Základní jednotka (teorie čísel) - Fundamental unit (number theory)
v algebraická teorie čísel, a základní jednotka je generátor (modul kořeny jednoty ) pro skupina jednotek z kruh celých čísel a pole s číslem, když tato skupina má hodnost 1 (tj. Když skupina jednotek moduluje své torzní podskupina je nekonečný cyklický ). Dirichletova věta o jednotce ukazuje, že skupina jednotek má pořadí 1 přesně tehdy, když je pole čísla a skutečné kvadratické pole, a komplexní kubické pole nebo naprosto imaginární kvartické pole. Když má skupina jednotek hodnocení ≥ 1, základ její modulo její torze se nazývá a základní soustava jednotek.[1] Někteří autoři tento termín používají základní jednotka znamenat jakýkoli prvek základního systému jednotek, neomezující se na případ 1. úrovně (např. Neukirch 1999, str. 42).
Skutečná kvadratická pole
Pro skutečné kvadratické pole (s d bez čtverce) je základní jednotka ε běžně normalizována tak, že ε > 1 (jako skutečné číslo). Pak je jedinečně charakterizována jako minimální jednotka mezi těmi, které jsou větší než 1. Jestliže Δ označuje diskriminující z K., pak je základní jednotka
kde (A, b) je nejmenší řešení[2]
v kladných celých číslech. Tato rovnice je v podstatě Pellova rovnice nebo negativní Pellovu rovnici a její řešení lze získat obdobně pomocí pokračující zlomek expanze .
Jestli ano nebo ne X2 - Δy2 = −4 má řešení určuje, zda skupina tříd z K. je stejný jako jeho úzká třídní skupina, nebo ekvivalentně, ať už je nebo není jednotka normy -1 v K.. Je známo, že tato rovnice má řešení právě tehdy, pouze když doba pokračující expanze frakce je zvláštní. Jednodušší vztah lze získat pomocí kongruencí: je-li Δ dělitelné prvočíslem, které je shodné se 3 modulo 4, pak K. nemá jednotku normy −1. Konverzace však neplatí, jak ukazuje příklad d = 34.[3] Na počátku 90. let navrhl Peter Stevenhagen pravděpodobnostní model, který ho vedl k domněnce o tom, jak často selže konverzace. Konkrétně pokud D(X) je počet reálných kvadratických polí, jejichž diskriminační Δ < X není dělitelný prime kongruentem na 3 modulo 4 a D−(X) jsou tedy ti, kteří mají jednotku normy −1[4]
Jinými slovy, konverzace selže asi 42% času. V březnu 2012 poskytli nedávný výsledek tohoto dohadu Étienne Fouvry a Jürgen Klüners[5] kteří ukazují, že konverzace selhává mezi 33% a 59% času.
Krychlová pole
Li K. je komplexní kubické pole, pak má jedinečné skutečné vložení a základní jednotku ε lze vybrat jedinečně tak, že | ε | > 1 v tomto vložení. Pokud je diskriminační Δ z K. splňuje | Δ | ≥ 33, tedy[6]
Například základní jednotka je a vzhledem k tomu, že diskriminátor tohoto pole je -108 a
tak .
Poznámky
- ^ Alaca & Williams 2004, §13.4
- ^ Neukirch 1999 Cvičení I.7.1
- ^ Alaca & Williams 2004, Tabulka 11.5.4
- ^ Stevenhagen 1993, Domněnka 1.4
- ^ Fouvry & Klüners 2010
- ^ Alaca & Williams 2004, Věta 13.6.1
Reference
- Alaca, Saban; Williams, Kenneth S. (2004), Úvodní algebraická teorie čísel, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54011-7
- Duncan Buell (1989), Binární kvadratické formy: klasická teorie a moderní výpočty, Springer-Verlag, str.92–93, ISBN 978-0-387-97037-0
- Fouvry, Étienne; Klüners, Jürgen (2010), „O negativní Pellově rovnici“, Annals of Mathematics, 2 (3): 2035–2104, doi:10.4007 / annals.2010.172.2035, PAN 2726105
- Neukirch, Jürgen (1999), Algebraická teorie čísel, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, PAN 1697859, Zbl 0956.11021
- Stevenhagen, Peter (1993), „Počet reálných kvadratických polí s jednotkami negativní normy“, Experimentální matematika, 2 (2): 121–136, CiteSeerX 10.1.1.27.3512, doi:10.1080/10586458.1993.10504272, PAN 1259426