Model spirálového pole - Spiral array model

v hudební teorie, model spirálového pole je rozšířený typ prostor hřiště. Matematický model zahrnující soustředné šroubovice ("pole spirály "), představuje lidské vnímání hřiště, akordy a klíče ve stejné geometrický prostor. V roce 2000 to bylo navrženo Elaine Chew ve své disertační práci na MIT Směrem k matematickému modelu Tonalita.^[1] Další výzkum Chew a dalších přinesl modifikace modelu spirálního pole a aplikoval jej na různé problémy v hudební teorii a praxi, jako jsou klíčové nálezy (symbolické a zvukové^[2][3]), hláskování výšky tónu,^[4][5][6][7] tonální segmentace,^[8][9] posouzení podobnosti,^[10] a hudební humor.^[11] Rozšíření a aplikace jsou popsány v Matematické a výpočetní modelování tonality: teorie a aplikace.^[12]

Model spirálního pole lze považovat za zobecněný tonnetz, který mapuje výšky tónu do dvourozměrné mřížkové (maticové) struktury. Spirálové pole uzavírá dvourozměrný tonnetz do trojrozměrné mřížky a modeluje struktury vyššího řádu, jako jsou akordy a klávesy ve vnitřku mřížového prostoru. To umožňuje modelu spirálního pole vytvářet geometrické interpretace vztahů mezi strukturami na nízké a vysoké úrovni. Například je možné modelovat a geometricky měřit vzdálenost mezi určitou roztečí a konkrétním klíčem, přičemž oba jsou reprezentovány jako body v prostoru spirálního pole. Pro zachování pravopisu výšky tónu, protože hudebně A # ≠ Bb ve své funkci a použití, spirálové pole nepředpokládá enhanarmonická ekvivalence, tj. neskládá se do torusu. Prostorové vztahy mezi tóny, mezi akordy a mezi klávesami souhlasí s vztahy v jiných reprezentacích tonálního prostoru.^[13]

Model a jeho algoritmy v reálném čase byly implementovány do tonálního vizualizačního softwaru MuSA.RT^[14][15] (Music on the Spiral Array. Real-Time) a bezplatná aplikace, MuSA_RT,^[16] oba byly použity ve hudebních vzdělávacích videích^[17][18] a v živém vystoupení.^[19][20][21]

Struktura spirálového pole

Model spirálního pole. Třída rozteče, akord dur / moll a klíčové helixy dur / moll.

Navrhovaný model pokrývá základní výšky tónu, durové akordy, durové akordy, durové klávesy a mollové klávesy, zastoupené na pěti soustředných šroubovicích. Počínaje formulací stoupání šroubovice jsou vnitřní šroubovice generovány jako konvexní kombinace bodů na vnějších. Například výšky C, E a G jsou reprezentovány jako kartézské body P (0), P (1), a P (4) (viz definice v následující části), které naznačují trojúhelník. Konvexní kombinace těchto tří bodů je bod uvnitř trojúhelníku a představuje jejich střed účinku (ce). Tento vnitřní bod, C_M(0), představuje akord C dur v modelu spirálního pole. Podobně mohou být klávesy konstruovány podle středů účinku jejich I, IV a V akordů.

1. Vnější šroubovice představuje třídy hřiště. Sousední kurzy hřiště jsou hudebním intervalem a perfektní pátý a prostorově o čtvrtinu rotace. Pořadí tříd výšky tónu lze určit řádkem pětin. Například po C bude následováno G (C a G jsou perfektní pětina od sebe), které budou následovány D (G a D jsou perfektní pětina od sebe) atd. V důsledku této struktury a jedné z důležitých vlastnosti vedoucí k jeho výběru jsou svislí sousedé hudebním intervalem a hlavní tercie odděleně. Nejbližší sousedé třídy hřiště tedy tvoří perfektní pátý a hlavní třetí interval.
2. Tím, že vezmete každou po sobě jdoucí trojici podél šroubovice, a spojíte jejich středy účinku, vytvoří se uvnitř stoupací šroubovice druhá šroubovice, představující hlavní akordy.
3. Podobně tím, že vezmeme správné menší triády a spojíme jejich středy účinku, se vytvoří třetí spirála představující malé akordy.
4. Hlavní klíčová spirála je tvořena středy účinku středů účinku akordů I, IV a V.
5. Menší klíčová šroubovice je vytvořena spojením podobných kombinací akordů i, iv / IV a V / v.

Rovnice pro výšky, tětivy a klíčové reprezentace

Část modelu Spiral Array od Elaine Chew. Generování hlavní klíčové reprezentace jako centra účinku jeho I, IV a V akordů, které jsou zase generovány jako centrum účinku jejich definujících výšek.

Část modelu Spiral Array od Elaine Chew. Generování vedlejší reprezentace klíče jako centra účinku jeho akordů i, iv / IV a V / v, které jsou zase generovány jako centrum účinku jejich definujících výšek.

The stoupání šroubovice třídy, P, je v parametrické formě reprezentován:

${displaystyle P (k) = {egin {bmatrix} x_ {k} y_ {k} z_ {k} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} rsin (kcdot pi / 2) rcos (kcdot pi / 2) khend {bmatrix}}}$

kde k je celé číslo představující vzdálenost výšky tónu od C podél linie pětin, r je poloměr spirály a h je „vzestup“ spirály.

The hlavní akord helix, C_M je reprezentován:

${displaystyle C_ {M} (k) = w_ {1} cdot P (k) + w_ {2} cdot P (k + 1) + w_ {3} cdot P (k + 4)}$

kde ${displaystyle w_ {1} geq w_ {2} geq w_ {3}> 0}$ a ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3} w_ {i} = 1.}$

Váhy „w“ způsobují, jak blízko jsou středy účinku od základní, hlavní tercie a dokonalé pětiny akordu. Změnou relativních hodnot těchto vah model spirálního pole ovlivňuje, jak je „blízký“ výsledný akord třem základním tónům. Obecně v západní hudbě má základní váha největší váhu při identifikaci akordu (w1), následuje pátý (w2), následovaný třetím (w3).

The helix menší akord, C_m je reprezentován:

${displaystyle C_ {m} (k) = u_ {1} cdot P (k) + u_ {2} cdot P (k + 1) + u_ {3} cdot P (k-3)}$

kde ${displaystyle u_ {1} geq u_ {2} geq u_ {3}> 0}$ a ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3} u_ {i} = 1.}$

Váhy „u“ fungují podobně jako hlavní akord.

The hlavní klíčová šroubovice, T_M je reprezentován:

${displaystyle T_ {M} (k) = omega _ {1} cdot P (k) + omega _ {2} cdot P (k + 1) + omega _ {3} cdot P (k-1)}$

kde ${displaystyle omega _ {1} geq omega _ {2} geq omega _ {3}> 0}$ a ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3} omega _ {i} = 1.}$

Podobně jako váhy, které kontrolují, jak blízko jsou výšky hřiště od středu účinku akordu, který produkují, váhy ${displaystyle omega}$ řídí relativní účinek akordu I, IV a V při určování, jak blízko jsou výslednému klíči.

The vedlejší klíčová šroubovice, T_m je reprezentován:

${displaystyle T_ {m} (k) = u _ {1} cdot C_ {M} (k) + u _ {2} cdot (alfa cdot C_ {M} (k + 1) + (1-alfa) cdot C_ {m} (k + 1)) + u _ {3} cdot (eta * C_ {m} (k-1) + (1- eta) cdot C_ {M} (k-1)).}$

kde ${displaystyle u _ {1} geq u _ {2} geq u _ {3}> 0}$ a ${displaystyle u _ {1} + u _ {2} + u _ {3} = 1}$ a ${displaystyle 0geq alpha geq 1}$ a ${displaystyle eta geq 1.}$

Reference

Další čtení

• Chew, Elaine (2014). Matematické a výpočetní modelování tonality: teorie a aplikace. International Series in Operations Research & Management Science. Springer. ISBN  9781461494744.
• Chew, Elaine (2000). Směrem k matematickému modelu tonality (Ph.D.). Massachusetts Institute of Technology. hdl:1721.1/9139.
• Megan Swan (12. prosince 2014). Podívejte se, co slyšíte. 3:41 minuty. Uvnitř hudby. Filharmonie v Los Angeles.
• Eric Mankin (20. ledna 2010). Inženýrka-pianistka Elaine Chew hovoří o používání matematických a softwarových nástrojů k analýze hudby. 5:49 minuty. Viterbi. University of Southern California.
• François, Alexandre (2012). „MuSA_RT“., bezplatná aplikace pro Mac implementující a animující model spirálového pole pro vstup MIDI.