Chevalleyův základ - Chevalley basis

V matematice, a Chevalleyův základ pro jednoduchý komplex Lež algebra je základ postavil Claude Chevalley s majetkem, že všichni strukturní konstanty jsou celá čísla. Chevalley použil tyto báze ke konstrukci analogů Lež skupiny přes konečná pole, volala Skupiny Chevalley. Základem Chevalley je Cartan-Weyl základ, ale s jinou normalizací.

Generátory Lieovy skupiny jsou rozděleny na generátory H a E indexováno jednoduchým kořeny a jejich negativa ${displaystyle pm alpha _ {i}}$ . Na základě Cartan-Weyl lze psát jako

{displaystyle [H_ {i}, H_ {j}] = 0}

{displaystyle [H_ {i}, E_ {alpha}] = alfa _ {i} E_ {alpha}}

Definování dvojí kořen nebo kořen z ${displaystyle alpha}$ tak jako

{displaystyle alpha ^ {vee} = {frac {2alpha} {(alpha, alpha)}}}

Lze provést změnu základu k definování

{displaystyle H_ {alpha _ {i}} = (alpha _ {i} ^ {vee}, H)}

The Celá čísla kartanu jsou

{displaystyle A_ {ij} = (alpha _ {i}, alpha _ {j} ^ {vee})}

Výsledné vztahy mezi generátory jsou následující:

{displaystyle [H_ {alpha _ {i}}, H_ {alpha _ {j}}] = 0}

{displaystyle [H_ {alpha _ {i}}, E_ {alpha _ {j}}] = A_ {ji} E_ {alpha _ {j}}}

{displaystyle [E _ {- alpha _ {i}}, E_ {alpha _ {i}}] = H_ {alpha _ {i}}}

{displaystyle [E_ {eta}, E_ {gamma}] = pm (p + 1) E_ {eta + gamma}}

kde v posledním vztahu ${displaystyle p}$ je největší kladné celé číslo takové, že ${displaystyle gamma -p eta}$ je kořen a uvažujeme ${displaystyle E_ {eta + gamma} = 0}$ -li ${displaystyle eta + gamma}$ není kořen.

Pro určení znaménka v posledním vztahu se stanoví pořadí kořenů, které respektuje sčítání, tj. If ${displaystyle eta prec gamma}$ pak ${displaystyle eta + alpha prec gamma + alpha}$ za předpokladu, že všechny čtyři jsou kořeny. Potom zavoláme ${displaystyle (eta, gamma)}$ an mimořádný pár kořenů, pokud jsou pozitivní a ${displaystyle eta}$ je minimální ze všech ${displaystyle eta _ {0}}$ které se vyskytují v párech pozitivních kořenů ${displaystyle (eta _ {0}, gama _ {0})}$ uspokojující ${displaystyle eta _ {0} + gamma _ {0} = eta + gamma}$ . Znaménko v posledním vztahu lze zvolit libovolně kdykoli ${displaystyle (eta, gamma)}$ je mimořádný pár kořenů. To pak určuje znaménka pro všechny zbývající páry kořenů.

Reference

Carter, Roger W. (1993). Konečné skupiny typu lži: třídy konjugace a složité postavy. Wiley Classics Library. Chichester: Wiley. ISBN 978-0-471-94109-5.
Chevalley, Claude (1955). „Sur certains groupses simples“. Matematický deník Tohoku (francouzsky). 7 (1–2): 14–66. doi:10,2748 / tmj / 1178245104. PAN 0073602. Zbl 0066.01503.
Jacques, Tits (1966). „Sur les Constantes de Structure and le Théorème d'existence des Algèbres de Lie semi-simples“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS (francouzsky). 31: 21–58. PAN 0214638. Zbl 0145.25804.

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.