Split-biquaternion - Split-biquaternion - Wikipedia

v matematika, a split-biquaternion je číslo hyperkomplexu formuláře

{ displaystyle q = w + xi + yj + zk !}

kde w, X, y, a z jsou rozdělit-komplexní čísla a i, j a k se množí jako v čtveřice skupina. Protože každý součinitel w, X, y, z zabírá dvě nemovitý rozměry je split-biquaternion prvkem osmi rozměrů vektorový prostor. Vzhledem k tomu, že nese násobení, je tento vektorový prostor znakem algebra nad skutečným polem nebo algebra přes prsten kde čísla složeného komplexu tvoří kruh. Tuto algebru zavedl William Kingdon Clifford v článku z roku 1873 pro London Mathematical Society. Od té doby to v matematické literatuře opakovaně zaznamenali, různě jako odchylku v terminologii, ilustraci tenzorový produkt algeber a pro ilustraci přímý součet algeber Split-biquaterniony byly algebraisty identifikovány různými způsoby; vidět § Synonyma níže.

Moderní definice

Split-biquaternion je kruh izomorfní do Cliffordova algebra Cℓ_0,3(R). To je geometrická algebra generované třemi ortogonálními imaginárními jednotkovými základními směry, {E₁, E₂, E₃} podle pravidla kombinace

{ displaystyle e_ {i} e_ {j} = { Bigg {} { begin {matrix} -1 & i = j, - e_ {j} e_ {i} & i not = j end {matrix} }}

dávat algebru překlenutou 8 základními prvky {1, E₁, E₂, E₃, E₁E₂, E₂E₃, E₃E₁, E₁E₂E₃}, s (E₁E₂)² = (E₂E₃)² = (E₃E₁)² = -1 a ω² = (E₁E₂E₃)² = + 1. Subalgebra rozložená 4 prvky {1, i = E₁, j = E₂, k = E₁E₂} je dělící prsten Hamiltonova čtveřice, H = Cℓ_0,2(R)Je tedy vidět, že

{ displaystyle C ell _ {0,3} ( mathbb {R}) cong mathbb {H} otimes mathbb {D}}

kde D = Cℓ_1,0(R) je algebra překlenutá {1, ω}, algebra rozdělit-komplexní čísla Ekvivalentně,

{ displaystyle C ell _ {0,3} ( mathbb {R}) cong mathbb {H} oplus mathbb {H}.}

Split-biquaternion skupina

Split-biquaternions tvoří asociativní prsten jak je zřejmé z úvah o násobení v jeho základ {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Když je ω navázáno na čtveřice skupina jeden získá skupinu 16 prvků

({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Přímý součet dvou čtveřice kruhů

Označuje se přímý součet dělícího kruhu čtveřic ${ displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ . Produkt dvou prvků ${ displaystyle (a oplus b)}$ a ${ displaystyle (c oplus d)}$ je ${ displaystyle ac oplus bd}$ v tomhle přímá algebra součtu.

Tvrzení: Algebra split-biquaternions je izomorfní s ${ displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}.}$

důkaz: Každý split-biquaternion má výraz q = w + z ω kde w a z jsou čtveřice a ω² = +1. Teď když p = u + proti ω je další split-biquaternion, jejich produkt je

{ displaystyle pq = uw + vz + (uz + vw) omega. !}

Mapování izomorfismu od split-biquaternions k ${ displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ darováno

{ Displaystyle p mapsto (u + v) oplus (u-v), quad q mapsto (w + z) oplus (w-z).}

v ${ displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ , produkt těchto obrázků, podle algebraického produktu z ${ displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ uvedeno výše, je

{ displaystyle (u + v) (w + z) oplus (u-v) (w-z).}

Tento prvek je také obrazem pq pod mapováním do ${ displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}.}$ Produkty se tedy shodují, že mapování je homomorfismus; a protože je bijektivní, je to izomorfismus.

Ačkoli split-biquaternions tvoří osmrozměrný prostor jako Hamiltonovy biquaterniony je na základě Proposition zjevné, že se tato algebra rozděluje na přímý součet dvou kopií skutečných čtveřic.

Hamiltonův biquaternion

Split-biquaternions by neměly být zaměňovány s (obyčejnými) biquaterniony dříve zavedenými William Rowan Hamilton. Hamiltonova biquaternions jsou prvky algebry

{ displaystyle C ell _ {2} ( mathbb {C}) = mathbb {H} otimes mathbb {C}.}

Synonyma

Následující termíny a sloučeniny odkazují na split-biquaternionovou algebru:

eliptické biquaterniony - Clifford 1873, Rooney 2007
Clifford biquaternion - Joly 1902, van der Waerden 1985
dyquaternions - Rosenfeld 1997
${ displaystyle mathbb {D} mnohokrát mathbb {H}}$ kde D = rozdělit-komplexní čísla – Bourbaki 1994, Rosenfeld 1997
${ displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ , přímý součet dvou kvaternionových algeber - van der Waerden 1985

Viz také

Split-octonions

Reference

Clifford, W.K. (1873) Předběžná skica biquaternionů, strany 195–7 palců Matematické papíry přes Internetový archiv
Clifford, W.K. (1882) Klasifikace geometrických algeber, strana 401 v Matematické papíry, Editor R. Tuckera
Girard, P.R. (1984). "Skupina čtveřic a moderní fyzika". Eur. J. Phys. 5 (1): 25–32. doi:10.1088/0143-0807/5/1/007.
Rooney, Joe (2007). „William Kingdon Clifford“. V Ceccarelli, Marco (ed.). Významné postavy v mechanismu a strojní vědě: jejich přínosy a dědictví. Springer. str. 79–. ISBN 978-1-4020-6366-4.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Joly, Charles Jasper (1905). Manuál čtveřic. Macmillana. str.21.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Rosenfeld, Boris (1997). Geometrie Lieových skupin. Kluwer. str. 48. ISBN 978-0-7923-4390-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Bourbaki, N. (2013) [1994]. Základy dějin matematiky. Přeložil Meldrum, J. Springer. str. 137. ISBN 978-3-642-61693-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
van der Waerden, B. L. (1985). Historie algebry. Springer. str.188. ISBN 978-0-387-13610-3.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Číslo systémy
Počítatelné sady	Přirozená čísla ( ${ displaystyle mathbb {N}}$ ) Celá čísla ( ${ displaystyle mathbb {Z}}$ ) Racionální čísla ( ${ displaystyle mathbb {Q}}$ ) Konstruktivní čísla Algebraická čísla ( ${ displaystyle mathbb {A}}$ ) Období Vyčíslitelná čísla Definovatelná reálná čísla Aritmetická čísla Gaussova celá čísla
Složení algebry	Divize algebry: Skutečná čísla ( ${ displaystyle mathbb {R}}$ ) Složitá čísla ( ${ displaystyle mathbb {C}}$ ) Čtveřice ( ${ displaystyle mathbb {H}}$ ) Octonions ( ${ displaystyle mathbb {O}}$ )
Rozdělit typy	přes ${ displaystyle mathbb {R}}$ : Split-komplexní čísla Split-čtveřice Split-octonions přes ${ displaystyle mathbb {C}}$ : Dvojkomplexní čísla Biquaternions Bioktoniony
jiný hyperkomplex	Duální čísla Duální čtveřice Dvojkomplexní čísla Hyperbolické čtveřice Sedeniony ( ${ displaystyle mathbb {S}}$ ) Split-biquaternions Multikomplexní čísla Geometrická algebra Algebra fyzického prostoru Časoprostorová algebra
Jiné typy	Kardinální čísla Iracionální čísla Fuzzy čísla Hyperrealistická čísla Pole Levi-Civita Neskutečná čísla Transcendentní čísla Řadové číslovky p-adic čísla (p-adic solenoidy ) Nadpřirozená čísla Superrealistická čísla
Klasifikace Seznam