Weierstrassovy eliptické funkce - Weierstrasss elliptic functions - Wikipedia

v matematika, Weierstrassovy eliptické funkce jsou eliptické funkce které mají obzvláště jednoduchou formu; jsou pojmenovány Karl Weierstrass. Tato třída funkcí se také označuje jako p-funkce a obvykle psáno pomocí symbolu ℘ (kaligrafická malá písmena p; Unicode U + 2118, Latex wp). Funkce constitute tvoří rozvětvené dvojité krytiny z Riemannova koule podle torus, rozvětvený ve čtyřech bodech. Mohou být použity k parametrizaci eliptické křivky přes komplexní čísla, čímž se vytvoří ekvivalence k komplexní tori. Rod jedno řešení diferenciální rovnice lze psát z hlediska Weierstrassových eliptických funkcí. Zejména nejjednodušší periodická řešení Korteweg – de Vriesova rovnice jsou často psány ve smyslu Weierstrassových p-funkcí.

Symbol pro funkci Weierstrass P.

Model p-funkce Weierstrass

Definice

Funkce Weierstrass P definovaná v podmnožině souboru složité letadlo pomocí standardní vizualizační techniky, ve které bílá odpovídá pólu, černá nule a maximální nasycení na ${ Displaystyle left | f (z) right | = left | f (x + iy) right | = 1 ;.}$ Všimněte si pravidelné mřížky pólů a dvou prokládaných mřížek nul.

The Weierstrassova eliptická funkce lze definovat třemi úzce souvisejícími způsoby, z nichž každý má určité výhody.

• Jeden je funkcí komplexní proměnné z a a mříž Λ ve složité rovině.

• Další je z hlediska z a dva komplexní čísla ω₁ a ω₂ definování dvojice generátorů nebo period pro mřížku.

  Pokud jde o dvě období, Weierstrassova eliptická funkce je eliptická funkce s tečkami ω₁ a ω₂ definováno jako

  ${ displaystyle wp (z; omega _ {1}, omega _ {2}) = { frac {1} {z ^ {2}}} + součet _ {m omega _ {1} + n omega _ {2} neq 0} left {{ frac {1} {(z + m omega _ {1} + n omega _ {2}) ^ {2}}} - { frac {1} { left (m omega _ {1} + n omega _ {2} right) ^ {2}}} right }.}$

  Pak ${ displaystyle Lambda = {m omega _ {1} + n omega _ {2}: m, n in mathbb {Z} }}$ jsou body dobová mříž, aby

  ${ displaystyle wp (z; Lambda) = wp (z; omega _ {1}, omega _ {2})}$

  pro jakoukoli dvojici generátorů mřížky definuje Weierstrassovu funkci jako funkci komplexní proměnné a mřížky.

• Třetí je z hlediska z a modul τ v horní polorovina. To souvisí s předchozí definicí od τ = ω₂/ω₁, který je konvenční volbou na dvojici období v horní polorovině. Pomocí tohoto přístupu, pro pevné z funkce Weierstrass se stanou modulární funkce z τ.

  Li ${ displaystyle tau}$ je tedy komplexní číslo v horní polorovině

  ${ displaystyle wp (z; tau) = wp (z; 1, tau) = { frac {1} {z ^ {2}}} + součet _ {n + m tau neq 0 } left {{1 over (z + m + n tau) ^ {2}} - {1 over (m + n tau) ^ {2}} right }.}$

  Výše uvedený součet je homogenní stupně minus dva, z čehož můžeme definovat Weierstrassovu funkci pro jakoukoli dvojici období, jako

  ${ displaystyle wp (z; omega _ {1}, omega _ {2}) = { frac { wp ({ frac {z} { omega _ {1}}}; { frac { omega _ {2}} { omega _ {1}}})}} { omega _ {1} ^ {2}}}.}$

  Můžeme vypočítat ℘ velmi rychle, pokud jde o theta funkce; protože se sbíhají tak rychle, jedná se o rychlejší způsob výpočtu ℘ než série, kterou jsme použili k jeho definování. Vzorec zde je

  ${ displaystyle wp (z; tau) = pi ^ {2} vartheta ^ {2} (0; tau) vartheta _ {10} ^ {2} (0; tau) { vartheta _ {01} ^ {2} (z; tau) nad vartheta _ {11} ^ {2} (z; tau)} - { pi ^ {2} nad 3} vlevo [ vartheta ^ {4} (0; tau) + vartheta _ {10} ^ {4} (0; tau) vpravo]}$

  Existuje druhý řád pól v každém bodě periodické mřížky (včetně počátku). S těmito definicemi ${ displaystyle wp (z)}$ je sudá funkce a její derivace s ohledem na z, ℘ ′, je zvláštní funkce.

Další vývoj teorie eliptické funkce ukazuje, že Weierstrassova funkce je určena až po přidání konstanty a násobení nenulovou konstantou pouze polohou a typem pólů, mezi všemi meromorfní funkce s danou periodickou mřížkou.

Invarianty

Skutečná část invariantu G₃ jako funkce jména q na disku jednotky.

Imaginární část invariantu G₃ jako funkce jména q na disku jednotky.

V proraženém sousedství původu, Laurentova řada expanze ${ displaystyle wp}$ je

${ displaystyle wp (z; omega _ {1}, omega _ {2}) = z ^ {- 2} + { frac {1} {20}} g_ {2} z ^ {2} + { frac {1} {28}} g_ {3} z ^ {4} + O (z ^ {6})}$

kde

${ displaystyle g_ {2} = 60 součet _ {(m, n) neq (0,0)} (m omega _ {1} + n omega _ {2}) ^ {- 4}}$

${ displaystyle g_ {3} = 140 součet _ {(m, n) neq (0,0)} (m omega _ {1} + n omega _ {2}) ^ {- 6}.}$

Čísla G₂ a G₃ jsou známé jako invarianty.

Součty za koeficienty 60 a 140 jsou první dva Eisensteinova řada, což jsou modulární formy když jsou považovány za funkce G₄(τ) a G₆(τ), respektive, z τ = ω₂/ω₁ s Jsem (τ) > 0.

Všimněte si, že G₂ a G₃ jsou homogenní funkce stupně −4 a −6; to je

${ displaystyle g_ {2} ( lambda omega _ {1}, lambda omega _ {2}) = lambda ^ {- 4} g_ {2} ( omega _ {1}, omega _ { 2})}$

${ displaystyle g_ {3} ( lambda omega _ {1}, lambda omega _ {2}) = lambda ^ {- 6} g_ {3} ( omega _ {1}, omega _ { 2}).}$

Podle konvence tedy člověk často píše ${ displaystyle g_ {2}}$ a ${ displaystyle g_ {3}}$ z hlediska poměr období ${ displaystyle tau = omega _ {2} / omega _ {1}}$ a vzít ${ displaystyle tau}$ ležet v horní polorovina. Tím pádem, ${ displaystyle g_ {2} ( tau) = g_ {2} (1, omega _ {2} / omega _ {1})}$ a ${ displaystyle g_ {3} ( tau) = g_ {3} (1, omega _ {2} / omega _ {1})}$.

The Fourierova řada pro ${ displaystyle g_ {2}}$ a ${ displaystyle g_ {3}}$ lze psát ve smyslu čtverce ne já ${ displaystyle q = exp (i pi tau)}$ tak jako

${ displaystyle g_ {2} ( tau) = { frac {4} {3}} pi ^ {4} vlevo [1 + 240 součet _ {k = 1} ^ { infty} sigma _ {3} (k) q ^ {2k} vpravo]}$

${ displaystyle g_ {3} ( tau) = { frac {8} {27}} pi ^ {6} doleva [1-504 součet _ {k = 1} ^ { infty} sigma _ {5} (k) q ^ {2k} vpravo]}$

kde ${ displaystyle sigma _ {a} (k)}$ je funkce dělitele. Tento vzorec může být přepsán z hlediska Lambertova řada.

Invarianty mohou být vyjádřeny v Jacobiho theta funkce. Tato metoda je velmi vhodná pro numerický výpočet: funkce theta se sbíhají velmi rychle. V zápisu Abramowitze a Steguna, ale označující primitivní období podle ${ displaystyle omega _ {1}, omega _ {2}}$, invarianti uspokojí

${ displaystyle g_ {2} ( omega _ {1}, omega _ {2}) = { frac {4} {3}} vlevo ({ frac { pi} { omega _ {1} }} vpravo) ^ {4} (a ^ {8} -a ^ {4} b ^ {4} + b ^ {8}) = { frac {2} {3}} vlevo ({ frac { pi} { omega _ {1}}} vpravo) ^ {4} (a ^ {8} + b ^ {8} + c ^ {8})}$

${ displaystyle g_ {3} ( omega _ {1}, omega _ {2}) = { frac {8} {27}} vlevo ({ frac { pi} { omega _ {1} }} vpravo) ^ {6} (a ^ {12} - { frac {3} {2}} a ^ {8} b ^ {4} - { frac {3} {2}} a ^ { 4} b ^ {8} + b ^ {12})}$„Wolfram Functions“.

kde

${ displaystyle a = theta _ {2} (0; q) = vartheta _ {10} (0; tau)}$

${ displaystyle b = theta _ {3} (0; q) = vartheta _ {00} (0; tau)}$

${ displaystyle c = theta _ {4} (0; q) = vartheta _ {01} (0; tau)}$

a ${ displaystyle tau = omega _ {2} / omega _ {1}}$ je poměr období, ${ displaystyle q = e ^ { pi i tau}}$ je jméno a ${ displaystyle theta _ {m}}$ a ${ displaystyle vartheta _ {mn}}$ jsou alternativní notace.

Speciální případy

Pokud jsou invarianty G₂ = 0, G₃ = 1, pak se to nazývá ekvianharmonie případ;

G₂ = 1, G₃ = 0 je lemniscatic případ.

Diferenciální rovnice

Pomocí této notace splňuje funkce the následující diferenciální rovnice:

${ displaystyle [ wp '(z)] ^ {2} = 4 [ wp (z)] ^ {3} -g_ {2} wp (z) -g_ {3}, ,}$

kde závislost na ${ displaystyle omega _ {1}}$ a ${ displaystyle omega _ {2}}$ je potlačen.

Tento vztah lze rychle ověřit porovnáním pólů obou stran, například pólu v z = 0 z lhs je

${ displaystyle [ wp '(z)] ^ {2} { Big |} _ {z = 0} sim { frac {4} {z ^ {6}}} - { frac {24} { z ^ {2}}} sum { frac {1} {(m omega _ {1} + n omega _ {2}) ^ {4}}} - 80 sum { frac {1} { (m omega _ {1} + n omega _ {2}) ^ {6}}}}$

zatímco tyč na z = 0 z

${ displaystyle [ wp (z)] ^ {3} { Big |} _ {z = 0} sim { frac {1} {z ^ {6}}} + { frac {9} {z ^ {2}}} sum { frac {1} {(m omega _ {1} + n omega _ {2}) ^ {4}}} + 15 sum { frac {1} {( m omega _ {1} + n omega _ {2}) ^ {6}}}.}$

Porovnáním těchto dvou se získá výše uvedený vztah.

Integrální rovnice

Weierstrassovu eliptickou funkci lze zadat jako inverzní funkci k eliptický integrál.

Nechat

${ displaystyle u = int _ {y} ^ { infty} { frac {ds} { sqrt {4s ^ {3} -g_ {2} s-g_ {3}}}}.}$

Tady, G₂ a G₃ jsou brány jako konstanty.

Pak jeden má

${ displaystyle y = wp (u).}$

Výše uvedené následuje přímo integrací diferenciální rovnice.

Modulární diskriminátor

Skutečná část diskriminátoru jako funkce jména q na disku jednotky.

The modulární diskriminátor Δ je definován jako kvocient 16 z diskriminující na pravé straně výše uvedené diferenciální rovnice:

${ displaystyle Delta = g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2}. ,}$

Toto je studováno samo o sobě, jako a hrotová forma, v modulární forma teorie (tj. jako funkce periodické mřížky).

Všimněte si, že ${ displaystyle Delta = (2 pi) ^ {12} eta ^ {24}}$ kde ${ displaystyle eta}$ je Funkce Dedekind eta.

Přítomnost někoho 24 lze chápat ve spojení s jinými výskyty, jako ve funkci eta a Mřížka pijavice.

Diskriminační je modulární forma váhy 12. To znamená, že na základě akce modulární skupina, transformuje se jako

${ displaystyle Delta left ({ frac {a tau + b} {c tau + d}} right) = left (c tau + d right) ^ {12} Delta ( tau )}$

s τ je poměr poloviny období a A,b,C a d být celá čísla, s inzerát − před naším letopočtem = 1.

Pro Fourierovy koeficienty ${ displaystyle Delta}$viz Funkce Ramanujan tau.

Konstanty E₁, E₂ a E₃

Zvažte kubická polynomická rovnice 4t³ − G₂t − G₃ = 0 s kořeny E₁, E₂, a E₃. Jeho diskriminátor je 16krát větší než modulární diskriminátor Δ = G₂³ − 27G₃². Pokud to není nula, žádné dva z těchto kořenů nejsou stejné. Protože kvadratický člen tohoto kubického polynomu je nula, jsou kořeny příbuzné rovnicí

${ displaystyle e_ {1} + e_ {2} + e_ {3} = 0. ,}$

Lineární a konstantní koeficienty (G₂ a G₃, respektive) souvisí s kořeny rovnicemi (viz Elementární symetrický polynom ).^[1]

${ displaystyle g_ {2} = - 4 left (e_ {1} e_ {2} + e_ {1} e_ {3} + e_ {2} e_ {3} right) = 2 left (e_ {1 } ^ {2} + e_ {2} ^ {2} + e_ {3} ^ {2} vpravo)}$

${ displaystyle g_ {3} = 4e_ {1} e_ {2} e_ {3}}$

Kořeny E₁, E₂, a E₃ rovnice ${ displaystyle 4x ^ {3} -g_ {2} x-g_ {3} = 0}$ záleží na τ a lze jej vyjádřit pomocí theta funkce. Jako předtím, pojďme

${ displaystyle a = theta _ {2} (0; e ^ { pi i tau}) = vartheta _ {10} (0; tau)}$

${ displaystyle b = theta _ {3} (0; e ^ { pi i tau}) = vartheta _ {00} (0; tau)}$

${ displaystyle c = theta _ {4} (0; e ^ { pi i tau}) = vartheta _ {01} (0; tau)}$

pak

${ displaystyle e_ {1} ( tau) = { tfrac { pi ^ {2}} {3}} (b ^ {4} + c ^ {4})}$

${ displaystyle e_ {2} ( tau) = { tfrac { pi ^ {2}} {3}} (- a ^ {4} -b ^ {4})}$

${ displaystyle e_ {3} ( tau) = { tfrac { pi ^ {2}} {3}} (a ^ {4} -c ^ {4})}$

Od té doby ${ displaystyle g_ {2} = 2 left (e_ {1} ^ {2} + e_ {2} ^ {2} + e_ {3} ^ {2} right)}$ a ${ displaystyle g_ {3} = 4e_ {1} e_ {2} e_ {3}}$, pak je lze také vyjádřit jako theta funkce. Ve zjednodušené formě

${ displaystyle g_ {2} ( tau) = { tfrac {2} {3}} pi ^ {4} (a ^ {8} + b ^ {8} + c ^ {8})}$

${ displaystyle g_ {3} ( tau) = { tfrac {4} {27}} pi ^ {6} { sqrt { frac {(a ^ {8} + b ^ {8} + c ^ {8}) ^ {3} -54 (abc) ^ {8}} {2}}}}$

${ displaystyle Delta = g_ {2} ^ {3} -27g_ {3} ^ {2} = 16 pi ^ {12} a ^ {8} b ^ {8} c ^ {8} = (2 pi) ^ {12} eta ^ {24} ( tau)}$

Kde ${ displaystyle eta}$ je Funkce Dedekind eta. V případě skutečných invariantů znak Δ = G₂³ − 27G₃² určuje povahu kořenů. Li ${ displaystyle Delta> 0}$, všechny tři jsou skutečné a je obvyklé je pojmenovávat ${ displaystyle e_ {1}> e_ {2}> e_ {3}}$. Li ${ displaystyle Delta <0}$, je běžné psát ${ displaystyle e_ {1} = - alpha + beta i}$ (kde ${ displaystyle alpha geq 0}$, ${ displaystyle beta> 0}$), odkud ${ displaystyle e_ {3} = { overline {e_ {1}}}}$, a ${ displaystyle e_ {2}}$ je skutečný a nezáporný.

Poloperiody ω₁/ 2 a ω₂/ 2 Weierstrassovy eliptické funkce souvisí s kořeny

${ displaystyle wp left ({ frac { omega _ {1}} {2}} right) = e_ {1} qquad wp left ({ frac { omega _ {2}} { 2}} right) = e_ {2} qquad wp left ({ frac { omega _ {3}} {2}} right) = e_ {3}}$

kde ${ displaystyle omega _ {3} = - ( omega _ {1} + omega _ {2})}$. Jelikož se čtverec derivace Weierstrassovy eliptické funkce rovná výše uvedenému kubickému polynomu hodnoty funkce, ${ displaystyle wp ' left ({ frac { omega _ {i}} {2}} right) ^ {2} = wp' left ({ frac { omega _ {i}} { 2}} vpravo) = 0}$ pro ${ displaystyle i = 1,2,3}$. Naopak, pokud se hodnota funkce rovná kořenu polynomu, je derivace nula.

Li G₂ a G₃ jsou skutečné a Δ> 0, E_i jsou všechny skutečné a ${ displaystyle wp ()}$ je reálné na obvodu obdélníku s rohy 0, ω₃, ω₁ + ω₃a ω₁. Pokud jsou kořeny seřazeny výše (E₁ > E₂ > E₃), pak je první polovina období zcela reálná

${ displaystyle { frac { omega _ {1}} {2}} = int _ {e_ {1}} ^ { infty} { frac {dz} { sqrt {4z ^ {3} -g_ {2} z-g_ {3}}}}}$

zatímco třetí polovina období je zcela imaginární

${ displaystyle { frac { omega _ {3}} {2}} = i int _ {- e_ {3}} ^ { infty} { frac {dz} { sqrt {4z ^ {3} -g_ {2} z-g_ {3}}}}.}$

Věty o sčítání

Eliptické funkce Weierstrass mají několik vlastností, které lze prokázat:

${ displaystyle det { begin {bmatrix} wp (z) & wp '(z) & 1 wp (y) & wp' (y) & 1 wp (z + y) & - wp '(z + y) & 1 end {bmatrix}} = 0}$

Symetrická verze stejné identity je

${ Displaystyle det { begin {bmatrix} wp (u) & wp '(u) & 1 wp (v) & wp' (v) & 1 wp (w) & wp ' (w) & 1 end {bmatrix}} = 0 { text {if}} u + v + w = ​​0.}$

Taky

${ displaystyle wp (z + y) = { frac {1} {4}} vlevo {{ frac { wp '(z) - wp' (y)} { wp (z) - wp (y)}} doprava } ^ {2} - wp (z) - wp (y)}$

a duplikační vzorec

${ displaystyle wp (2z) = { frac {1} {4}} vlevo {{ frac { wp '' (z)} { wp '(z)}} vpravo } ^ { 2} -2 wp (z),}$

pokud 2z je období.

Případ s 1 základní poloperiodou

Li ${ displaystyle omega _ {1} = 1}$, hodně z výše uvedené teorie se stává jednodušší; to je pak konvenční towrite ${ displaystyle tau}$ pro ${ displaystyle omega _ {2}}$.

Pro pevné τ v horní polorovina, takže imaginární část τ je pozitivní, definujeme Weierstrassova funkce podle

${ displaystyle wp (z; tau) = { frac {1} {z ^ {2}}} + součet _ {(m, n) neq (0,0)} {1 nad (z + m + n tau) ^ {2}} - {1 over (m + n tau) ^ {2}}.}$

Součet přesahuje mříž {n + mτ | n, m ∈ Z} s vynecháním původu.

Zde považujeme τ jako pevné a ℘ jako funkce z; upevnění z a nechat τ měnit vede do oblasti eliptické modulární funkce.

Obecná teorie

℘ je a meromorfní funkce v komplexní rovině s dvojitým pól v každém mřížovém bodě. Je to dvojnásobně periodické s obdobími 1 a τ; to znamená, že ℘ uspokojuje

${ Displaystyle wp (z + 1) = wp (z + tau) = wp (z).}$

Výše uvedený součet je homogenní stupně minus dva, a pokud C je jakékoli nenulové komplexní číslo,

${ displaystyle wp (cz; c omega _ {1}, c omega _ {2}) = wp (z; omega _ {1}, omega _ {2}) / c ^ {2} }$

ze kterého můžeme definovat Weierstrassovu funkci any pro jakoukoli dvojici období. Můžeme také vzít derivát (samozřejmě s ohledem na z) a získat funkci algebraicky související s ℘ pomocí

${ displaystyle wp '^ {2} = 4 wp ^ {3} -g_ {2} wp -g_ {3}}$

kde ${ displaystyle g_ {2}}$ a ${ displaystyle g_ {3}}$ záleží jen na τ, bytost modulární formy. Rovnice

${ displaystyle Y ^ {2} = 4X ^ {3} -g_ {2} X-g_ {3}}$

definuje eliptická křivka a vidíme to ${ displaystyle ( wp, wp ')}$ je parametrizace této křivky. Souhrn meromorfních dvojnásobně periodických funkcí s danými obdobími definuje algebraické funkční pole spojené s touto křivkou. Je možné ukázat, že toto pole je

${ displaystyle mathbb {C} ( wp, wp '),}$

takže všechny takové funkce jsou racionální funkce ve Weierstrassově funkci a její derivaci.

Jeden paralelogram s jednou periodou lze zabalit do a torus nebo ve tvaru koblihy Riemannův povrch a považujeme eliptické funkce spojené s daným párem period za funkce definované na Riemannově ploše.

℘ lze také vyjádřit pomocí theta funkcí; protože se sbíhají velmi rychle, jedná se o rychlejší způsob výpočtu ℘ než řada, která se používá k jeho definování.

${ displaystyle wp (z; tau) = pi ^ {2} vartheta ^ {2} (0; tau) vartheta _ {10} ^ {2} (0; tau) { vartheta _ {01} ^ {2} (z; tau) over vartheta _ {11} ^ {2} (z; tau)} + e_ {2} ( tau).}$

Funkce ℘ má dvě nuly (modulo období) a funkce ℘ ′ má tři. Nuly ℘ ′ lze snadno najít: protože ℘ ′ je zvláštní funkce, musí být v bodech poloviční periody. Na druhou stranu je velmi obtížné vyjádřit nuly ℘ uzavřený vzorec, s výjimkou zvláštních hodnot modulu (např. když je periodická mřížka Gaussova celá čísla ). Výraz byl nalezen uživatelem Zagier a Eichler.^[2]

Weierstrassova teorie také zahrnuje Funkce Weierstrass zeta, což je neurčitý integrál ℘ a ne dvakrát periodický, a funkce theta zvaná Weierstrassova sigma funkce, jehož zeta-funkce je log-derivát. Funkce sigma má nuly ve všech bodech období (pouze) a lze ji vyjádřit pomocí Jacobiho funkce. To dává jeden způsob převodu mezi notami Weierstrass a Jacobi.

Weierstrassova sigma-funkce je celá funkce; hrálo roli „typické“ funkce v teorii náhodné celé funkce z J. E. Littlewood.

Vztah k Jacobiho eliptickým funkcím

Pro numerickou práci je často vhodné vypočítat Weierstrassovu eliptickou funkci z hlediska Jacobiho eliptické funkce.

Základní vztahy jsou^[3]

${ displaystyle wp (z) = e_ {3} + { frac {e_ {1} -e_ {3}} { operatorname {sn} ^ {2} w}} = e_ {2} + (e_ { 1} -e_ {3}) { frac { operatorname {dn} ^ {2} w} { operatorname {sn} ^ {2} w}} = e_ {1} + (e_ {1} -e_ { 3}) { frac { operatorname {cn} ^ {2} w} { operatorname {sn} ^ {2} w}}}$

kde E_1–3 jsou tři kořeny popsané výše a kde modul k Jacobiho funkcí se rovná

${ displaystyle k equiv { sqrt { frac {e_ {2} -e_ {3}} {e_ {1} -e_ {3}}}}}$

a jejich argument w rovná se

${ displaystyle w equiv z { sqrt {e_ {1} -e_ {3}}}.}$

Typografie

Weierstrassova eliptická funkce je obvykle psána spíše zvláštním malým písmenem script.^{[poznámka pod čarou 1]}

Ve výpočtech je písmeno ℘ k dispozici jako wp v TeX. v Unicode kódový bod je U + 2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P (HTML℘ · & weierp ;, & wp;), se správnějším aliasem eliptická funkce weierstrass.^{[poznámka pod čarou 2]} v HTML, lze uniknout jako & weierp;.

Poznámky pod čarou

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 18“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 627. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• N. I. Akhiezer, Základy teorie eliptických funkcí, (1970) Moskva, přeloženo do angličtiny jako AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN  0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modulární funkce a Dirichletova řada v teorii čísel, druhé vydání (1990), Springer, New York ISBN  0-387-97127-0 (Viz kapitola 1.)
• K. Chandrasekharan, Eliptické funkce (1980), Springer-Verlag ISBN  0-387-15295-4
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Publikováno v anglickém překladu jako Teorie funkcí (1996), Dover Publications ISBN  0-486-69219-1
• Serge Lang, Eliptické funkce (1973), Addison-Wesley, ISBN  0-201-04162-6
• E. T. Whittaker a G. N. Watson, Kurz moderní analýzy, Cambridge University Press 1952, kapitoly 20 a 21

externí odkazy

• "Eliptické funkce Weierstrass", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weierstrassovy eliptické funkce na Mathworld.
• Kapitola 23, Eliptické a modulární funkce Weierstrass v DLMF (Digitální knihovna matematických funkcí ) autorů W. P. Reinhardta a P. L. Walkera.