Cliffordova věta o zvláštních dělitelích - Cliffords theorem on special divisors - Wikipedia

v matematika, Cliffordova věta o zvláštních dělitelích je výsledkem William K. Clifford  (1878 ) zapnuto algebraické křivky, zobrazující omezení na speciální lineární systémy na křivce C.

Prohlášení

A dělitel na Riemannův povrch C je formální součet ${ displaystyle textstyle D = součet _ {P} m_ {P} P}$ bodů P na C s celočíselnými koeficienty. Jeden považuje dělitele za soubor omezení meromorfní funkce v funkční pole z C, definování ${ displaystyle L (D)}$ jako vektorový prostor funkcí, které mají póly pouze v bodech D s kladným koeficientem, nanejvýš tak špatné jak ukazuje koeficient, a s nulami v bodech D se záporným koeficientem, s alespoň ta multiplicita. Rozměr ${ displaystyle L (D)}$ je konečný a označený ${ displaystyle ell (D)}$. The lineární systém dělitelů připojený k D je odpovídající projektivní prostor dimenze ${ displaystyle ell (D) -1}$.

Další významný invariant z D je jeho stupeň d, což je součet všech jeho koeficientů.

Říká se dělitel speciální -li ℓ(K. − D)> 0, kde K. je kanonický dělitel.^[1]

Cliffordova věta uvádí, že za efektivní zvláštní dělitel D, jeden má:

${ displaystyle ell (D) -1 leq d / 2}$,

a tato rovnost platí, pouze pokud D je nula nebo kanonický dělitel, nebo pokud C je hyperelliptická křivka a D lineárně ekvivalentní integrálnímu násobku hyperelliptického dělitele.

The Cliffordův index z C je pak definována jako minimum d − 2r(D) převzal všechny speciální dělitele (kromě kanonických a triviálních) a Cliffordova věta uvádí, že to není negativní. Lze ukázat, že Cliffordův index pro a obecný křivka rod G se rovná funkce podlahy ${ displaystyle lfloor { tfrac {g-1} {2}} rfloor.}$

Cliffordův index měří, jak daleko je křivka hyperelliptická. Lze to považovat za zdokonalení gonality: v mnoha případech se Cliffordův index rovná gonalitě minus 2.^[2]

Greenova domněnka

Domněnka o Mark Green uvádí, že Cliffordův index pro křivku nad komplexními čísly, která není hyperelliptická, by měl být určen rozsahem, v jakém C tak jako kanonická křivka má lineární syzygies. Podrobně jeden definuje invariant A(C), pokud jde o minimální bezplatné rozlišení z homogenní souřadnicový kruh z C ve svém kanonickém vložení jako největší index i pro které odstupňované číslo Betti β_{i, i + 2} je nula. Zelená a Robert Lazarsfeld to ukázal A(C) + 1 je dolní mez pro Cliffordův index a Greenova domněnka uvádí, že rovnost vždy platí. Existuje řada dílčích výsledků.^[3]

Claire Voisinová byl oceněn Cena Ruth Lyttle Satterové za matematiku za její řešení obecného případu Greenova domněnky ve dvou dokumentech.^[4][5] Případ domněnky Greena pro obecný křivky přitahovaly obrovské množství úsilí algebraických geometrů během dvaceti let, než byly konečně uklidněny Voisinem.^[6] Domněnka o libovolný křivky zůstávají otevřené.

Poznámky

Reference

• Arbarello, Enrico; Cornalba, Maurizio; Griffiths, Phillip A.; Harris, Joe (1985). Geometrie algebraických křivek Svazek I. Grundlehren de mathematischen Wisenschaften 267. ISBN  0-387-90997-4.
• Clifford, William K. (1878), „O klasifikaci loci“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně Královská společnost 169: 663–681, doi:10.1098 / rstl.1878.0020, ISSN  0080-4614, JSTOR  109316
• Eisenbud, David (2005). Geometrie Syzygies. Druhý kurz komutativní algebry a algebraické geometrie. Postgraduální texty z matematiky. 229. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN  0-387-22215-4. Zbl  1066.14001.
• Fulton, William (1974). Algebraické křivky. Série přednášek z matematiky. W.A. Benjamin. str. 212. ISBN  0-8053-3080-1.
• Griffiths, Phillip A.; Harris, Joe (1994). Principy algebraické geometrie. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. str. 251. ISBN  0-471-05059-8.
• Hartshorne, Robine (1977). Algebraická geometrie. Postgraduální texty z matematiky. 52. ISBN  0-387-90244-9.

externí odkazy

• Iskovskikh, V.A. (2001) [1994], „Cliffordova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS