Bicomplex číslo - Bicomplex number
v abstraktní algebra, a dvojkomplexní číslo je pár (w, z) z komplexní čísla postavena Cayley – Dicksonův proces který definuje dvojkomplexní konjugát a součin dvou dvojkomplexních čísel jako
Pak dvoukomplexní norma darováno
- A kvadratická forma v první složce.
Dvojkomplexní čísla tvoří komutativní algebra skončila C dimenze dva, což je izomorfní do přímý součet algeber C ⊕ C.
Produkt dvou bikomplexních čísel poskytuje kvadratickou hodnotu tvaru, která je součinem jednotlivých kvadratických forem čísel: ověření této vlastnosti kvadratické formy produktu odkazuje na Brahmagupta – Fibonacciho identita. Tato vlastnost kvadratické formy dvojkomplexního čísla naznačuje, že tato čísla tvoří a složení algebra. Ve skutečnosti dvojkomplexní čísla vznikají na binární úrovni Cayley – Dicksonovy konstrukce založené na ℂ s formou z2.
Obecné dvojkomplexní číslo může být reprezentováno maticí , který má určující . Vlastnost skládání kvadratické formy tedy souhlasí s vlastností skládání determinantu.
Jako skutečná algebra
× | 1 | i | j | k |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | i | j | k |
i | i | −1 | k | −j |
j | j | k | 1 | i |
k | k | −j | i | −1 |
Dvojkomplexní čísla tvoří algebru C dimenze dva a od té doby C je dimenze dva R, dvojkomplexní čísla jsou algebra R dimenze čtyři. Skutečná algebra je ve skutečnosti starší než složitá; bylo to označeno tessarines v roce 1848, zatímco komplexní algebra byla zavedena až v roce 1892.
A základ pro 4-algebru tessarine R specifikuje z = 1 a z = −i, dávat matice , které se množí podle uvedené tabulky. Když je identifikační matice identifikována s 1, pak tessarine t = w + z j .
Tak jako komutativní hyperkomplexní čísla, tessarinová algebra byla obhajována Clyde M. Davenportem (1978,[1] 1991,[2] 2008[3]) (výměna j a -k v jeho multiplikační tabulce). Zejména Davenport konstatuje užitečnost izomorfní korespondence mezi dvojkomplexními čísly a přímým součtem dvojice komplexních rovin. Tessarines byly také použity v zpracování digitálních signálů.[4][5][6]
V roce 2009 matematici prokázali a základní věta o tessarinové algebře: polynom stupně n s koeficienty tessarinu má n2 kořeny, počítání multiplicity.[7]
Dějiny
Předmět násobku imaginární jednotky byl zkoumán ve 40. letech 19. století. V dlouhé sérii „O čtveřicích nebo o novém systému imaginářů v algebře“ začínající v roce 1844 v Filozofický časopis, William Rowan Hamilton sdělil systém násobící se podle čtveřice skupina. V roce 1848 Thomas Kirkman hlášeno[8] o jeho korespondenci s Arthur Cayley týkající se rovnic na jednotkách určujících systém hyperkomplexních čísel.
Tessarines
V roce 1848 James Cockle představil tessarines v sérii článků v Filozofický časopis.[9]
A tessarine je hyperkomplexní číslo formuláře
kde Cockle použil tessariny k izolaci hyperbolické kosinové řady a hyperbolické sinusové řady v exponenciální řadě. Také ukázal jak nulové dělitele vznikají v tessarines a inspirují ho k použití výrazu „nemožné“. Tessarines jsou nyní nejlépe známé pro jejich subalgebru skutečné tessarines , také zvaný rozdělená komplexní čísla, které vyjadřují parametrizaci jednotka hyperbola.
Dvojkomplexní čísla
V roce 1892 Corrado Segre představen[10] dvojkomplexní čísla v Mathematische Annalen, které tvoří algebru isomorfní k tessarines.
Corrado Segre četl W. R. Hamilton je Přednášky o čtveřicích (1853) a díla W. K. Clifford. Segre použil některé Hamiltonovy notace k vývoji svého systému dvojkomplexní čísla: Nechte h a i být prvky, které čtverce na −1 a které dojíždějí. Pak za předpokladu asociativita množení, produkt Ahoj musí být čtverec +1. Algebra vytvořená na základě { 1, h, i, Ahoj } je pak stejný jako tessariny Jamese Cockleho, znázorněné na jiném základě. Segre poznamenal, že prvky
- jsou idempotents.
Když jsou dvojkomplexní čísla vyjádřena v základu { 1, h, i, −Ahoj }, jejich ekvivalence s tessarines je zřejmá. Podíváme-li se na jejich lineární reprezentaci izomorfní algebry ukazují shodu ve čtvrté dimenzi při použití záporného znaménka; zvážit výše uvedený ukázkový produkt pod lineárním vyjádřením.
The University of Kansas přispělo k vývoji dvoukomplexní analýzy. V roce 1953 Ph.D. práce studenta Jamese D. Rileyho „Příspěvky k teorii funkcí dvoukomplexní proměnné“ byla publikována v Matematický deník Tohoku (2. ser., 5: 132–165). V roce 1991 G. Baley Price vydal knihu[11] na dvojkomplexních číslech, vícenásobná čísla a jejich teorie funkcí. Profesor Price také uvádí v předmluvě ke své knize trochu historie předmětu. Další knihou, která se zabývá vývojem čísel v bikomplexech a jejich aplikacemi, jsou Catoni, Bocaletti, Cannata, Nichelatti & Zampetti (2008).[12]
Kvocientové kroužky polynomů
Jedno srovnání dvojkomplexních čísel a tessarinek používá polynomiální kruh R[X,Y], kde XY = YX. The ideál pak poskytuje a kvocientový kroužek představující tessarines. V tomto přístupu kvocientu prstenu odpovídají prvky tessarines kosety s ohledem na ideál A. Stejně tak ideální vytvoří kvocient představující dvojkomplexní čísla.
Zobecnění tohoto přístupu používá bezplatná algebra R⟨X,Y⟩ Ve dvě nedojíždění neurčí X a Y. Zvažte tyto tři druhý stupeň polynomy . Nechat A být jejich ideálem. Poté zazvoní kvocient R⟨X,Y⟩/A je izomorfní vůči kruhu tessarines.
To vidět Všimněte si, že
- aby
- Ale pak
- podle potřeby.
Nyní zvažte alternativní ideál B generováno uživatelem V tomto případě lze prokázat . The kruhový izomorfismus R⟨X,Y⟩/A ≅ R⟨X,Y⟩/B zahrnuje a změna základny výměna .
Alternativně předpokládejme pole C z obyčejných komplexních čísel se předpokládá dané, a C[X] je kruh polynomů v X se složitými koeficienty. Pak kvocient C[X]/(X2 + 1) je další prezentace dvojkomplexních čísel.
Polynomiální kořeny
Psát si 2C = C ⊕ C a představují jeho prvky seřazenými páry (u,proti) komplexních čísel. Vzhledem k tomu, algebra tessarines T je izomorfní s 2C, kroužky polynomů T[X] a 2C[X] jsou také izomorfní, avšak polynomy v druhé algebře se rozdělí:
V důsledku toho, když polynomiální rovnice v této algebře je nastavena, redukuje se na dvě polynomiální rovnice C. Pokud je stupeň n, pak existují n kořeny pro každou rovnici: Jakýkoli objednaný pár z této množiny kořenů uspokojí původní rovnici v 2C[X], takže má n2 kořeny.
Kvůli izomorfismu s T[X], existuje korespondence polynomů a korespondence jejich kořenů. Proto tessarinové polynomy stupně n také mají n2 kořeny, počítám rozmanitost kořenů.
Reference
- ^ Davenport, Clyde M. (1978). Rozšíření komplexního počtu na čtyři skutečné dimenze s aplikací na speciální relativitu (Práce M.S.). Knoxville, Tennessee: University of Tennessee, Knoxville.
- ^ Davenport, Clyde M. (1991). Hyperkomplexní kalkul s aplikacemi speciální relativity. Knoxville, Tennessee: University of Tennessee, Knoxville. ISBN 0-9623837-0-8.
- ^ Davenport, Clyde M. (2008). „Komutativní hyperkomplexní matematika“. Archivovány od originál dne 2. října 2015.
- ^ Pei, Soo-Chang; Chang, Ja-Han; Ding, Jian-Jiun (21. června 2004). "Komutativní redukované biquaterniony a jejich Fourierova transformace pro zpracování signálu a obrazu" (PDF). Transakce IEEE při zpracování signálu. IEEE. 52 (7): 2012–2031. doi:10.1109 / TSP.2004.828901. ISSN 1941-0476.
- ^ Alfsmann, Daniel (4. – 8. Září 2006). Pro rodiny 2N dimenzionální hyperkomplexní algebry vhodné pro digitální zpracování signálu (PDF). 14. evropská konference o zpracování signálu, Florencie, Itálie: EURASIP.CS1 maint: umístění (odkaz)
- ^ Alfsmann, Daniel; Göckler, Heinz G. (2007). Na hyperbolických komplexních digitálních systémech LTI (PDF). EURASIP.
- ^ Poodiack, Robert D .; LeClair, Kevin J. (listopad 2009). „Základní věty algebry pro perplexes“. The College Mathematics Journal. MAA. 40 (5): 322–335. doi:10.4169 / 074683409X475643. JSTOR 25653773.
- ^ Thomas Kirkman (1848) „O Pluquaternionech a homoidních produktech z n Čtverce ", Filozofický časopis v Londýně a Edinburghu 1848, s. 447 Odkaz na knihy Google
- ^ James Cockle v Londýně - Dublinu - Edinburghu Filozofický časopis, řada 3
- 1848 O určitých funkcích připomínajících čtveřice a o novém imaginárním v algebře, 33:435–9.
- 1849 Na novém imaginárním v algebře 34:37–47.
- 1849 Na symbolech algebry a na teorii tessarinek 34:406–10.
- 1850 O skutečné amplitudě tessariny 36:290-2.
- 1850 Na nemožné rovnice, na nemožné množství a na tessariny 37:281–3.
- ^ Segre, Corrado (1892), „Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici“ [Skutečné znázornění složitých prvků a hyperalgebraických entit], Mathematische Annalen, 40: 413–467, doi:10.1007 / bf01443559. (viz zejména strany 455–67)
- ^ G. Baley Price (1991) Úvod do multikomplexních prostorů a funkcí, Marcel Dekker ISBN 0-8247-8345-X
- ^ F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) Matematika minkowského časoprostoru s úvodem do komutativních čísel hyperkomplexu, Birkhäuser Verlag, Basilej ISBN 978-3-7643-8613-9