Dvanáctý kořen ze dvou - Twelfth root of two

Oktávy (12 půltónů) se exponenciálně zvyšují při měření na lineární frekvenční stupnici (Hz).

Oktávy jsou rovnoměrně rozmístěny při měření na logaritmické stupnici (centy).

The dvanáctý kořen ze dvou nebo ${ displaystyle { sqrt [{12}] {2}}}$ (nebo ekvivalentně ${ displaystyle 2 ^ {1/12}}$ ) je algebraický iracionální číslo. To je nejdůležitější v západní hudební teorie, kde představuje frekvence poměr (hudební interval ) a půltón (Hrát si (Pomoc ·informace )) v dvanácti tónový temperament. Toto číslo bylo navrženo poprvé ve vztahu k hudební ladění v šestnáctém a sedmnáctém století. Umožňuje měření a porovnání různých intervalů (frekvenčních poměrů), které se skládají z různých čísel jediného intervalu, stejně temperovaného půltónu (například malá tercie jsou 3 půltóny, hlavní tercie jsou 4 půltóny a dokonalá pátina je 7 půltónů ).^[A] Samotný půltón je rozdělen na 100 centů (1 cent = ${ displaystyle { sqrt [{1200}] {2}} = 2 ^ {1/1200}}$ ).

Rovnoměrná chromatická stupnice

A hudební interval je poměr frekvencí a vyrovnaný chromatická stupnice rozděluje oktáva (který má poměr 2: 1) do dvanáct části.

Postupné použití této hodnoty na tóny chromatické stupnice, počínaje od A výše střední C (známý jako A₄ ) s frekvencí 440 Hz, vytváří následující posloupnost hřiště:

Poznámka	Standardní názvy intervalů týkající se A 440	Frekvence (Hz)	Násobitel	Součinitel (na šest míst)	Jen intonace poměr
A	Unisono	440.00	2^⁰⁄₁₂	1.000000	1
A♯/ B♭	Malá sekunda / půl kroku / půltón	466.16	2^¹⁄₁₂	1.059463	≈ ¹⁶⁄₁₅
B	Hlavní sekunda / Celý krok / Celý tón	493.88	2^²⁄₁₂	1.122462	≈ ⁹⁄₈
C	Malá tercie	523.25	2^³⁄₁₂	1.189207	≈ ⁶⁄₅
C♯/ D♭	Major třetí	554.37	2^⁴⁄₁₂	1.259921	≈ ⁵⁄₄
D	Perfektní čtvrtý	587.33	2^⁵⁄₁₂	1.334839	≈ ⁴⁄₃
D♯/E♭	Rozšířené čtvrté / Zmenšené páté / Tritone	622.25	2^⁶⁄₁₂	1.414213	≈ ⁷⁄₅
E	Perfektní pátý	659.26	2^⁷⁄₁₂	1.498307	≈ ³⁄₂
F	Malá šestá	698.46	2^⁸⁄₁₂	1.587401	≈ ⁸⁄₅
F♯/G♭	Šestý major	739.99	2^⁹⁄₁₂	1.681792	≈ ⁵⁄₃
G	Malá sedmá	783.99	2^{¹⁰⁄₁₂}	1.781797	≈ ⁹⁄₅
G♯/A♭	Major sedmý	830.61	2^{¹¹⁄₁₂}	1.887748	≈ ¹⁵⁄₈
A	Oktáva	880.00	2^{¹²⁄₁₂}	2.000000	2

Finále A (A₅: 880 Hz) je přesně dvojnásobná frekvence nižší A (A₄: 440 Hz), tedy o jednu oktávu výše.

Just nebo Pythagorova dokonalá pátá je 3/2 a rozdíl mezi stejně temperovanou perfektní pátou a spravedlivou je grad, dvanáctý kořen Pytagorova čárka (¹²√531441/524288). Rovný temperovaný Bohlen – Pierceova stupnice používá interval třináctého kořene tří (¹³√3). Stockhausen Studie II (1954) využívá dvacátého pátého kořene pěti (²⁵√5), složená hlavní třetina rozdělená na 5x5 částí. The stupnice delta je založeno na ≈⁵⁰√3/2, gama stupnice je založeno na ≈²⁰√3/2, stupnice beta je založeno na ≈¹¹√3/2, a alfa stupnice je založena na ≈⁹√3/2.

Nastavení výšky tónu

Jedna oktáva 12-tet na monochordu (lineární)

The chromatický kruh zobrazuje stejné vzdálenosti mezi notami (logaritmické)

Vzhledem k tomu, že se frekvenční poměr půltónu blíží 106% ( ${ displaystyle 1,05946 krát 100 = 105,946}$ ), zvýšení nebo snížení rychlosti přehrávání záznamu o 6% posune výšku tónu nahoru nebo dolů přibližně o jeden půltón nebo „půltón“. Upscale magnetofony s kotoučovými kotouči obvykle mají úpravy výšky tónu až do ± 6%, obvykle se používají k přizpůsobení výšky přehrávání nebo nahrávání jiným hudebním zdrojům, které mají mírně odlišné ladění (nebo případně zaznamenané na zařízení, které nepracovalo správnou rychlostí). Moderní nahrávací studia využívají digitální posunutí výšky tónu dosáhnout podobných výsledků, od centů až několik polokroků (všimněte si, že úpravy kotouče na kotouči také ovlivňují tempo zaznamenaného zvuku, zatímco digitální posun není).

DJ gramofony může mít úpravu až do ± 20%, ale toto se používá častěji pro synchronizace rytmu mezi skladbami než pro úpravu výšky tónu, což je většinou užitečné pouze při přechodech mezi bezbřehou a ambientní částí. Pro beatmatching hudby s vysokým melodickým obsahem by se DJ primárně snažil hledat skladby, které zní společně harmonicky, pokud jsou nastaveny na stejné tempo.

Dějiny

Historicky bylo toto číslo navrženo poprvé v souvislosti s hudebním laděním v roce 1580 (napsáno, přepsáno 1610) Simon Stevin.^[2] V roce 1581 italský hudebník Vincenzo Galilei může být prvním Evropanem, který navrhuje dvanácti tónový stejný temperament.^[1] Dvanáctý kořen dvou byl poprvé vypočítán v roce 1584 matematikem a hudebníkem Zhu Zaiyu pomocí počítadla k dosažení dvaceti čtyř desetinných míst,^[1] vypočteno asi 1605 vlámským matematikem Simon Stevin,^[1] v roce 1636 francouzským matematikem Marin Mersenne a v roce 1691 německým hudebníkem Andreas Werckmeister.^[3]

Viz také

Poznámky

^ "Nejmenší interval v rovnoměrném měřítku je poměr ${ displaystyle r ^ {n} = p}$ , tak ${ displaystyle r = { sqrt [{n}] {p}}}$ kde je poměr r rozdělí poměr p (= 2/1 v oktávě) do n stejné části. “^[1]

Reference

^ ^A ^b ^C ^d Joseph, George Gheverghese (2010). The Crest of the Peacock: Neevropské kořeny matematiky, str. 294-5. Třetí edice. Princeton. ISBN 9781400836369.
^ Christensen, Thomas (2002), Cambridge History of Western Music Theory, str.205, ISBN 978-0521686983
^ Goodrich, L. Carrington (2013). Krátká historie čínského lidu, ^{[nepaginovaný]}. Kurýr. ISBN 9780486169231. Citace: Chu Tsai-yü (1584). Nové poznámky ke studiu rezonančních trubek.

Další čtení

Barbour, J. M. (1933). "Čínská aproximace ze šestnáctého století pro $π$ ". Americký matematický měsíčník. 40 (2): 69–73. doi:10.2307/2300937. JSTOR 2300937.
Ellis, Alexander; Helmholtz, Hermann (1954). Na pocity tónu. Dover Publications. ISBN 0-486-60753-4.
Partch, Harry (1974). Genesis hudby. Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X.

[2] "Nejmenší interval v rovnoměrném měřítku je poměr ${ displaystyle r ^ {n} = p}$ , tak ${ displaystyle r = { sqrt [{n}] {p}}}$ kde je poměr r rozdělí poměr p (= 2/1 v oktávě) do n stejné části. “^[1]

[Crest-1] A ^b ^C ^d Joseph, George Gheverghese (2010). The Crest of the Peacock: Neevropské kořeny matematiky, str. 294-5. Třetí edice. Princeton. ISBN 9781400836369.

[3] Christensen, Thomas (2002), Cambridge History of Western Music Theory, str.205, ISBN 978-0521686983

[4] Goodrich, L. Carrington (2013). Krátká historie čínského lidu, ^{[nepaginovaný]}. Kurýr. ISBN 9780486169231. Citace: Chu Tsai-yü (1584). Nové poznámky ke studiu rezonančních trubek.

[A]

[2]

[1]

[3]

Iracionální čísla
Chaitin ( $Ω$ ) Liouville primární ( $ρ$ ) Logaritmus 2 Gaussova ( $G$ ) Dvanáctý kořen 2 Apéryho ( $ζ (3)$ ) Plastický ( $ρ$ ) Druhá odmocnina ze 2 Poměr supergoldenů ( $ψ$ ) Erdős – Borwein ( $E$ ) Zlatý řez ( $φ$ ) Druhá odmocnina ze 3 Druhá odmocnina z 5 Poměr stříbra ( $δ S$ ) Euler ( $E$ ) Pi ( $π$ )
Schizofrenik Transcendentální Trigonometrický