Nadpřirozené číslo - Supernatural number

Hasseův diagram z mříž nadpřirozených čísel; prvočísla jiná než 2 a 3 jsou pro jednoduchost vynechána.

v matematika, nadpřirozená čísla, někdy nazývané zobecněná přirozená čísla nebo Steinitzova čísla, jsou zobecněním přirozená čísla. Byly používány Ernst Steinitz^{[1]:249–251} v roce 1910 jako součást své práce na teorie pole.

Nadpřirozené číslo ${displaystyle omega}$ je formální produkt:

${displaystyle omega = prod _ {p} p ^ {n_ {p}},}$

kde ${displaystyle p}$ běží přes všechno prvočísla a každý ${displaystyle n_ {p}}$ je nula, přirozené číslo nebo nekonečno. Někdy ${displaystyle v_ {p} (omega)}$ se používá místo ${displaystyle n_ {p}}$. Jestli ne ${displaystyle n_ {p} = infty}$ a existuje pouze konečný počet nenulových ${displaystyle n_ {p}}$ pak získáme kladná celá čísla. Trochu méně intuitivně, pokud vše ${displaystyle n_ {p}}$ jsou ${displaystyle infty}$, dostaneme nulu. Nadpřirozená čísla přesahují přirozená čísla tím, že umožňují nekonečně mnoho prvočísel, a tím, že umožňují danému prvočíslu dělit ${displaystyle omega}$ „nekonečně často,“ tím, že se za symbol považuje odpovídající exponent toho prvočísla ${displaystyle infty}$.

Neexistuje žádný přirozený způsob, jak přidat nadpřirozená čísla, ale lze je znásobit pomocí ${displaystyle prod _ {p} p ^ {n_ {p}} cdot prod _ {p} p ^ {m_ {p}} = prod _ {p} p ^ {n_ {p} + m_ {p}}}$. Podobně se pojem dělitelnosti vztahuje i na nadpřirozené bytosti ${displaystyle omega _ {1} střední omega _ {2}}$ -li ${displaystyle v_ {p} (omega _ {1}) leq v_ {p} (omega _ {2})}$ pro všechny ${displaystyle p}$. Pojem nejmenší společný násobek a největší společný dělitel lze také zobecnit na nadpřirozená čísla definováním

${displaystyle displaystyle operatorname {lcm} ({omega _ {i}}) displaystyle = prod _ {p} p ^ {sup (v_ {p} (omega _ {i}))}}$

${displaystyle displaystyle operatorname {gcd} ({omega _ {i}}) displaystyle = prod _ {p} p ^ {inf (v_ {p} (omega _ {i}))}}$

S těmito definicemi je gcd nebo lcm nekonečně mnoha přirozených čísel (nebo nadpřirozených čísel) nadpřirozené číslo. Můžeme také rozšířit obvyklé ${displaystyle p}$-adic uspořádat funkce na nadpřirozená čísla definováním ${displaystyle v_ {p} (omega) = n_ {p}}$ pro každého ${displaystyle p}$

Nadpřirozená čísla se používají k definování řádů a indexů profinitní skupiny a podskupiny, v takovém případě mnoho z vět z teorie konečných grup přenášet přesně. Používají se ke kódování algebraické rozšíření a konečné pole.^[2] V mnoha se také implicitně používají číselně teoretický důkazy, jako je hustota celá čísla bez čtverců a hranice pro liché perfektní čísla.^{[Citace je zapotřebí ]}

Nadpřirozená čísla také vznikají při klasifikaci rovnoměrně hyperfinitní algebry.

Viz také

• Celé číslo

Reference

• Brawley, Joel V .; Schnibben, George E. (1989). Nekonečné algebraické rozšíření konečných polí. Současná matematika. 95. Providence, RI: Americká matematická společnost. 23–26. ISBN  0-8218-5101-2. Zbl  0674.12009.
• Efrat, Ido (2006). Ocenění, objednávky a Milnor K.-teorie. Matematické průzkumy a monografie. 124. Providence, RI: Americká matematická společnost. str. 125. ISBN  0-8218-4041-X. Zbl  1103.12002.
• Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Polní aritmetika. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (3. vyd.). Springer-Verlag. str. 520. ISBN  978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001.

externí odkazy

• Planet Math: Nadpřirozené číslo

Tento matematická logika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.