Teorie Brill – Noether - Brill–Noether theory

V teorii algebraické křivky, Teorie Brill – Noether, představil Alexander von Brill a Max Noether  (1874 ), je studie o speciální děliteléjisté dělitele na křivce C které určují více kompatibilních funkcí, než by se dalo předvídat. V klasickém jazyce se speciální děliče pohybují po křivce „větší, než se očekávalo“ lineární systém dělitelů.

Podmínka být zvláštním dělitelem D lze formulovat v svazek kohomologie podmínek, jako nezmizení H¹ cohomologie svazku částí sekcí invertibilní svazek nebo svazek řádků spojené s D. To znamená, že tím Riemann – Rochova věta, H⁰ cohomologie nebo prostor holomorfních řezů je větší, než se očekávalo.

Alternativně tím, že Serre dualita, podmínkou je, že existují holomorfní diferenciály s dělitelem ≥ -D na křivce.

Hlavní věty Brill-Noetherovy teorie

Pro daný rod G, moduli prostor pro křivky C rodu G by měl obsahovat hustou podmnožinu parametrizující tyto křivky s minimem v cestě speciálních dělitelů. Jedním z cílů teorie je „počítat konstanty“ pro tyto křivky: předpovídat rozměr prostoru speciálních dělitelů (až lineární ekvivalence ) daného stupně d, jako funkce G, že musí být přítomni na křivce tohoto rodu.

Základní prohlášení lze formulovat z hlediska Odrůda Picard Obrázek (C) hladké křivky Ca podmnožina obrázku (C) souhlasí s třídy dělitele dělitelů D, s danými hodnotami d stupně (D) a r z l(D) - 1 v zápisu Riemann – Rochova věta. Pro dim dim je dolní mez ρ (d, r, G) z toho podsystém na obrázku (C):

ztlumit(d, r, G) ≥ ρ = g - (r + 1) (g - d + r)

volal Brill – Noetherovo číslo. Pro hladké křivky C a pro d≥1, r≥0 základní výsledky o prostoru G^r
_d lineárních systémů na C stupně d a rozměr r jsou následující.

• George Kempf dokázal, že pokud ρ≥0 pak G^r
  _d není prázdný a každá součást má rozměr alespoň ρ.
• William Fulton a Robert Lazarsfeld dokázal, že pokud ρ≥1 pak G^r
  _d je připojen.
• Griffiths & Harris (1980) ukázal, že pokud C je tedy obecný G^r
  _d je zmenšen a všechny komponenty mají rozměr přesně ρ (tedy zejména G^r
  _d je prázdné, pokud ρ <0).
• David Gieseker dokázal, že pokud C je tedy obecný G^r
  _d je hladký. Výsledkem propojenosti to znamená, že je neredukovatelné, pokud ρ > 0.

Reference

• Arbarello, Enrico; Cornalba, Maurizio; Griffiths, Philip A .; Harris, Joe (1985). „Základní výsledky teorie Brill – Noether“. Geometrie algebraických křivek. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 267. Svazek I. str. 203–224. doi:10.1007/978-1-4757-5323-3_5. ISBN  0-387-90997-4.
• von Brill, Alexander; Noether, Max (1874). „Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie“. Mathematische Annalen. 7 (2): 269–316. doi:10.1007 / BF02104804. JFM  06.0251.01. Citováno 2009-08-22.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1980). "O rozmanitosti speciálních lineárních systémů na obecné algebraické křivce". Duke Mathematical Journal. 47 (1): 233–272. doi:10.1215 / s0012-7094-80-04717-1. PAN  0563378.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Philip A. Griffiths; Joe Harris (1994). Principy algebraické geometrie. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. str. 245. ISBN  978-0-471-05059-9.