Tvrzení: Li má všechny ekvalizéry než ve faktorizaci z (1) je epimorfismus.[2]
Důkaz —
Nechat být takový, že , je třeba to ukázat . Od ekvalizéru existuje, faktorizuje jako s monic. Ale pak je faktorizace s monomorfismus. Díky univerzální vlastnosti obrázku tedy existuje jedinečná šipka takhle a od té doby je monický . Kromě toho jeden má a vlastnictvím monomorfismu z jeden získá .
Tohle znamená tamto a tím i to vyrovnává , odkud .
Druhá definice
V kategorii se všemi konečnými limity a kolimity, obraz je definován jako ekvalizér tzv dvojice koksovny.[3]
Poznámky:
Konečná dvojkompletnost kategorie zajišťuje, že existují tlaky a ekvalizéry.
lze volat běžný obrázek tak jako je pravidelný monomorfismus, tj. ekvalizér dvojice morfismu. (Připomeňme také, že ekvalizér je automaticky monomorfismus).
V kategorii abelian lze zapsat vlastnost dvojice cokernel a podmínka ekvalizéru . Navíc jsou všechny monomorfismy pravidelné.
Teorém — Li vždy faktorizuje prostřednictvím pravidelných monomorfismů, pak se obě definice shodují.
Důkaz —
První definice znamená druhou: Předpokládat, že (1) drží s pravidelný monomorfismus.
Vyrovnání: je třeba to ukázat . Jako dvojice koksů a podle předchozího návrhu, protože má všechny ekvalizéry, šipku ve faktorizaci je epimorfismus, proto .
Univerzálnost: v kategorii se všemi kolimity (nebo alespoň se všemi výhrami) sám připouští dvojici koksáren
Navíc jako pravidelný monomorfismus je ekvalizér dvojice morfismů ale my zde tvrdíme, že je to také ekvalizér .
Ve skutečnosti podle konstrukce tedy diagram „dvojice koksů“ pro přináší jedinečný morfismus takhle . Nyní mapa který vyrovnává také uspokojuje , tedy ekvalizačním diagramem pro , existuje jedinečná mapa takhle .
Nakonec použijte diagram párů koksů (z ) s : existuje jedinečný takhle . Proto každá mapa který vyrovnává také vyrovnává a tedy jednoznačně factoruje jako . To přesně znamená je ekvalizér .
Druhá definice znamená první:
Faktorizace: brát v diagramu ekvalizéru ( odpovídá ), získá se faktorizace .
Univerzálnost: nechat být faktorizace s regulární monomorfismus, tj. ekvalizér nějakého páru .
Pak tak, že podle diagramu "párů koksáren" (z ), s existuje jedinečný takhle .
Nyní od (m z ekvalizéru (i1, i2) diagram), jeden získá , tedy univerzálností v (ekvalizéru (d1, d2) diagram, s F nahrazen m), existuje jedinečný takhle .
^Mitchell, Barry (1965), Teorie kategoriíČistá a aplikovaná matematika, 17Akademický tisk, ISBN978-0-124-99250-4, PAN0202787 Oddíl I.10 s. 12
^Mitchell, Barry (1965), Teorie kategoriíČistá a aplikovaná matematika, 17Akademický tisk, ISBN978-0-124-99250-4, PAN0202787 Návrh 10.1 str.12
^Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006), „Kategorie a svazky“Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 332, Berlin Heidelberg: Springer, s. 113–114 Definice 5.1.1