Nastavit inverzi - Set inversion

V matematice nastavit inverzi je problém charakterizace preimage X sady Y funkcí F, tj., X = F−1(Y) = {X ∈ Rn | F(X) ∈ Y}. Lze jej také považovat za problém popisu množiny řešení kvantifikovaného omezení „Y (f (x))“, kde Y (y) je omezení, například nerovnost, popisující množinu Y.

Ve většině aplikací F je funkce z Rn na Rp a sada Y je krabička Rp (tj. kartézský součin z p intervaly R).

Když F je nelineární lze nastavit problém inverze množiny [1] použitím intervalová analýza v kombinaci s a rozvětvené a vázané algoritmus.[2]

Hlavní myšlenka spočívá ve výstavbě dlažby R.p vyrobeno z nepřekrývajících se krabic. Pro každou krabici [X], provádíme následující testy:

  1. -li F([X]) ⊂ Y dospěli jsme k závěru, že [X] ⊂ X;
  2. -li F([X]) ∩ Y = ∅ dochází k závěru, že [X] ∩ X = ∅;
  3. V opačném případě pole [X] pole je půlené, kromě případů, kdy je jeho šířka menší než zadaná přesnost.

Ke kontrole prvních dvou testů potřebujeme prodloužení intervalu (nebo funkce začlenění) [F] pro F. Utajované krabice jsou uloženy do dílčí dlažby, tj. spojení nepřekrývajících se polí. Algoritmus lze zefektivnit nahrazením testů začlenění znakem dodavatelé.

Příklad

Sada X = F−1([4,9]) kde F(X1, X2) = X2
1 + X2
2 je znázorněn na obrázku.

Například od [−2,1]2 + [4,5]2 = [0,4] + [16,25] = [16,29] neprotíná interval [4,9], dospěli jsme k závěru, že rámeček [-2,1] × [4,5] je mimo X. Od [−1,1]2 + [2,√5]2 = [0,1] + [4,5] = [4,6] je uvnitř [4,9], dospěli jsme k závěru, že celá krabice [-1,1] × [2,√5] je uvnitř X.

Prsten definovaný jako problém inverze množiny

aplikace

Set inverze se používá hlavně pro plánování cesty, pro nelineární parametr nastavit odhad [3] [4], pro lokalizaci [5][6] nebo pro charakterizaci oblastí stability lineárních dynamických systémů.[7].

Reference

  1. ^ Jaulin, L .; Walter, E. (1993). "Nastavit inverzi pomocí intervalové analýzy pro odhad nelineární ohraničené chyby" (PDF). Automatika. 29 (4): 1053–1064. doi:10.1016/0005-1098(93)90106-4.
  2. ^ Jaulin, L .; Kieffer, M .; Didrit, O .; Walter, E. (2001). Aplikovaná intervalová analýza. Berlín: Springer. ISBN  1-85233-219-0.
  3. ^ Jaulin, L .; Godet, J. L.; Walter, E .; Elliasmine, A .; Leduff, Y. (1997). „Analýza dat rozptylujících světlo pomocí inverze množin“ (PDF). Journal of Physics A: Mathematical and General. 30: 7733–7738. Bibcode:1997JPhA ... 30,7733J. doi:10.1088/0305-4470/30/22/012.
  4. ^ Braems, I .; Berthier, F .; Jaulin, L .; Kieffer, M .; Walter, E. (2001). „Zaručený odhad elektrochemických parametrů inverzí množiny pomocí intervalové analýzy“ (PDF). Journal of Electroanalytical Chemistry. 495 (1).
  5. ^ Colle, E .; Galerne, S. (2013). Msgstr "Lokalizace mobilního robota pomocí multiangulace pomocí inverze sady". Robotika a autonomní systémy. 66 (1). doi:10.1016 / j.robot.2012.09.006.
  6. ^ Drevelle, V .; Bonnifait, Ph. (2011). „Přístup členství v sadě pro vysoce integrované výškově podporované satelitní určování polohy“. GPS řešení. 15 (4).
  7. ^ Walter, E .; Jaulin, L. (1994). "Zaručená charakterizace domén stability pomocí inverze sady" (PDF). IEEE Trans. Autom. Řízení. 39 (4).