Birkhoff – Grothendieckova věta - Birkhoff–Grothendieck theorem

v matematika, Birkhoff – Grothendieckova věta klasifikuje holomorfní vektorové svazky přes komplex projektivní linie. Zejména každý holomorfní vektorový svazek ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ je přímý součet holomorfní svazky řádků. Věta byla prokázána Alexander Grothendieck  (1957, Věta 2.1),^[1] a je víceméně ekvivalentní Birkhoffova faktorizace představil George David Birkhoff  (1909 ).^[2]

Prohlášení

Přesněji řečeno, věta je následující.

Každý holomorfní vektorový svazek ${displaystyle {mathcal {E}}}$ na ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ je holomorfně izomorfní s přímým součtem svazků řádků:

${displaystyle {mathcal {E}} cong {mathcal {O}} (a_ {1}) oplus cdots oplus {mathcal {O}} (a_ {n}).}$

Zápis znamená, že každý součet je a Serre twist několikrát triviální svazek. Reprezentace je jedinečná až do permutujících faktorů.

Zobecnění

Stejný výsledek platí pro algebraickou geometrii pro algebraický vektorový svazek přes ${displaystyle mathbb {P} _ {k} ^ {1}}$ pro jakékoli pole ${displaystyle k}$.^[3]Platí také pro ${displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ s jedním nebo dvěma orbifold body, a pro řetězy projektivních čar setkávajících se podél uzlů.^[4]

Aplikace

Jednou z aplikací této věty je, že poskytuje klasifikaci všech koherentních svazků ${displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$. Máme dva případy, vektorové svazky a koherentní snopy podporované podél podvariety, takže ${displaystyle {mathcal {O}} (k), {mathcal {O}} _ {np}}$ kde n je stupeň tučného bodu v ${displaystyle x}$. Jelikož jedinou poddruhou jsou body, máme úplnou klasifikaci koherentních svazků.

Viz také

• Algebraická geometrie projektivních prostorů
• Eulerova sekvence
• Princip rozdělení
• K-teorie
• Skákací čára

Reference

Další čtení

• Okonek, C .; Schneider, M .; Spindler, H. (1980). Vektorové svazky na složitých projektivních prostorech. Pokrok v matematice. Birkhäuser.

Tento související s topologií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.