HOMFLY polynom - HOMFLY polynomial

V matematický pole teorie uzlů, HOMFLYPT polynom, někdy nazývané generalizované Jonesův polynom, je 2 proměnná uzlový polynom, tj. a uzel neměnný ve formě a polynomiální proměnných m a l.

Ústřední otázka v matematická teorie uzlů je, zda dva uzlové diagramy představují stejný uzel. Jedním z nástrojů používaných k zodpovězení těchto otázek je uzlový polynom, který se počítá z diagramu uzlu a lze jej ukázat jako invariant uzlu, tj. diagramy představující stejný uzel mají stejné polynomiální. Opak nemusí být pravdivý. HOMFLY polynom je jeden takový neměnný a zobecňuje dva dříve objevené polynomy, Alexanderův polynom a Jonesův polynom, které lze získat vhodnými substitucemi z HOMFLY. HOMFLY polynom je také a kvantový invariant.

Název HOMFLY kombinuje iniciály svých spoluobjevitelů: Jim Hoste, Adrian Ocneanu, Kenneth Millett, Peter J. Freyd, W. B. R. Lickorish a David N. Yetter.^[1] Přidání PT uznává nezávislou práci prováděnou Józef H. Przytycki a Paweł Traczyk.

Definice

Polynom je definován pomocí vztahy přadeno:

${ displaystyle P ( mathrm {unknot}) = 1, ,}$

${ displaystyle ell P (L _ {+}) + ell ^ {- 1} P (L _ {-}) + mP (L_ {0}) = 0, ,}$

kde ${ displaystyle L _ {+}, L _ {-}, L_ {0}}$ jsou odkazy vytvořené křížením a vyhlazením změn v místní oblasti diagramu propojení, jak je znázorněno na obrázku.

HOMFLY polynom odkazu L to je rozdělené spojení dvou odkazů ${ displaystyle L_ {1}}$ a ${ displaystyle L_ {2}}$ darováno

${ displaystyle P (L) = { frac {- ( ell + ell ^ {- 1})} {m}} P (L_ {1}) P (L_ {2}).}$

Podívejte se na stránku na vztah přadeno příklad výpočtu využívajícího takové vztahy.

Další vztahy HOMFLY přadeno

Tento polynom lze získat také pomocí dalších vztahů přadének:

${ displaystyle alpha P (L _ {+}) - alpha ^ {- 1} P (L _ {-}) = zP (L_ {0}), ,}$

${ displaystyle xP (L _ {+}) + yP (L _ {-}) + zP (L_ {0}) = 0, ,}$

Hlavní vlastnosti

${ displaystyle P (L_ {1} # L_ {2}) = P (L_ {1}) P (L_ {2}), ,}$, kde # označuje uzel součet; tedy HOMFLY polynomial a složený uzel je produktem HOMFLY polynomů jeho komponent.

${ displaystyle P_ {K} ( ell, m) = P _ {{ text {Mirror Image}} (K)} ( ell ^ {- 1}, m), ,}$, takže HOMFLY polynom lze často použít k rozlišení mezi dvěma uzly různých chirality. Existují však chirální páry uzlů, které mají stejný HOMFLY polynom, např. uzly 9₄₂ a 10₇₁^[2]

Jonesův polynom, PROTI(t) a Alexanderův polynom, ${ displaystyle Delta (t) ,}$ lze vypočítat pomocí HOMFLY polynomu (verze v ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle z}$ proměnné) takto:

${ displaystyle V (t) = P ( alpha = t ^ {- 1}, z = t ^ {1/2} -t ^ {- 1/2}), ,}$

${ displaystyle Delta (t) = P ( alpha = 1, z = t ^ {1/2} -t ^ {- 1/2}), ,}$

Reference

Další čtení

• Kauffman, L.H. „Teorie formálních uzlů“, Princeton University Press, 1983.
• Lickorish, W.B.R. "Úvod do teorie uzlů". Springer. ISBN  0-387-98254-X.

externí odkazy

• „Jones-Conwayův polynom“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „HOMFLY Polynomial“. MathWorld.
• "Polynom HOMFLY-PT ", Atlas uzlů.