Výsledný - Resultant
v matematika, výsledný ze dvou polynomy je polynomiální výraz jejich koeficientů, který se rovná nule právě tehdy, pokud mají polynomy společnou vykořenit (možná v rozšíření pole ), nebo ekvivalentně společný faktor (nad jejich polem koeficientů). V některých starších textech se výslednice také nazývá vylučující.[1]
Výsledek je široce používán v teorie čísel buď přímo, nebo prostřednictvím diskriminující, což je v podstatě výslednice polynomu a jeho derivace. Výsledek dvou polynomů s Racionální nebo polynomiální koeficienty lze vypočítat efektivně na počítači. Je to základní nástroj počítačová algebra, a je vestavěnou funkcí většiny systémy počítačové algebry. Používá se mimo jiné pro válcový algebraický rozklad, integrace z racionální funkce a kreslení křivky definováno a bivariate polynomiální rovnice.
Výsledek z n homogenní polynomy v n proměnné (nazývané také multivariační výslednicenebo Macaulayův výslednice pro odlišení od obvyklého výslednice) je zevšeobecnění zavedené Macaulay, obvyklého výslednice.[2] Je to s Gröbnerovy základny, jeden z hlavních nástrojů efektivní teorie eliminace (teorie eliminace na počítačích).
Zápis
Výsledek dvou univariantních polynomů A a B se běžně označuje nebo
V mnoha aplikacích výslednice jsou polynomy závislé na několika neurčitých a lze je považovat za jednorozměrné polynomy v jednom z jejich neurčitých, přičemž polynomy v ostatních neurčitých jako koeficienty. V tomto případě je neurčitý, který je vybrán pro definování a výpočet výslednice, označen jako dolní index: nebo
Stupně polynomů se používají v definici výslednice. Polynom stupně d lze také považovat za polynom vyššího stupně, kde hlavní koeficienty jsou nulové. Pokud se pro výslednici použije takový vyšší stupeň, obvykle se označuje jako dolní index nebo horní index, například nebo
Definice
The výsledný ze dvou jednorozměrné polynomy přes pole nebo přes a komutativní prsten je obecně definována jako určující Jejich Sylvesterova matice. Přesněji řečeno
a
být nenulové polynomy stupňů d a E resp. Označme tím the vektorový prostor (nebo bezplatný modul pokud koeficienty patří komutativnímu kruhu) dimenze i jehož prvky jsou polynomy stupně přísně menší než i. Mapa
takhle
je lineární mapa mezi dvěma prostory stejné dimenze. Přes základ pravomocí X (uvedena v sestupném pořadí), tato mapa je reprezentována čtvercovou maticí dimenze d + E, kterému se říká Sylvesterova matice z A a B (pro mnoho autorů a v článku Sylvesterova matice „Sylvestrova matice je definována jako transpozice této matice; tato konvence se zde nepoužívá, protože porušuje obvyklou konvenci pro zápis matice lineární mapy).
Výsledek z A a B je tedy určující