Tacnode - Tacnode

Tacnode na počátku křivky definované (X2+y2 −3X)2−4X2(2 − x) = 0

v klasická algebraická geometrie, a tacnode (také nazývaný a bod oscilace nebo dvojitý hrot)[1] je druh singulární bod křivky. Je definován jako bod, kde dva (nebo více) oscilační kruhy na křivku v tomto bodě jsou tečna. To znamená, že dvě větve křivky mají obyčejnou tečnost v dvojitém bodě.[1]

Kanonický příklad je

Tacnode libovolné křivky pak může být definována z tohoto příkladu, jako bod vlastní tangenty lokálně difeomorfní do bodu na počátku této křivky. Další příklad tacnode je dán křivka odkazů na obrázku, s rovnicí

Obecnější pozadí

Zvažte a hladký funkce se skutečnou hodnotou ze dvou proměnné, řekněme F(X, y) kde X a y jsou reálná čísla. Tak F je funkce od roviny k přímce. Prostor všech těchto hladkých funkcí je jednal na skupina z difeomorfismy roviny a difeomorfismů linie, tj. difeomorfní změny koordinovat v obou zdroj a cílová. Tato akce rozděluje celek funkční prostor nahoru do třídy ekvivalence, tj. oběžné dráhy skupinové akce.

Jedna taková rodina tříd rovnocennosti je označena Ak±, kde k je nezáporný celé číslo. Tuto notaci zavedl V. I. Arnold. Funkce F se říká, že je typu Ak± pokud leží na oběžné dráze X2 ± yk+1, tj. existuje difeomorfní změna souřadnic ve zdroji a cíli, která trvá F do jedné z těchto forem. Tyto jednoduché formy X2 ± yk+1 se říká, že dávají normální formy pro typ Ak± - zvláštnosti.

Křivka s rovnicí F = 0 bude mít tacnode, řekněme na počátku, pokud a pouze pokud F má typ A3−-jednotnost v původu.

Všimněte si, že a uzel (X2 − y2 = 0) odpovídá typu A1−-jedinečnost. Tacnode odpovídá typu A3−-jedinečnost. Ve skutečnosti každý typ A2n+1−-sularita, kde n ≥ 0 je celé číslo, odpovídá křivce s vlastním průnikem. Tak jako n zvyšuje se pořadí křižovatky zvyšuje: příčné křížení, obyčejná tečnost atd.

Typ A2n+1+- zvláštnosti nezajímají skutečná čísla: všechny dávají izolovaný bod. Zadejte typ komplexních čísel A2n+1+- zvláštnosti a typ A2n+1−-jednotnosti jsou ekvivalentní: (X,y) → (X, iy) udává požadovaný difeomorfismus normálních forem.

Viz také

Reference

  1. ^ A b Schwartzman, Steven (1994), Slova matematiky: Etymologický slovník matematických výrazů používaných v angličtině, MAA Spectrum, Mathematical Association of America, str. 217, ISBN  978-0-88385-511-9.

externí odkazy