Deligne – Lusztigova teorie - Deligne–Lusztig theory

V matematice Deligne – Lusztigova teorie je způsob konstrukce lineárních reprezentací konečné skupiny typu Lie použitím ℓ-adická kohomologie s kompaktní podpora, představil Pierre Deligne a George Lusztig  (1976 ).

Lusztig (1984) chyba harvtxt: více cílů (2 ×): CITEREFLusztig1984 (Pomoc) použil tyto reprezentace k nalezení všech reprezentací všech konečné jednoduché skupiny typu Lie.

Motivace

Předpokládejme to G je reduktivní skupina definované nad a konečné pole, s Mapa Frobenius F.

Ian G. Macdonald domníval se, že by tam měla být mapa obecná pozice postavy z F-stabilní maximální Tori na neredukovatelné reprezentace ${displaystyle G ^ {F}}$ (pevné body F). Pro obecné lineární skupiny toto bylo známo již z práce J. A. Green  (1955 ). To byl hlavní výsledek, který prokázal Pierre Deligne a George Lusztig; našli virtuální reprezentaci pro všechny postavy z F-stabilní maximální torus, který je neredukovatelný (až do znaménka), když je postava v obecné poloze.

Když je maximální torus rozdělen, byly tyto reprezentace dobře známy a jsou dány parabolická indukce znaků torusu (rozšířit znak na a Podskupina Borel, pak jej přimějte až G). Reprezentace parabolické indukce lze sestrojit pomocí funkcí v prostoru, které lze považovat za prvky vhodné nulté kohomologické skupiny. Deligneova a Lusztigova konstrukce je zobecněním parabolické indukce na nerozdělené tori s použitím vyšších kohomologických skupin. (Parabolickou indukci lze provést také pomocí tori G nahrazen Levi podskupiny z G, a v tomto případě existuje zobecnění Deligne – Lusztigovy teorie.)

Vladimír Drinfeld dokázal, že diskrétní řada reprezentace SL₂(F_q) naleznete v ℓ-adická kohomologie skupiny

${displaystyle H_ {c} ^ {1} (X, mathbb {Q} _ {ell})}$

z afinní křivka X definován

${displaystyle xy ^ {q} -yx ^ {q} = 1}$.

The polynomiální ${displaystyle xy ^ {q} -yx ^ {q}}$ je determinant používaný při konstrukci Dicksonův invariant obecné lineární skupiny a je invariantem speciální lineární skupiny.

Konstrukce Deligne a Lusztig je zobecněním tohoto základního příkladu pro jiné skupiny. Afinní křivka X je zobecněn na a ${displaystyle T ^ {F}}$ svazek přes „odrůdu Deligne – Lusztig“, kde T je maximální torus GA místo toho, aby použili pouze první kohomologickou skupinu, používají ke konstrukci virtuálních reprezentací střídavý součet ℓ-adických kohomologických skupin s kompaktní podporou.

Konstrukce Deligne-Lusztig je formálně podobná Hermann Weyl Konstrukce reprezentací kompaktní skupiny z postav maximálního torusu. Případ kompaktních skupin je částečně jednodušší, protože existuje pouze jedna třída konjugace maximálního tori. The Konstrukce Borel – Weil – Bott reprezentací algebraických skupin pomocí kohomologie koherentních svazků je také podobná.

Pro skutečné polojediné skupiny existuje analogie konstrukce Deligne a Lusztig, using Zuckerman funktory vytvářet reprezentace.

Deligne – Lusztigovy odrůdy

Konstrukce postav Deligne-Lusztig využívá rodinu pomocných algebraických odrůd X_T zvané Deligne – Lusztigovy odrůdy, konstruované z reduktivu lineární algebraická skupina G definováno přes konečné pole F_q.

Li B je Borel podskupina G a T maximální torus B pak píšeme

Ž_T,B

pro Weylova skupina (normalizátor mod centralizátor )

N_G(T)/T

z G s ohledem na Tspolečně s jednoduché kořeny souhlasí s B. Li B₁ je další podskupina Borel s maximálním torusem T₁ pak existuje kanonický izomorfismus z T na T₁ který identifikuje dvě Weylové skupiny. Takže můžeme identifikovat všechny tyto skupiny Weylů a nazývat je „skupinou Weylů“ Ž z G. Podobně existuje kanonický izomorfismus mezi libovolnými dvěma maximálními tori s daným výběrem pozitivní kořeny, abychom je mohli všechny identifikovat a nazvat je „maximálním torusem“ T z G.

Podle Bruhatův rozklad

G = BWB,

podskupina B₁ lze napsat jako konjugát B podle bw pro některé b∈B a w∈Ž (identifikováno s Ž_T,B) kde w je jednoznačně určeno. V tomto případě to říkáme B a B₁ jsou v relativní pozice w.

Předpokládejme to w je ve Weylově skupině G, a piš X pro hladkou projektivní rozmanitost všech podskupin Borel z G.v Odrůda Deligne-Lusztig X(w) se skládá ze všech podskupin Borel B z G takhle B a F(B) jsou v relativní poloze w [Odvolej to F je Mapa Frobenius ]. Jinými slovy, jedná se o inverzní obraz G-homogenní prostor párů borelských podskupin v relativní poloze w, pod Lang isogeny se vzorcem

G.F(G)⁻¹.

Například pokud w= 1 tedy X(w) je 0-rozměrný a jeho body jsou racionálními Borelovými podskupinami G.

Nechali jsme T(w) být torus T, s racionální strukturou, pro kterou je Frobenius wF.v G^F třídy konjugace F-stabilní maximální tori G lze identifikovat pomocí F-konjugační třídy Ž, kde říkáme w∈Ž je F-konjugovat k prvkům formuláře vwF(proti)⁻¹ pro proti∈Ž. Pokud skupina G je rozdělit, aby F jedná triviálně Ž, to je stejné jako běžné konjugace, ale obecně pro nerozdělené skupiny G, F může jednat Ž prostřednictvím netriviálního schéma automorfismu. The F-stabilní třídy konjugace lze identifikovat pomocí prvků neabelianů Galoisova kohomologie skupina torzory

${displaystyle H ^ {1} (F, W)}$.

Opravte maximální torus T z G a podskupina Borel B obsahující ho, oba invariantní pod Frobeniovou mapou F, a piš U pro unipotentní radikál z BPokud zvolíme zástupce w′ Normalizátoru N(T) představující w, pak definujeme X′(w′) Být prvky G/U s F(u)=uw′. O to se jedná svobodně T(F) a kvocient je izomorfní s X(T). Takže pro každý znak θ z T(w)^F dostaneme odpovídající místní systém F_θ na X(w). Virtuální reprezentace Deligne-Lusztig

R^θ(w)

z G^F je definován střídavým součtem

${displaystyle R ^ {heta} (w) = součet _ {i} (- 1) ^ {i} H_ {c} ^ {i} (X (w), F_ {heta})}$

z l-adické kompaktně podporované kohomologické skupiny X(w) s koeficienty v l-adický místní systém F_θ.

Li T je maximum F-invariantní torus G obsažené v podskupině Borel B takhleB a FB jsou v relativní poloze w pak R^θ(w) je také označen R^θ_T⊂Bnebo R^θ_T protože až do izomorfismu to nezávisí na výběru B.

Vlastnosti znaků Deligne – Lusztig

• Postava R^θ_T nezávisí na výběru prvočísla l≠str, a pokud θ = 1, jeho hodnoty jsou racionální celá čísla.
• Každá neredukovatelná postava G^F vyskytuje se alespoň v jednom znaku R^θ(w).
• Vnitřní produkt R^θ_T a R^{θ ′}_T′ se rovná počtu prvků Ž(T,T′)^F přičemž θ až θ ′. Sada Ž(T,T′) Je sada prvků G brát T na T′ Pod konjugací, modulujte skupinu T^F který na to působí zjevným způsobem (takže pokud T=T`` Je to skupina Weyl). Zejména vnitřní produkt je 0, pokud w a w' nejsou F-sdružené. Pokud je θ v obecné poloze, pak R^θ_T má normu 1 a je tedy neredukovatelným znakem až do podpisu. Tím se ověří Macdonaldova domněnka.
• Zastoupení R^θ_T obsahuje triviální reprezentaci právě tehdy, když θ = 1 (v takovém případě triviální reprezentace nastane přesně jednou).
• Zastoupení R^θ_T má rozměr

${displaystyle dim (R_ {T} ^ {heta}) = {pm | G ^ {F} | přes | T ^ {F} || U ^ {F} |}}$

kde U^F je Sylow str- podskupina G^F, objednávat největší sílu str dělení |G^F|.

• Omezení postavy R^θ_T k unipotentním prvkům u nezávisí na θ a nazývá se a Zelená funkce, označeno Q_T,G(u) (Zelená funkce je definována jako 0 u prvků, které nejsou unipotentní). Vzorec znaků dává znak R^θ_T z hlediska zelených funkcí podskupin následovně:

${displaystyle R_ {T} ^ {heta} (x) = {1 nad | G_ {s} ^ {F} |} součet _ {gin G ^ {F}, g ^ {- 1} sgin T} Q_ {gTg ^ {- 1}, G_ {s}} (u) heta (g ^ {- 1} sg)}$

kde X=su je Jordan – Chevalleyův rozklad z X jako produkt dojíždění polojednodušých a unipotentních prvků s a u, a G_s je složka identity centralizátoru s v G. Zejména hodnota znaku zmizí, pokud není jeho poloviční část X je konjugován pod G^F k něčemu v torusu T.

• Odrůda Deligne-Lusztig je obvykle afinní, zejména kdykoli je charakteristická str je větší než Číslo coxeteru h skupiny Weyl. Pokud je afinní a znak θ je v obecném postavení (takže znak Deligne-Lusztig je neredukovatelný až k podpisu), pak pouze jedna z kohomologických skupin Hⁱ(X(w),F_θ) je nenulová (ta s i rovná délce w), takže tato kohomologická skupina poskytuje model pro neredukovatelné zastoupení. Obecně je možné, aby více než jedna kohomologická skupina byla nenulová, například když θ je 1.

Lusztigova klasifikace neredukovatelných postav

Lusztig klasifikoval všechny neredukovatelné postavy G^F rozložením takového znaku na polojediný znak a unipotentní znak (jiné skupiny) a samostatnou klasifikací polojediných a unipotentních znaků.

Dvojitá skupina

Reprezentace G^F jsou klasifikovány pomocí tříd konjugace dvojí skupina z GRedukční skupina nad konečným polem určuje a kořenový údaj (s výběrem Weylovy komory) spolu s působením prvku Frobenius na něm. Dvojitá skupina G^* redukční algebraické skupiny G nad konečným polem je definováno pole s dvojím kořenovým vztažným bodem (a přidruženou akcí Frobenius). Je to podobné jako Langlandsova dvojitá skupina (nebo L-skupina), s výjimkou zde je duální skupina definována přes konečné pole, spíše než přes komplexní čísla. Dvojitá skupina má stejný kořenový systém, kromě toho, že se vyměňují kořenové systémy typu B a C.

Místní Langlands dohady uvést (velmi zhruba), že reprezentace algebraické skupiny nad a místní pole by měl úzce souviset s hodinami konjugace v Langlandsově dvojí skupině. Lusztigovu klasifikaci reprezentací redukčních skupin nad konečnými poli lze považovat za ověření analogie této domněnky pro konečná pole (ačkoli Langlands pro tento případ nikdy neuvedl svou domněnku).

Jordanův rozklad

V této části G bude redukční skupina s připojeným centrem.

Volá se neredukovatelná postava unipotentní pokud se u některých vyskytne R¹_Ta je volán polojednoduchý pokud je jeho průměrná hodnota na pravidelných unipotentních prvcích nenulová (v takovém případě je průměrná hodnota 1 nebo −1). Li str je dobrým vrcholem pro G (což znamená, že nerozděluje žádný z koeficientů kořenů vyjádřených jako lineární kombinace jednoduchých kořenů), pak je neredukovatelný znak polojediný právě tehdy, když jeho řád není dělitelný str.

Libovolný neredukovatelný znak má „Jordanský rozklad“: k němu lze přiřadit polojediný znak (odpovídající některému polojednodušému prvku s dvojí skupiny) a unipotentní zastoupení centralizátoru s. Rozměr neredukovatelného charakteru je součinem rozměrů jeho polojednodušých a unipotentních složek.

To (více či méně) redukuje klasifikaci neredukovatelných znaků na problém hledání polojediných a unipotentních znaků.

Geometrická konjugace

Dva páry (T, θ), (T′, Θ ′) maximálního torusu T z G stanoveno F a znak θ T^F jsou nazývány geometricky konjugovat pokud jsou konjugovány pod nějakým prvkem G(k), kde k je algebraické uzavření F_q. Pokud dojde k neredukovatelné reprezentaci v obou R_T^θ a R_T′^{θ ′} pak (T, θ), (T′, Θ ′) nemusí být konjugované pod G^F, ale vždy jsou geometricky konjugované. Například pokud θ = θ ′ = 1 a T a T′ Nejsou konjugované, pak se identifikační zastoupení vyskytuje jak u Deligne – Lusztigových znaků, tak u odpovídajících párů (T,1), (T′, 1) jsou geometricky konjugované, ale ne konjugované.

Třídy geometrické konjugace párů (T, θ) jsou parametrizovány třídami geometrické konjugace polojednodušých prvků s skupiny G^*F prvků dvojí skupiny G^* stanoveno F. Dva prvky G^*F se nazývají geometricky konjugované, pokud jsou konjugované přes algebraické uzavření konečného pole; pokud je střed G je spojeno, to je ekvivalentní konjugaci v G^*F. Počet tříd geometrické konjugace párů (T, θ) je |Z^0F|q^l kde Z⁰ je součástí identity centra Z z G a l je poloviční hodnost G.

Klasifikace poloplných znaků

V této podsekci G bude redukční skupina s připojeným centrem Z. (Případ, kdy centrum není připojeno, má nějaké další komplikace.)

Poloviční znaky G odpovídají geometrickým třídám konjugace párů (T, θ) (kde T je maximální torus neměnný pod F a θ je znak T^F); ve skutečnosti mezi neredukovatelnými znaky vyskytujícími se v Deligne – Lusztigových znacích třídy geometrické konjugace je právě jeden polojediný znak. Ze středu G je připojen existuje |Z^F|q^l polojednoduché znaky. Pokud κ je geometrická třída konjugace párů (T, θ), poté se znak příslušného polojednodušého vyjádření vzdá znaku

${displaystyle sum _ {(T, heta) in kappa, {mod {G}} ^ {F}} {R_ {T} ^ {heta} over (R_ {T} ^ {heta}, R_ {T} ^ { heta})}}$

a jeho rozměr je str' část index centralizátoru prvku s odpovídající dvojí skupině.

Polojednoduché znaky jsou (až k podpisu) přesně duality běžných znaků pod Alvis – Curtisova dualita, operace duality na zobecněné znaky. Je volána neredukovatelná postava pravidelný pokud se vyskytuje v Zastoupení Gelfand – GraevG^F, což je reprezentace indukovaná určitým „nedegenerovaným“ 1-dimenzionálním charakterem Sylow str- podskupina. Je to redukovatelný a jakýkoli neredukovatelný charakter G^F vyskytuje se v něm maximálně jednou. Pokud κ je geometrická třída konjugace párů (T, θ), potom je znak příslušného regulárního vyjádření dán vztahem

${displaystyle sum _ {(T, heta) in kappa, {mod {G}} ^ {F}} {epsilon _ {G} epsilon _ {T} R_ {T} ^ {heta} over (R_ {T} ^ {heta}, R_ {T} ^ {heta})}}$

a jeho rozměr je str′ Část indexu centralizátoru prvku s duální skupiny, která jí odpovídá, krát str- část objednávky centralizátoru.

Klasifikace unipotentních znaků

Ty lze najít z vrcholných unipotentních znaků: těch, které nelze získat rozkladem parabolicky indukovaných znaků menších hodnostních skupin. Unipotentní hrotové postavy byly Lusztigem uvedeny pomocí poměrně komplikovaných argumentů. Jejich počet závisí pouze na typu skupiny a ne na základním poli; a je uveden následovně:

• žádný pro skupiny typu A_n;
• žádný pro skupiny typu ²A_n, pokud n = s(s+1) / 2–1 pro některé s, v takovém případě jeden existuje;
• žádný pro skupiny typu B_n nebo C_n, pokud n = s(s+1) pro některé s, v takovém případě existuje jeden (tzv θ₁₀ když n = 2);
• 2 pro skupiny Suzuki typu ²B₂;
• žádný pro skupiny typu D_n, pokud n = s² pro některé dokonce s, v takovém případě jeden existuje;
• žádný pro skupiny typu ²D_n, pokud n = s² pro některé zvláštní s, v takovém případě existuje jedna;
• 2 pro skupiny typu ³D₆;
• 2 pro skupiny typu E₆;
• 3 pro skupiny typu ²E₆;
• 2 pro skupiny typu E₇;
• 13 pro skupiny typu E₈;
• 7 pro skupiny typu F₄;
• 10 pro Ree skupiny typu ²F₄;
• 4 pro skupiny typu G₂;
• 6 pro Ree skupiny typu ²G₂.

Unipotentní znaky lze nalézt rozložením znaků vyvolaných z hrotových pomocí výsledků Howletta a Lehrera. Počet unipotentních znaků závisí pouze na kořenovém systému skupiny, nikoli na poli (nebo středu). Velikost unipotentních znaků může být dána univerzálními polynomy v pořadí pozemního pole v závislosti pouze na kořenovém systému; například Steinbergova reprezentace má rozměr q^r, kde r je počet kladných kořenů kořenového systému.

Lusztig zjistil, že unipotentní postavy skupiny G^F (s neredukovatelnou Weylovou skupinou) spadají do rodin velikosti 4ⁿ (n ≥ 0), 8, 21 nebo 39. Znaky každé rodiny jsou indexovány třídami konjugace párů (X, σ) kde X je v jedné ze skupin Z/2Zⁿ, S₃, S₄, S₅ a σ je reprezentace jeho centralizátoru. (Rodina velikosti 39 se vyskytuje pouze u skupin typu E₈a rodina velikosti 21 se vyskytuje pouze pro skupiny typu F₄.) Skupiny jsou zase indexovány speciálními reprezentacemi skupiny Weyl nebo ekvivalentně dvoustrannými buňkami skupiny Weyl. Například skupina E₈(F_q) má 46 rodin unipotentních znaků odpovídajících 46 zvláštním reprezentacím skupiny Weyl z E₈. Existuje 23 rodin s 1 postavou, 18 rodin se 4 znaky, 4 rodiny s 8 znaky a jedna rodina s 39 znaky (což zahrnuje 13 vrcholových unipotentních znaků).

Příklady

Předpokládejme to q je lichá hlavní síla a G je algebraická skupina SL₂Popisujeme reprezentace skupiny Deligne – Lusztig SL₂(F_q). (Teorie reprezentace těchto skupin byla dobře známa dlouho před teorií Deligne – Lusztig.)

Neredukovatelné reprezentace jsou:

• Triviální znázornění dimenze 1.
• The Steinberg zastoupení dimenze q
• (q - 3) / 2 neredukovatelné reprezentace hlavních řad dimenze q + 1, spolu se 2 reprezentacemi dimenze (q + 1) / 2 vycházející z redukovatelné reprezentace hlavní řady.
• (q - 1) / 2 neredukovatelné diskrétní řady reprezentací dimenze q - 1 spolu se 2 reprezentacemi dimenze (q - 1) / 2 vycházející z redukovatelné diskrétní řady.

Existují dvě třídy tori spojené se dvěma prvky (nebo třídami konjugace) skupiny Weyl, označené T(1) (cyklické pořadí q-1) a T(w) (cyklický pořadí.) q + 1). Netriviální prvek skupiny Weylů působí na postavy těchto tori změnou každého znaku na jeho inverzní. Weylova skupina tedy opravuje znak právě tehdy, má-li řád 1 nebo 2. Podle vzorce ortogonalityR^θ(w) je (až do podpisu) neredukovatelný, pokud θ nemá řád 1 nebo 2, a součet dvou neredukovatelných reprezentací, pokud má řád 1 nebo 2.

Odrůda Deligne-Lusztig X(1) pro dělený torus je 0-dimenzionální s q+1 body a lze je identifikovat pomocí bodů jednorozměrného projektivního prostoru definovaných nad F_qZastoupení R^θ(1) jsou uvedeny následovně:

• 1 + Steinberg, pokud θ = 1
• Součet 2 reprezentací dimenze (q+1) / 2, pokud má θ řád 2.
• Neredukovatelná reprezentace hlavní řady, pokud má θ řád větší než 2.

Odrůda Deligne-Lusztig X(w) pro nerozdělený torus je jednorozměrný a lze jej identifikovat pomocí doplňku X(1) v jednorozměrném projektivním prostoru. Takže je to množina bodů (X:y) projektivního prostoru, který není fixován mapou Frobenius (X:y)→ (X^q:y^q), jinými slovy body s

${displaystyle xy ^ {q} -yx ^ {q} eq 0}$

Drinfeldova rozmanitost bodů (X,y) afinního prostoru s

${displaystyle xy ^ {q} -yx ^ {q} = 1}$

mapy do X(w) zjevným způsobem a skupina uživatelů na ně svobodně jedná q+ 1. kořen λ z 1 (který lze identifikovat pomocí prvků nerozděleného torusu, které jsou definovány nad F_q), přičemž λ bere (X,y) až (λX, λy). Odrůda Deligne Lusztig je podílem odrůdy Drinfeldu touto skupinovou akcí. Reprezentace -R^θ(w) jsou uvedeny takto:

• Steinberg − 1, pokud θ = 1
• Součet 2 reprezentací dimenze (q−1) / 2, pokud má θ řád 2.
• Neredukovatelná diskrétní reprezentace řady, pokud má θ řád větší než 2.

Unipotentní reprezentace jsou triviální reprezentace a Steinbergova reprezentace a polojediné reprezentace jsou všechny reprezentace jiné než Steinbergova reprezentace. (V tomto případě polojediné reprezentace přesně neodpovídají třídám geometrické konjugace duální skupiny, protože střed G není připojen.)

Křižovatková kohomologie a svazky znaků

Lusztig (1985) nahradil ℓ-adickou kohomologii použitou k definování Deligne-Lusztigových reprezentací průnik ℓ-adic cohomology, a představil jisté perverzní snopy volala znak snopy. Reprezentace definované pomocí průnikové kohomologie se vztahují k reprezentacím definovaným pomocí běžné kohomologie pomocí Kazhdan – Lusztigovy polynomy. The F-invariantní neredukovatelné svazky znaků úzce souvisí s neredukovatelnými znaky skupiny G^F.

Reference

• Carter, Roger W. (2006), „Průzkum práce George Lusztiga“, Nagojský matematický deník, 182: 1–45, doi:10.1017 / s0027763000026830.
• Carter, Roger W. (1993), Konečné skupiny typu lži: třídy konjugace a složité postavyKnihovna Wiley Classics Library, Chichester: Wiley, ISBN  978-0-471-94109-5
• Roger W. Carter (2001) [1994], „Deligne – Lusztig postavy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Carter, Roger W. (1995). "K teorii reprezentace konečných skupin typu Lie přes algebraicky uzavřené pole charakteristiky 0". Úvahy o Mezinárodní lékařské společnosti Paraplegia a managementu paraplegie. Algebra IX. Matematika encyklopedie. Sci. 77. Berlín: Springer. str. 1–120, 235–239. doi:10.1007/978-3-662-03235-0_1. ISBN  978-3-540-57038-7. PAN  1170353. PMID  1589273.
• Digne, Francois; Michel, Jean (1991), Reprezentace konečných skupin typu Lie, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-40648-2
• Deligne, Pierre; Lusztig, George (1976), „Reprezentace reduktivních skupin nad konečnými poli.“, Annals of Mathematics, 2, 103 (1): 103–161, doi:10.2307/1971021, JSTOR  1971021, PAN  0393266, S2CID  18930206
• Green, J. A. (1955), „Postavy konečné obecné lineární skupiny“, Transakce Americké matematické společnosti, 80 (2): 402–447, doi:10.2307/1992997, JSTOR  1992997.
• Lusztig, George (1984), Postavy redukčních skupin přes konečné pole, Annals of Mathematics Studies, Princeton, N.J .: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08350-6
• Lusztig, George (1984), „Intersection cohomology complexes on a reductive group“, Inventiones Mathematicae, 75 (2): 205–272, doi:10.1007 / BF01388564
• Lusztig, George (1987), Úvod do svazků postav, Proc. Symp. Čistá matematika., 47, Americká matematická společnost, str. 165–179, arXiv:matematika / 0302151
• Lusztig, George (1991), „Metody průnikové kohomologie v teorii reprezentace“, Proc. Internat. Congr. Matematika. Kjóto 1990, Já, Springer, str. 155–174
• Lusztig, George (1985), "Character snoves I", Pokroky v matematice, 56 (3): 193–237, doi:10.1016/0001-8708(85)90034-9, Adv. Math., 57 (1985) 226–265; Adv. Math., 57 (1985) 266–315; Adv. Math., 59 (1986) 1-63; Adv. Math., 61 (1986) 103–155
• Srinivasan, Bhama (1979), Zastoupení konečných skupin Chevalley. PrůzkumPřednášky z matematiky, 764, Berlín-New York: Springer, ISBN  978-3-540-09716-7, PAN  0551499