Základní pár období - Fundamental pair of periods

v matematika, a základní dvojice období je objednaný pár z komplexní čísla které definují a mříž v složité letadlo. Tento typ mřížky je podkladový objekt, se kterým eliptické funkce a modulární formy jsou definovány.

Ačkoli je koncept dvourozměrné mřížky poměrně jednoduchý, v matematické literatuře existuje značné množství specializovaného zápisu a jazyka týkajícího se mřížky. Tento článek se pokouší přezkoumat tento zápis a také představit některé věty, které jsou specifické pro dvojrozměrný případ.

Základní rovnoběžník definovaný dvojicí vektorů v komplexní rovině.

Definice

A základní dvojice období je dvojice komplexních čísel ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2} in mathbb {C}}$ takové, že jejich poměr ω₂/ ω₁ není skutečný. Jinými slovy, považováno za vektory v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, dva nejsou kolineární. Mříž generovaná ω₁ a ω₂ je

${ displaystyle Lambda = {m omega _ {1} + n omega _ {2} , , | , , m, n v mathbb {Z} }}$

Tato mřížka je také někdy označována jako Λ (ω₁, ω₂) aby bylo jasné, že to záleží na ω₁ a ω₂. Někdy se také označuje jako Ω nebo Ω (ω₁, ω₂), nebo jednoduše pomocí 〈ω₁, ω₂〉. Dva generátory ω₁ a ω₂ se nazývají mřížkový základ.

The rovnoběžník definovaný vrcholy 0, ${ displaystyle omega _ {1}}$ a ${ displaystyle omega _ {2}}$ se nazývá základní rovnoběžník.

Je důležité si uvědomit, že zatímco základní pár generuje mřížku, mřížka nemá žádný jedinečný základní pár, to znamená, že mnoho (ve skutečnosti nekonečného počtu) základních párů odpovídá stejné mřížce.

Algebraické vlastnosti

Řadu vlastností uvedených níže získáte.

Rovnocennost

Mřížka rozložená periodami ω₁ a ω₂, ukazující ekvivalentní pár period α₁ a α₂.

Dva páry komplexních čísel (ω₁, ω₂) a (α₁, α₂) jsou nazývány ekvivalent pokud generují stejnou mřížku: tj. pokud ⟨ω₁, ω₂⟩ = ⟨Α₁, α₂⟩.

Žádné vnitřní body

Základní rovnoběžník neobsahuje žádné další mřížkové body ve svém vnitřku nebo hranici. Naopak každá dvojice mřížových bodů s touto vlastností tvoří základní pár a navíc generují stejnou mřížku.

Modulární symetrie

Dva páry ${ displaystyle ( omega _ {1}, omega _ {2})}$ a ${ displaystyle ( alpha _ {1}, alpha _ {2})}$ jsou ekvivalentní právě tehdy, pokud existuje matice 2 × 2 ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ s celočíselnými položkami A, b, C ad a určující inzerát − před naším letopočtem = ± 1 takový

${ displaystyle { begin {pmatrix} alpha _ {1} alpha _ {2} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} { begin { pmatrix} omega _ {1} omega _ {2} end {pmatrix}},}$

to znamená, že tak

${ displaystyle alpha _ {1} = a omega _ {1} + b omega _ {2} ,}$

a

${ displaystyle alpha _ {2} = c omega _ {1} + d omega _ {2}. ,}$

Všimněte si, že tato matice patří do matice skupina ${ displaystyle mathrm {SL} (2, mathbb {Z})}$, který je s mírným zneužitím terminologie znám jako modulární skupina. Tuto rovnocennost svazů lze považovat za základ mnoha vlastností eliptické funkce (zejména Weierstrassova eliptická funkce ) a modulární formy.

Topologické vlastnosti

The abelianská skupina ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {2}}$ mapuje komplexní rovinu do základního rovnoběžníku. To znamená, že každý bod ${ displaystyle z in mathbb {C}}$ lze psát jako ${ displaystyle z = p + m omega _ {1} + n omega _ {2}}$ pro celá čísla m,ns bodem str v základním rovnoběžníku.

Protože toto mapování identifikuje protilehlé strany rovnoběžníku jako stejné, má základní rovnoběžník topologie a torus. Ekvivalentně se říká, že kvocient je rozmanitý ${ displaystyle mathbb {C} / Lambda}$ je torus.

Základní region

Šedá barva znázorňuje základní kanonickou doménu.

Definujte τ = ω₂/ ω₁ být poměr poloviny období. Pak lze vždy zvolit mřížkový základ, takže τ leží ve speciální oblasti zvané základní doména. Alternativně vždy existuje prvek PSL (2,Z), který mapuje mřížkový základ na jiný základ, takže τ leží v základní doméně.

Základní doména je dána množinou D, který se skládá ze sady U plus část hranice U:

${ displaystyle U = left {z in H: left | z right |> 1, , left | , { mbox {Re}} (z) , right | <{ tfrac {1} {2}} vpravo }.}$

kde H je horní polorovina.

Základní doména D je pak vytvořeno přidáním hranice vlevo plus poloviny oblouku dole:

${ displaystyle D = U cup left {z in H: left | z right | geq 1, , { mbox {Re}} (z) = - { tfrac {1} {2 }} right } cup left {z in H: left | z right | = 1, , { mbox {Re}} (z) leq 0 right }.}$

Týká se tří případů:

• Li ${ displaystyle tau neq i}$ a ${ displaystyle tau neq e ^ {{ frac {1} {3}} i pi}}$, pak v základní oblasti existují přesně dvě mřížkové základny se stejným τ: ${ displaystyle ( omega _ {1}, omega _ {2})}$ a ${ displaystyle (- omega _ {1}, - omega _ {2}).}$
• Li ${ displaystyle tau = i}$, pak čtyři mřížkové základny mají stejné τ: výše uvedené dva ${ displaystyle ( omega _ {1}, omega _ {2})}$, ${ displaystyle (- omega _ {1}, - omega _ {2})}$ a ${ displaystyle (i omega _ {1}, i omega _ {2})}$, ${ displaystyle (-i omega _ {1}, - i omega _ {2}).}$
• Li ${ displaystyle tau = e ^ {{ frac {1} {3}} i pi}}$, pak existuje šest mřížových základen se stejným τ: ${ displaystyle ( omega _ {1}, omega _ {2})}$, ${ displaystyle ( tau omega _ {1}, tau omega _ {2})}$, ${ displaystyle ( tau ^ {2} omega _ {1}, tau ^ {2} omega _ {2})}$ a jejich negativa.

Všimněte si, že při uzavření základní domény: ${ displaystyle tau = i}$ a ${ displaystyle tau = e ^ {{ frac {1} {3}} i pi}.}$

Viz také

• Existuje řada alternativních notací pro mřížku a pro základní pár, které se často používají na jejím místě. Viz například články o ne já, eliptický modul, čtvrtletní období a poměr poloviny období.
• Eliptická křivka
• Modulární forma
• Eisensteinova řada

Reference

• Tom M. Apostol, Modulární funkce a Dirichletova řada v teorii čísel (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN  0-387-97127-0 (Viz kapitoly 1 a 2.)
• Jurgen Jost, Kompaktní povrchy Riemann (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN  3-540-43299-X (Viz kapitola 2.)