Legendární forma - Legendre form

v matematika, Legendární formy eliptické integrály jsou kanonickou sadou tří eliptických integrálů, na které mohou být redukovány všechny ostatní. Legendre vybral jméno eliptické integrály protože^[1] druhý druh dává délka oblouku z elipsa jednotky hlavní poloosy a excentricita ${ displaystyle scriptstyle {k}}$ (elipsa je definována parametricky pomocí ${ displaystyle scriptstyle {x = { sqrt {1-k ^ {2}}} cos (t)}}$, ${ displaystyle scriptstyle {y = sin (t)}}$).

V moderní době byly legendární formy do značné míry nahrazeny alternativní kanonickou sadou, Carlsonovy symetrické tvary. Podrobnější zpracování forem Legendre je uvedeno v hlavním článku na eliptické integrály.

Definice

The neúplný eliptický integrál prvního druhu je definován jako,

${ displaystyle F ( phi, k) = int _ {0} ^ { phi} { frac {1} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} (t)}} } dt,}$

the druhý druh tak jako

${ displaystyle E ( phi, k) = int _ {0} ^ { phi} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} (t)}} , dt,}$

a třetí druh tak jako

${ displaystyle Pi ( phi, n, k) = int _ {0} ^ { phi} { frac {1} {(1-n sin ^ {2} (t)) { sqrt { 1-k ^ {2} sin ^ {2} (t)}}}} , dt.}$

Argument n třetího druhu integrálu je známý jako charakteristický, které se v různých notačních konvencích mohou jevit jako první, druhý nebo třetí argument Π a dále je někdy definována opačným znaménkem. Pořadí argumentů uvedené výše je pořadí argumentů Gradshteyn a Ryzhik^[2] stejně jako Numerické recepty.^[3] Volba označení je to Abramowitz a Stegun^[4] stejně jako Gradshteyn a Ryzhik,^[2] ale odpovídá ${ displaystyle scriptstyle { Pi ( phi, -n, k)}}$ z Numerické recepty.^[3]

Příslušné kompletní eliptické integrály jsou získány nastavením amplituda, ${ displaystyle scriptstyle { phi}}$, horní hranice integrálů, do ${ displaystyle scriptstyle { pi / 2}}$.

Legendární forma eliptická křivka je dána

${ displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x- lambda)}$

Numerické hodnocení

Klasická metoda hodnocení je pomocí Landenovy transformace. Klesající Landenova transformace snižuje modul ${ displaystyle scriptstyle {k}}$ směrem k nule, přičemž se zvyšuje amplituda ${ displaystyle scriptstyle { phi}}$. Naopak, vzestupná transformace zvyšuje modul směrem k jednotě a snižuje amplitudu. V obou limitech ${ displaystyle scriptstyle {k}}$, nula nebo jedna, integrál se snadno vyhodnotí.

Většina moderních autorů doporučuje hodnocení z hlediska Carlsonovy symetrické tvary, pro které existují efektivní, robustní a relativně jednoduché algoritmy. Tento přístup přijal Zvyšte knihovny C ++, Vědecká knihovna GNU a Numerické recepty.^[3]

Reference

Viz také

• Carlsonova symetrická forma