Split-octonion - Split-octonion - Wikipedia

v matematika, split-octonions jsou 8-dimenzionální neasociativní algebra nad reálná čísla. Na rozdíl od standardu octonions obsahují nenulové prvky, které nejsou invertovatelné. Také podpisy Jejich kvadratické formy se liší: split-octoniony mají split podpis (4,4), zatímco octoniony mají pozitivní definitivní podpis (8,0).

Až do izomorfismu jsou octoniony a split-octoniony jedinými dvěma 8-dimenzionálními složení algebry přes reálná čísla. Jsou také jediní dva octonion algebry přes reálná čísla. Split-octonionové algebry analogické split-octonionům lze definovat přes libovolné pole.

Definice

Cayley – Dicksonova konstrukce

Oktoniony a split-oktoniony lze získat z Cayley – Dicksonova konstrukce definováním násobení na dvojicích čtveřice. Představíme novou imaginární jednotku ℓ a napíšeme pár čtveřice (A, b) ve formě A + ℓb. Produkt je definován pravidlem:^[1]

${ displaystyle (a + ell b) (c + ell d) = (ac + lambda { bar {d}} b) + ell (da + b { bar {c}})}$

kde

${ displaystyle lambda = ell ^ {2}.}$

Li λ je vybráno jako -1, dostaneme octoniony. Pokud se místo toho vezme +1, dostaneme split-octonions. Dělené oktoniony lze získat také zdvojnásobením Cayley – Dicksona rozdělené čtveřice. Zde buď výběr z λ (± 1) dává rozdělené oktoniony.

Násobilka

Mnemotechnická pomůcka pro produkty rozdělených oktonionů.

A základ pro split-octonions je dána množinou ${ Displaystyle { 1, i, j, k, ell, ell i, ell j, ell k }}$.

Každý split-octonion ${ displaystyle x}$ lze psát jako lineární kombinace základních prvků,

${ displaystyle x = x_ {0} + x_ {1} , i + x_ {2} , j + x_ {3} , k + x_ {4} , ell + x_ {5} , ell i + x_ {6} , ell j + x_ {7} , ell k,}$

se skutečnými koeficienty ${ displaystyle x_ {a}}$.

Podle linearity je násobení split-octonionů zcela určeno následujícím způsobem násobilka:

		násobitel
		${ displaystyle 1}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle j}$	${ displaystyle k}$	${ displaystyle ell}$	${ displaystyle ell i}$	${ displaystyle ell j}$	${ displaystyle ell k}$
multiplikátor	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle j}$	${ displaystyle k}$	${ displaystyle ell}$	${ displaystyle ell i}$	${ displaystyle ell j}$	${ displaystyle ell k}$
	${ displaystyle i}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle k}$	${ displaystyle -j}$	${ displaystyle - ell i}$	${ displaystyle ell}$	${ displaystyle - ell k}$	${ displaystyle ell j}$
	${ displaystyle j}$	${ displaystyle j}$	${ displaystyle -k}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle - ell j}$	${ displaystyle ell k}$	${ displaystyle ell}$	${ displaystyle - ell i}$
	${ displaystyle k}$	${ displaystyle k}$	${ displaystyle j}$	${ displaystyle -i}$	${ displaystyle -1}$	${ displaystyle - ell k}$	${ displaystyle - ell j}$	${ displaystyle ell i}$	${ displaystyle ell}$
	${ displaystyle ell}$	${ displaystyle ell}$	${ displaystyle ell i}$	${ displaystyle ell j}$	${ displaystyle ell k}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle i}$	${ displaystyle j}$	${ displaystyle k}$
	${ displaystyle ell i}$	${ displaystyle ell i}$	${ displaystyle - ell}$	${ displaystyle - ell k}$	${ displaystyle ell j}$	${ displaystyle -i}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle k}$	${ displaystyle -j}$
	${ displaystyle ell j}$	${ displaystyle ell j}$	${ displaystyle ell k}$	${ displaystyle - ell}$	${ displaystyle - ell i}$	${ displaystyle -j}$	${ displaystyle -k}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle i}$
	${ displaystyle ell k}$	${ displaystyle ell k}$	${ displaystyle - ell j}$	${ displaystyle ell i}$	${ displaystyle - ell}$	${ displaystyle -k}$	${ displaystyle j}$	${ displaystyle -i}$	${ displaystyle 1}$

Pohodlné mnemotechnická pomůcka je dáno diagramem vpravo, který představuje tabulku násobení pro split-octonions. Ten je odvozen od jeho nadřazeného oktonionu (jeden z 480 možných), který je definován:

${ displaystyle e_ {i} e_ {j} = - delta _ {ij} e_ {0} + varepsilon _ {ijk} e_ {k}, ,}$

kde ${ displaystyle delta _ {ij}}$ je Kroneckerova delta a ${ displaystyle varepsilon _ {ijk}}$ je Symbol Levi-Civita s hodnotou ${ displaystyle +1}$ když ${ displaystyle ijk = 123,154,176,264,257,374,365,}$ a:

${ displaystyle e_ {i} e_ {0} = e_ {0} e_ {i} = e_ {i}; , , , , e_ {0} e_ {0} = e_ {0},}$

s ${ displaystyle e_ {0}}$ skalární prvek a ${ displaystyle i, j, k = 1 ... 7.}$

Červené šipky označují možné obrácení směru vynucené negováním pravého dolního kvadrantu nadřazeného prvku vytvořením děleného oktonionu s touto tabulkou násobení.

Konjugovat, normovat a inverzní

The sdružené rozděleného oktonionu X darováno

${ displaystyle { bar {x}} = x_ {0} -x_ {1} , i-x_ {2} , j-x_ {3} , k-x_ {4} , ell -x_ {5} , ell i-x_ {6} , ell j-x_ {7} , ell k,}$

stejně jako u octonionů.

The kvadratická forma na X darováno

${ displaystyle N (x) = { bar {x}} x = (x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2}) - (x_ {4} ^ {2} + x_ {5} ^ {2} + x_ {6} ^ {2} + x_ {7} ^ {2}).}$

Tato kvadratická forma N(X) je izotropní kvadratická forma protože tam jsou nenulové split-octonions X s N(X) = 0. S N, rozdělené oktoniony tvoří a pseudoeuklidovský prostor osmi rozměrů R, někdy psáno R^4,4 k označení podpisu kvadratické formy.

Li N(X) ≠ 0, tedy X má (oboustranný) multiplikativní inverzní X⁻¹ dána

${ displaystyle x ^ {- 1} = N (x) ^ {- 1} { bar {x}}.}$

Vlastnosti

Split-octonions, stejně jako octonions, jsou nekomutativní a neasociativní. Stejně jako octoniony tvoří a složení algebra od kvadratické formy N je multiplikativní. To znamená

${ displaystyle N (xy) = N (x) N (y).}$

Rozdělené oktoniony uspokojí Mufangské identity a tak tvoří alternativní algebra. Proto by Artinova věta, subalgebra generovaná libovolnými dvěma prvky je asociativní. Sada všech invertibilních prvků (tj. Těch prvků, pro které N(X) ≠ 0) tvoří a Mufang smyčka.

Automorphism skupina split-octonions je 14-dimenzionální Lie skupina, dále jen rozdělit skutečnou podobu výjimečných jednoduchá Lieova skupina G₂.

Zornova vektorová maticová algebra

Vzhledem k tomu, že rozdělené oktoniony nejsou neasociativní, nemohou být reprezentovány obyčejnými matice (násobení matice je vždy asociativní). Zorn našel způsob, jak je reprezentovat jako „matice“ obsahující skaláry i vektory pomocí upravené verze násobení matic.^[2] Konkrétně definujte a vektorová matice být maticí formuláře 2 × 2^[3][4][5][6]

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & mathbf {v} mathbf {w} & b end {bmatrix}},}$

kde A a b jsou reálná čísla a proti a w jsou vektory v R³. Definujte násobení těchto matic podle pravidla

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & mathbf {v} mathbf {w} & b end {bmatrix}} { begin {bmatrix} a '& mathbf {v}' mathbf {w } '& b' end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} aa '+ mathbf {v} cdot mathbf {w}' & a mathbf {v} '+ b' mathbf {v} + mathbf {w} times mathbf {w} ' a' mathbf {w} + b mathbf {w} '- mathbf {v} times mathbf {v}' & bb '+ mathbf {v } ' cdot mathbf {w} end {bmatrix}}}$

kde · a × jsou běžné Tečkovaný produkt a křížový produkt 3-vektorů. Se sčítáním a skalárním násobením definovaným jako obvykle sada všech takových matic tvoří neasociální jednotnou 8rozměrnou algebru nad reálemi, tzv. Zornova vektorová maticová algebra.

Definovat „určující "vektorové matice podle pravidla

${ displaystyle det { begin {bmatrix} a & mathbf {v} mathbf {w} & b end {bmatrix}} = ab- mathbf {v} cdot mathbf {w}}$.

Tento determinant je kvadratická forma na Zornově algebře, která splňuje pravidlo složení:

${ displaystyle det (AB) = det (A) det (B). ,}$

Zornova vektorová maticová algebra je ve skutečnosti izomorfní s algebrou split-octonions. Napište octonion ${ displaystyle x}$ ve formě

${ displaystyle x = (a + mathbf {v}) + ell (b + mathbf {w})}$

kde ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou reálná čísla a proti a w jsou čisté imaginární čtveřice považované za vektory v R³. Izomorfismus od split-octonionů po Zornovu algebru je dán vztahem

${ displaystyle x mapsto phi (x) = { begin {bmatrix} a + b & mathbf {v} + mathbf {w} - mathbf {v} + mathbf {w} & a-b konec {bmatrix}}.}$

Tento izomorfismus zachovává normu od té doby ${ displaystyle N (x) = det ( phi (x))}$.

Aplikace

Split-octonions se používají v popisu fyzikálního zákona. Například:

• The Diracova rovnice ve fyzice (pohybová rovnice částice s volným spinem 1/2, jako je například elektron nebo proton) může být vyjádřena přirozenou aritmetikou split-octonion.^[7]
• Supersymetrická kvantová mechanika má octonionic rozšíření.^[8]
• Zornskou algebru split-octonion lze použít při modelování symetrické kvantové chromodynamiky SU (3) lokálního měřidla.^[9]
• Problém kuličky, která neklouže na kouli o poloměru 3krát větším, má skutečnou podobu výjimečné skupiny G₂ jako jeho skupina symetrie, vzhledem k tomu, že tento problém lze popsat pomocí split-octonions.^[10]

Reference

• Harvey, F. Reese (1990). Spinory a kalibrace. San Diego: Academic Press. ISBN  0-12-329650-1.
• Nash, Patrick L (1990) „O struktuře dělené oktonionové algebry“, Il Nuovo Cimento B 105(1): 31–41. doi:10.1007 / BF02723550
• Springer, T. A .; F. D. Veldkamp (2000). Octonions, Jordan Algebras a výjimečné skupiny. Springer-Verlag. ISBN  3-540-66337-1.