov^[9] vyvinul duální vektory a duální čtveřice pro použití při studiu mechaniky.

V roce 1891 Eduardova studie si uvědomil, že tohle asociativní algebra byl ideální pro popis skupiny pohybů trojrozměrný prostor. Myšlenku dále rozvinul Geometrie der Dynamen v roce 1901.^[10] B. L. van der Waerden nazval strukturu „Study biquaternions“, jednu ze tří osmrozměrných algeber označovaných jako biquaternions.

Vzorce

Aby bylo možné popsat operace s duálními čtveřicemi, je užitečné nejprve zvážit čtveřice.^[11]

Čtvrtek je lineární kombinace základních prvků 1, i, j, a k. Hamiltonovo pravidlo produktu pro i, j, a k je často psáno jako

${ displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1.}$

Vypočítat i ( já j k ) = −j k = −i, získat j k = i, a ( já j k ) k = −já j = −k nebo já j = k. Nyní proto j ( j k ) = j i = −k, vidíme, že tento produkt poskytuje já j = −j i, který spojuje čtveřice s vlastnostmi determinantů.

Pohodlným způsobem práce s produktem čtveřice je napsat čtveřici jako součet skaláru a vektoru, tj. A = A₀ + A, kde A₀ je skutečné číslo a A = A₁ i + A₂ j + A₃ k je trojrozměrný vektor. K definici kvaternionového součinu lze nyní použít vektorovou tečku a křížové operace A = A₀ + A a C = C₀ + C tak jako

${ displaystyle G = AC = (a_ {0} + mathbf {A}) (c_ {0} + mathbf {C}) = (a_ {0} c_ {0} - mathbf {A} cdot mathbf {C}) + (c_ {0} mathbf {A} + a_ {0} mathbf {C} + mathbf {A} times mathbf {C}).}$

Dvojitý čtveřice je obvykle popisována jako čtveřice s dvojími čísly jako koeficienty. A dvojí číslo je objednaný pár A = ( A, b ). Dvě duální čísla se přidávají po částech a vynásobí se pravidlem - = ( A, b ) ( C, d ) = (a c, a d + před naším letopočtem). Dvojitá čísla jsou často psána ve formě A = A + εb, kde ε je dvojitá jednotka, se kterou dojíždí i, j, k a má majetek ε² = 0.

Výsledkem je, že duální čtveřice lze zapsat jako uspořádanou dvojici čtveřic ( A, B ). Dva duální čtveřice se přidávají po částech a vynásobí se pravidlem,

${ displaystyle { hat {A}} { hat {C}} = (A, B) (C, D) = (AC, AD + BC).}$

Je vhodné napsat duální čtveřice jako součet duálního skaláru a duálního vektoru, A = A₀ + A, kde A₀ = ( A, b ) a A = ( A, B ) je duální vektor, který definuje a šroub. Tento zápis nám umožňuje napsat součin dvou duálních čtveřic jako

${ displaystyle { hat {G}} = { hat {A}} { hat {C}} = ({ hat {a}} _ {0} + { mathsf {A}}) ({ hat {c}} _ {0} + { mathsf {C}}) = ({ hat {a}} _ {0} { hat {c}} _ {0} - { mathsf {A}} cdot { mathsf {C}}) + ({ hat {c}} _ {0} { mathsf {A}} + { hat {a}} _ {0} { mathsf {C}} + { mathsf {A}} krát { mathsf {C}}).}$

Přidání

Přidání duálních čtveřic je definováno po částech tak, že dané,

${ displaystyle { hat {A}} = (A, B) = a_ {0} + a_ {1} i + a_ {2} j + a_ {3} k + b_ {0} varepsilon + b_ {1 } varepsilon i + b_ {2} varepsilon j + b_ {3} varepsilon k,}$

a

${ displaystyle { hat {C}} = (C, D) = c_ {0} + c_ {1} i + c_ {2} j + c_ {3} k + d_ {0} varepsilon + d_ {1 } varepsilon i + d_ {2} varepsilon j + d_ {3} varepsilon k,}$

pak

${ displaystyle { hat {A}} + { hat {C}} = (A + C, B + D) = (a_ {0} + c_ {0}) + (a_ {1} + c_ {1 }) i + (a_ {2} + c_ {2}) j + (a_ {3} + c_ {3}) k + (b_ {0} + d_ {0}) varepsilon + (b_ {1} + d_ {1 }) varepsilon i + (b_ {2} + d_ {2}) varepsilon j + (b_ {3} + d_ {3}) varepsilon k,}$

Násobení

Násobení dvou duálních čtveřic vyplývá z pravidel násobení pro jednotky čtveřice i, j, k a komutativní násobení duální jednotkou ε. Zejména vzhledem k tomu

${ displaystyle { hat {A}} = (A, B) = A + varepsilon B,}$

a

${ displaystyle { hat {C}} = (C, D) = C + varepsilon D,}$

pak

${ displaystyle { hat {A}} { hat {C}} = (A + varepsilon B) (C + varepsilon D) = AC + varepsilon (AD + BC). !}$

Všimněte si, že neexistuje BD termín, protože to vyžaduje definice dvojích čísel ε² = 0.

To nám dává tabulku násobení (všimněte si, že pořadí násobení je sloupec řádků krát):

Sdružené

Konjugát dvojího čtveřice je rozšíření konjugátu čtveřice, to znamená

${ displaystyle { hat {A}} ^ {*} = (A ^ {*}, B ^ {*}) = A ^ {*} + varepsilon B ^ {*}. !}$

Stejně jako u čtveřic, konjugát produktu duálních čtveřic, G = ÂĈ, je produktem jejich konjugátů v opačném pořadí,

${ displaystyle { hat {G}} ^ {*} = ({ hat {A}} { hat {C}}) ^ {*} = { hat {C}} ^ {*} { hat {A}} ^ {*}. !}$

Je užitečné zavést funkce Sc (∗) a Vec (∗), které vybírají skalární a vektorovou část čtveřice nebo duální skalární a duální vektorovou část duálního čtveřice. Zejména pokud A = A₀ + A, pak

${ displaystyle { mbox {Sc}} ({ hat {A}}) = { hat {a}} _ {0}, { mbox {Vec}} ({ hat {A}}) = { mathsf {A}}. !}$

To umožňuje definici konjugátu A tak jako

${ displaystyle { hat {A}} ^ {*} = { mbox {Sc}} ({ hat {A}}) - { mbox {Vec}} ({ hat {A}}). !}$

nebo,

${ displaystyle ({ hat {a}} _ {0} + { mathsf {A}}) ^ {*} = { hat {a}} _ {0} - { mathsf {A}}. !}$

Produkt dvojitého čtveřice se svým konjugátem poskytuje

${ displaystyle { hat {A}} { hat {A}} ^ {*} = ({ hat {a}} _ {0} + { mathsf {A}}) ({ hat {a} } _ {0} - { mathsf {A}}) = { hat {a}} _ {0} ^ {2} + { mathsf {A}} cdot { mathsf {A}}. ! }$

Jedná se o duální skalár, který je velikost na druhou dvojí čtveřice.

Konjugát dvojího čísla

Druhý typ konjugátu dvojího čtveřice je dán konjugátem dvojího čísla daným

${ displaystyle { overline { hat {A}}} = (A, -B) = A- varepsilon B. !}$

Konjugáty čtveřice a dvojího počtu lze kombinovat do třetí formy konjugátu dané

${ displaystyle { overline {{ hat {A}} ^ {*}}} = (A ^ {*}, - B ^ {*}) = A ^ {*} - varepsilon B ^ {*}. !}$

V kontextu duálních čtveřic lze termín „konjugát“ použít k označení konjugátu čtveřice, konjugátu s dvojím počtem nebo obojího.

Norma

The norma dvojí čtveřice |A| se počítá pomocí konjugátu k výpočtu |A| = √AA^*. Toto je dvojí číslo zvané velikost dvojí čtveřice. Duální čtveřice s |A| = 1 jsou jednotkové duální čtveřice.

Duální čtveřice o velikosti 1 se používají k reprezentaci prostorových euklidovských posunů. Všimněte si, že požadavek, že AA^* = 1, zavádí dvě algebraická omezení na komponenty A, to je

${ displaystyle { hat {A}} { hat {A}} ^ {*} = (A, B) (A ^ {*}, B ^ {*}) = (AA ^ {*}, AB ^ {*} + BA ^ {*}) = (1,0). !}$

Inverzní

Li p + ε q je dvojí čtveřice a p není nula, pak je inverzní duální čtveřice dána vztahem

p⁻¹ (1 - ε q p⁻¹).

Tedy prvky podprostoru {ε q: q ∈ H} nemají inverze. Tento podprostor se nazývá ideál v teorii prstenů. Stává se to jedinečný maximální ideál kruhu dvojitých čísel.

The skupina jednotek prstenu dvojitého čísla pak sestává z čísel, která nejsou v ideálu. Duální čísla tvoří a místní prsten protože existuje jedinečný maximální ideál. Skupina jednotek je a Lež skupina a lze je studovat pomocí exponenciální mapování. Duální čtveřice byly použity k vystavení transformací v Euklidovská skupina. Typický prvek lze zapsat jako a šroubová transformace.

Duální čtveřice a prostorové posuny

Výhoda formulace dvojí čtveřice složení dvou prostorových posunů D_B = ([R_B], b) a D_A = ([R_A],A) spočívá v tom, že výsledný duální čtveřice přináší přímo osa šroubu a dvojí úhel složeného posunutí D_C = D_BD_A.

Obecně platí, že duální čtveřice spojená s prostorovým posunem D = ([A], d) je konstruován z jeho osa šroubu S = (S, PROTI) a dvojí úhel (φ, d) kde φ je rotace kolem a d snímek podél této osy, který definuje posunutíD. Přidružený dvojí čtveřice je dána vztahem,

${ displaystyle { hat {S}} = cos { frac { hat { phi}} {2}} + sin { frac { hat { phi}} {2}} { mathsf { S}}.}$

Nechte složení posunutí D_B s D._A být posunutí D_C = D_BD_A. Osa šroubu a dvojitý úhel D._C se získá z produktu duálních čtveřic D_A a D._B, dána

${ displaystyle { hat {A}} = cos ({ hat { alpha}} / 2) + sin ({ hat { alpha}} / 2) { mathsf {A}} quad { text {and}} quad { hat {B}} = cos ({ hat { beta}} / 2) + sin ({ hat { beta}} / 2) { mathsf {B }}.}$

To znamená složené posunutí D_C= D_BD_A má přidružený duální čtveřice daný

${ displaystyle { hat {C}} = cos { frac { hat { gamma}} {2}} + sin { frac { hat { gamma}} {2}} { mathsf { C}} = { Big (} cos { frac { hat { beta}} {2}} + sin { frac { hat { beta}} {2}} { mathsf {B} } { Big)} { Big (} cos { frac { hat { alpha}} {2}} + sin { frac { hat { alpha}} {2}} { mathsf { Velký )}.}$

Chcete-li získat, rozšiřte tento produkt

${ displaystyle cos { frac { hat { gamma}} {2}} + sin { frac { hat { gamma}} {2}} { mathsf {C}} = { Big ( } cos { frac { hat { beta}} {2}} cos { frac { hat { alpha}} {2}} - sin { frac { hat { beta}} { 2}} sin { frac { hat { alpha}} {2}} { mathsf {B}} cdot { mathsf {A}} { Big)} + { Big (} sin { frac { hat { beta}} {2}} cos { frac { hat { alpha}} {2}} { mathsf {B}} + sin { frac { hat { alfa }} {2}} cos { frac { hat { beta}} {2}} { mathsf {A}} + sin { frac { hat { beta}} {2}} sin { frac { hat { alpha}} {2}} { mathsf {B}} times { mathsf {A}} { Big)}.}$

Vydělte obě strany této rovnice identitou

${ displaystyle cos { frac { hat { gamma}} {2}} = cos { frac { hat { beta}} {2}} cos { frac { hat { alpha} } {2}} - sin { frac { hat { beta}} {2}} sin { frac { hat { alpha}} {2}} { mathsf {B}} cdot { mathsf {A}}}$

získat

${ displaystyle tan { frac { hat { gamma}} {2}} { mathsf {C}} = { frac { tan { frac { hat { beta}} {2}} { mathsf {B}} + tan { frac { hat { alpha}} {2}} { mathsf {A}} + tan { frac { hat { beta}} {2}} tan { frac { hat { alpha}} {2}} { mathsf {B}} times { mathsf {A}}} {1- tan { frac { hat { beta}} { 2}} tan { frac { hat { alpha}} {2}} { mathsf {B}} cdot { mathsf {A}}}}.}$

Tohle je Rodrigues „vzorec pro osu šroubu složeného posunutí definovaný jako osy šroubů obou posunů. Tento vzorec odvodil v roce 1840.^[12]

Tři osy šroubů A, B a C tvoří a prostorový trojúhelník a dvojí úhly v těchto vrcholy mezi běžnými normálkami, které tvoří strany tohoto trojúhelníku, přímo souvisí s dvojím úhlem tří prostorových posunů.

Maticová forma násobení dvojích čtveřic

Maticová reprezentace produktu čtveřice je vhodná pro programování výpočtů čtveřice pomocí maticové algebry, což platí i pro operace s duálními čtveřicemi.

Produkt kvaternionu AC je lineární transformace operátorem A složek kvaternionu C, proto existuje maticová reprezentace A operující na vektoru vytvořeném ze složek C.

Sestavte součásti čtveřice C = c₀ + C do pole C = (C.₁, C.₂, C.₃, c₀). Všimněte si, že komponenty vektorové části čtveřice jsou uvedeny jako první a skalární jsou uvedeny jako poslední. Toto je libovolná volba, ale jakmile je tato konvence vybrána, musíme se jí řídit.

Produkt čtveřice AC lze nyní představovat jako produkt matice

${ displaystyle AC = [A ^ {+}] C = { begin {bmatrix} a_ {0} & A_ {3} & - A_ {2} & A_ {1} - A_ {3} & a_ {0} & A_ {1} & A_ {2} A_ {2} & - A_ {1} & a_ {0} & A_ {3} - A_ {1} & - A_ {2} & - A_ {3} & a_ {0} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} C_ {1} C_ {2} C_ {3} c_ {0} end {Bmatrix}}.}$

Produkt AC lze také zobrazit jako operaci C na komponentách A, v takovém případě máme

${ displaystyle AC = [C ^ {-}] A = { begin {bmatrix} c_ {0} & C_ {3} & - C_ {2} & C_ {1} - C_ {3} & c_ {0} & C_ {1} & C_ {2} C_ {2} & - C_ {1} & c_ {0} & C_ {3} - C_ {1} & - C_ {2} & - C_ {3} & c_ {0} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} A_ {1} A_ {2} A_ {3} a_ {0} end {Bmatrix}}.}$

Produkt dvojí čtveřice ÂĈ = (A, B) (C, D) = (AC, AD + BC) lze formulovat jako maticovou operaci následujícím způsobem. Sestavte komponenty Ĉ do osmirozměrného pole Ĉ = (C₁, C.₂, C.₃, c₀, D₁, D₂, D₃, d₀), pak ÂĈ je dáno maticovým součinem 8x8

${ displaystyle { hat {A}} { hat {C}} = [{ hat {A}} ^ {+}] { hat {C}} = { begin {bmatrix} A ^ {+} & 0 B ^ {+} & A ^ {+} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} C D end {Bmatrix}}.}$

Jak jsme viděli pro čtveřice, na produkt ÂĈ lze pohlížet jako na operaci Ĉ na vektoru souřadnic Â, což znamená, že ÂĈ lze také formulovat jako,

${ displaystyle { hat {A}} { hat {C}} = [{ hat {C}} ^ {-}] { hat {A}} = { begin {bmatrix} C ^ {-} & 0 D ^ {-} & C ^ {-} end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} A B end {Bmatrix}}.}$

Více o prostorových posunech

Duální čtveřice posunutí D = ([A], d) lze sestrojit ze čtveřice S = cos (φ / 2) + sin (φ / 2)S který definuje rotaci [A] a vektorový čtveřice vytvořený z vektoru překladu d, dané D = d₁i + d₂j + d₃k. Použitím této notace je duální čtveřice pro posun D = ([A], d) je dána

${ displaystyle { hat {S}} = S + varepsilon { frac {1} {2}} DS.}$

Nechte Plückerovy souřadnice čáry ve směru X skrz bod p v pohybujícím se těle a jeho souřadnice v pevném rámu, který je ve směru X skrz bod P být dán,

${ displaystyle { hat {x}} = mathbf {x} + varepsilon mathbf {p} times mathbf {x} quad { text {a}} quad { hat {X}} = mathbf {X} + varepsilon mathbf {P} times mathbf {X}.}$

Pak duální čtveřice posunutí tohoto těla transformuje Plückerovy souřadnice v pohybujícím se rámu na Plückerovy souřadnice v pevném rámu podle vzorce

${ displaystyle { hat {X}} = { hat {S}} { hat {x}} { overline {{ hat {S}} ^ {*}}}.}$

Pomocí maticové formy produktu dvojí čtveřice se to stane,

${ displaystyle { hat {X}} = [{ hat {S}} ^ {+}] [{ hat {S}} ^ {-}] ^ {*} { hat {x}}.}$

Tento výpočet lze snadno spravovat pomocí maticových operací.

Duální čtveřice a 4 × 4 homogenní transformace

Mohlo by být užitečné, zejména při tuhém pohybu těla, představovat dvojí čtveřice jako homogenní matice. Jak je uvedeno výše, duální čtveřice lze psát jako: ${ displaystyle { hat {q}} = r + d varepsilon}$ kde r a d jsou oba čtveřice. The r čtveřice je známá jako skutečná nebo rotační část a ${ displaystyle d}$ čtveřice je známá jako duální nebo posunovací část.

Rotační část může být dána

${ displaystyle r = r_ {w} + r_ {x} i + r_ {y} j + r_ {z} k = cos left ({ frac { theta} {2}} right) + sin left ({ frac { theta} {2}} right) left ({ vec {a}} cdot (i, j, k) right)}$

kde ${ displaystyle theta}$ je úhel otáčení ve směru daném jednotkovým vektorem ${ displaystyle { vec {a}}}$. Posuvnou část lze zapsat jako

${ displaystyle d = 0 + { frac { Delta x} {2}} i + { frac { Delta y} {2}} j + { frac { Delta z} {2}} k}$.

Ekvivalent duálního čtveřice 3D vektoru je

${ displaystyle { hat {v}}: = 1+ varepsilon (v_ {x} i + v_ {y} j + v_ {z} k)}$

a jeho transformace ${ displaystyle { hat {q}}}$ je dána^[13]

${ displaystyle { hat {v}} '= { hat {q}} cdot { hat {v}} cdot { overline {{ hat {q}} ^ {*}}}}$.

Tyto duální čtveřice (nebo vlastně jejich transformace na 3D vektorech) mohou být reprezentovány homogenní transformační maticí

${ displaystyle T = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & Delta x &&& Delta y && R & Delta z &&& end {pmatrix}}}$

kde 3 × 3 ortogonální matice je dána

${ displaystyle R = { begin {pmatrix} r_ {w} ^ {2} + r_ {x} ^ {2} -r_ {y} ^ {2} -r_ {z} ^ {2} & 2r_ {x} r_ {y} -2r_ {w} r_ {z} & 2r_ {x} r_ {z} + 2r_ {w} r_ {y} 2r_ {x} r_ {y} + 2r_ {w} r_ {z} & r_ {w} ^ {2} -r_ {x} ^ {2} + r_ {y} ^ {2} -r_ {z} ^ {2} & 2r_ {y} r_ {z} -2r_ {w} r_ {x } 2r_ {x} r_ {z} -2r_ {w} r_ {y} & 2r_ {y} r_ {z} + 2r_ {w} r_ {x} & r_ {w} ^ {2} -r_ {x} ^ {2} -r_ {y} ^ {2} + r_ {z} ^ {2} end {pmatrix}}.}$

Pro 3D vektor

${ displaystyle v = { begin {pmatrix} 1 v_ {x} v_ {y} v_ {z} end {pmatrix}}}$

transformace pomocí T je dána vztahem

${ displaystyle { vec {v}} '= T cdot { vec {v}}}$

Napojení na Cliffordské algebry

Kromě toho, že je tenzorovým produktem dvou Cliffordových algeber, čtveřic a duální čísla, duální čtveřice mají dvě další formulace, pokud jde o Cliffordovy algebry.

Za prvé, duální čtveřice jsou izomorfní s Cliffordova algebra generované 3 prvky anticommuting i, j, e s i² = j² = -1 a e² = 0. Pokud definujeme k = ij a ε = k, pak vztahy definující duální čtveřice jsou implikovány těmito a naopak. Zadruhé, duální čtveřice jsou izomorfní s sudou částí Cliffordovy algebry generované 4 anticommutingovými prvky ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}, e_ {4}}$ s

${ displaystyle e_ {1} ^ {2} = e_ {2} ^ {2} = e_ {3} ^ {2} = - 1, , , e_ {4} ^ {2} = 0.}$

Podrobnosti viz Cliffordské algebry: dvojí čtveřice.

Eponyma

Protože oba Eduardova studie a William Kingdon Clifford používal a psal o duálních čtveřicích, někdy autoři označují duální čtveřice jako „studijní biquaternions“ nebo „Cliffordské biquaternions“. Dopis eponym byl také použit k označení split-biquaternions. Přečtěte si níže uvedený článek Joe Rooneyho, kde najdete pohled na zastánce W.K. Cliffordovo tvrzení. Vzhledem k tomu, že tvrzení Clifforda a Study jsou sporná, je vhodné použít současné označení duální čtveřice vyhnout se konfliktu.

Viz také

• Teorie šroubů
• Racionální pohyb
• Čtveřice a prostorová rotace
• Převod mezi čtveřicemi a Eulerovými úhly
• Olinde Rodrigues
• Dvojité komplexní číslo

Reference

Poznámky

Zdroje

Další čtení

• Ian Fischer (1998). Metody dvojího čísla v kinematice, statice a dynamice. CRC Press. ISBN  978-0-8493-9115-6.
• E. Pennestri & R. Stefanelli (2007) Linear Algebra and Numerical Algorithms Using Dual Numbers, publikováno v Vícebodová systémová dynamika 18(3):323–349.
• E. Pennestri a P. P. Valentini, Duální čtveřice jako nástroj pro analýzu pohybu tuhého těla: Výukový program s aplikací na biomechaniku, ARCHIWUM BUDOWY MASZYN, sv. 57, s. 187–205, 2010
• E. Pennestri a P. P. Valentini, Algoritmy lineární duální algebry a jejich aplikace na kinematiku, Vícetělová dynamika, Říjen 2008, s. 207–229, doi:10.1007/978-1-4020-8829-2_11
• D.P. Chevallier (1996) „O principu přenosu v kinematice: jeho různé formy a omezení“, Mechanismus a teorie strojů 31(1):57–76.
• M.A.Gungor (2009) „Dual Lorentzian sférické pohyby a dual Euler-Savary vzorce“, European Journal of Mechanics A Solids 28 (4): 820–6.

externí odkazy

• Wilhelm Blaschke (1958) překladatel D.H. Delphenich, "Aplikace duálních čtveřic na kinematiku"
• Wilhelm Blaschke (1960) překladatel D.H. Delphenich, Quaternions and Kinematics z Neo-classical-physics.info.
• Dual Quaternions, Průvodce pro začátečníky pro dual-quaternions Ben Kenwright
• Duální čtveřice: Od klasické mechaniky po počítačovou grafiku a další Ben Kenwright