Funkce Ramanujan theta - Ramanujan theta function
v matematika, zejména q-analog teorie Funkce Ramanujan theta zevšeobecňuje podobu Jacobi theta funkce, přičemž zachycuje jejich obecné vlastnosti. Zejména Trojitý produkt Jacobi nabývá obzvláště elegantní podoby, když je psáno ve smyslu Ramanujan theta. Funkce je pojmenována po Srinivasa Ramanujan.
Definice
Funkce Ramanujan theta je definována jako

pro |ab| <1. The Trojitý produkt Jacobi identita pak má podobu

Tady výraz
označuje q-Pochhammerův symbol. Identity, které z toho vyplývají, zahrnují

a

a

toto poslední bytí Eulerova funkce, který úzce souvisí s Funkce Dedekind eta. Jacobi funkce theta lze psát z hlediska funkce Ramanujan theta jako:

Integrální reprezentace
Máme následující integrální zastoupení pro plnou dvouparametrovou formu funkce Ramanujan's theta:[1]
![{ displaystyle { begin {aligned} f (a, b) & = 1+ int _ {0} ^ { infty} { frac {2ae ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac {1-a { sqrt {ab}} cosh left ({ sqrt { log (ab)}} t right)} {a ^ {3 } b-2a { sqrt {ab}} cosh left ({ sqrt { log (ab)}} t right) +1}} right] dt + int _ {0} ^ { infty} { frac {2be ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac {1-b { sqrt {ab}} cosh left ({ sqrt { log (ab)}} t right)} {ab ^ {3} -2b { sqrt {ab}} cosh left ({ sqrt { log (ab)}} t right) +1}} vpravo] dt. End {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb478022cf9e5bffeaeffd1999d3eb1623f4b801)
Zvláštní případy Ramanujanovy theta funkcí dané
OEIS: A000122 a
OEIS: A010054 [2] mít také následující integrální reprezentace:[1]
![{ displaystyle { begin {aligned} varphi (q) & = 1+ int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt { 2 pi}}} left [{ frac {4q left (1-q ^ {2} cosh left ({ sqrt {2 log (q)}} t right) right)} { q ^ {4} -2q ^ {2} cosh left ({ sqrt {2 log (q)}} t right) +1}} right] dt psi (q) & = int _ {0} ^ { infty} { frac {2e ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac { left (1- { sqrt {q}} cosh left ({ sqrt { log (q)}} t right) right)} {q-2 { sqrt {q}} cosh left ({ sqrt { log (q)}} t right) +1}} right] dt. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3623a1873668f64e4795d22a6eb3c0d4a1fec1)
To vede k několika speciálním případovým integrálům pro konstanty definované těmito funkcemi, když
(srov. explicitní hodnoty funkce theta ). Zejména to máme [1]
![{ displaystyle { begin {aligned} varphi left (e ^ {- k pi} right) & = 1+ int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac {4e ^ {k pi} left (e ^ {2k pi} - cos left ({ sqrt {2 pi k}} t right) right)} {e ^ {4k pi} -2e ^ {2k pi} cos left ({ sqrt {2 pi k}} t right) +1}} vpravo] dt { frac { pi ^ {1/4}} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} vpravo)}} & = 1+ int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac {4e ^ { pi} left (e ^ {2 pi} - cos left ({ sqrt {2 pi}} t right) right)} {e ^ {4 pi} -2e ^ {2 pi} cos left ({ sqrt {2 pi}} t right) +1}} right] dt { frac { pi ^ {1/4}} { Gamma left ({ frac {3 } {4}} vpravo)}} cdot { frac { sqrt {{ sqrt {2}} + 2}} {2}} & = 1+ int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac {4e ^ {2 pi} left (e ^ {4 pi} - cos left (2 { sqrt { pi}} t right) right)} {e ^ {8 pi} -2e ^ {4 pi} cos left (2 { sqrt { pi}} t right) +1}} right] dt { frac { pi ^ {1/4}} { Gamma left ({ frac {3} {4}} right)} } cdot { frac { sqrt {{ sqrt {3}} + 1}} {2 ^ {1/4} 3 ^ {3/8}}} & = 1+ int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} vlevo [{ frac {4e ^ {3 pi} vlevo (e ^ {6 pi} - cos vlevo ({ sqrt {6 pi}} t right) right)} {e ^ {12 pi} -2e ^ {6 pi} cos left ({ sqrt {6 pi}} t right) +1 }} right] dt { frac { pi ^ {1/4}} { Gamma left ({ frac {3} {4}} right)}} cdot { frac { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} {5 ^ {3/4}}} & = 1+ int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2 } / 2}} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac {4e ^ {5 pi} left (e ^ {10 pi} - cos left ({ sqrt {10 pi}} t right) right)} {e ^ {20 pi} -2e ^ {10 pi} cos left ({ sqrt {10 pi}} t right) +1}} right] dt. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd83c2cc77b9b10f19d37b7f9e4abb184d1e05ae)
a to
![{ displaystyle { begin {aligned} psi left (e ^ {- k pi} right) & = int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2 } / 2}} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac { cos left ({ sqrt {k pi}} t right) -e ^ {k pi / 2} } { cos left ({ sqrt {k pi}} t right) - cosh left ({ frac {k pi} {2}} right)}} right] dt { frac { pi ^ {1/4}} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} vpravo)}} cdot { frac {e ^ { pi / 8}} {2 ^ {5/8}}} & = int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} vlevo [{ frac { cos left ({ sqrt { pi}} t right) -e ^ { pi / 2}} { cos left ({ sqrt { pi}} t right) - cosh left ({ frac { pi} {2}} right)}} right] dt { frac { pi ^ {1/4}} { Gamma left ({ frac {3} {4}} right)}} cdot { frac {e ^ { pi / 4}} {2 ^ {5/4}}} & = int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2} / 2}} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac { cos left ({ sqrt {2 pi}} t right) -e ^ { pi}} { cos left ({ sqrt {2 pi}} t right) - cosh left ( pi right)}} right] dt { frac { pi ^ {1/4}} { Gamma vlevo ({ frac {3} {4}} vpravo)}} cdot { frac { vlevo ({ sqrt {2}} + 1 right) ^ {1/4} e ^ { pi / 16}} {2 ^ {7/16}}} & = int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- t ^ {2} / 2 }} { sqrt {2 pi}}} left [{ frac { cos left ({ sqrt { frac { pi} {2}}} t right) -e ^ { pi / 4}} { cos left ({ sqrt { frac { pi} {2}}} t right) - cosh left ({ frac { pi} {4}} right)}} right] dt. end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c1bc468f645f857ae5dac11fc2c4c2ba1329ec)
Aplikace v teorii strun
Funkce Ramanujan theta se používá k určení kritické rozměry v Bosonická teorie strun, teorie superstrun a M-teorie.
Reference