Povrch Bolza - Bolza surface
v matematika, Povrch Bolza, alternativně, komplexní algebraický Bolzova křivka (představil Oskar Bolza (1887 )), je kompaktní Riemannův povrch z rod s nejvyšší možnou objednávkou konformní automorfická skupina v tomto rodu, jmenovitě objednávky 48 ( obecná lineární skupina z matice nad konečné pole ). Plná skupina automorfismu (včetně odrazů) je polopřímý produkt řádu 96. Afinní model pro povrch Bolza lze získat jako lokus rovnice
v . Povrch Bolza je hladké dokončení afinní křivky. Celého rodu hyperbolické povrchy, Bolzův povrch maximalizuje délku systola (Schmutz 1993 ). Jako hyperelliptický Riemannova plocha, vzniká jako rozvětvené dvojité pokrytí Riemannovy koule, s rozvětveným místem na šesti vrcholech pravidelného osmistěn vepsané do koule, jak je snadno vidět z výše uvedené rovnice.
Bolzův povrch přilákal pozornost fyziků, protože poskytuje relativně jednoduchý model kvantový chaos; v této souvislosti se obvykle označuje jako Hadamard – Gutzwillerův model.[1] The spektrální teorie z Operátor Laplace – Beltrami působení na funkce na povrchu Bolza je zajímavé jak pro matematiky, tak pro fyziky, protože povrch se předpokládá, aby maximalizoval první pozitivní vlastní číslo Laplacian mezi všemi kompaktními, uzavřenými Riemannovy povrchy rodu s konstantním záporem zakřivení.
Povrch trojúhelníku
Povrch Bolza je a povrch trojúhelníku - viz Schwarzův trojúhelník. Přesněji řečeno Fuchsijská skupina definování povrchu Bolza je podskupinou skupiny generované odrazy po stranách hyperbolického trojúhelníku s úhly . Skupina izometrií zachovávající orientaci je podskupinou index -dva podskupina skupiny odrazů, která se skládá z produktů sudého počtu odrazů, která má abstraktní prezentaci z hlediska generátorů a vztahy stejně jako . Fuchsiová skupina definování povrchu Bolza je také podskupinou (3,3,4) skupina trojúhelníků, což je podskupina indexu 2 v skupina trojúhelníků. The skupina nemá realizaci ve smyslu čtveřice algebry, ale skupina ano.
V rámci akce na Disk Poincare, základní doménou povrchu Bolzy je pravidelný osmiúhelník s úhly a rohy na
kde . Protilehlé strany osmiúhelníku jsou identifikovány pod působením fuchsijské skupiny. Jeho generátory jsou matice
kde a , spolu s jejich inverzemi. Generátory vztah uspokojují
Tyto generátory jsou připojeny k délkové spektrum, který udává všechny možné délky geodetických smyček. Nejkratší taková délka se nazývá systola povrchu. Systola povrchu Bolza je
The živel délkového spektra pro povrch Bolza je dán vztahem
kde běží přes kladná celá čísla (ale s vynecháním 4, 24, 48, 72, 140 a různých vyšších hodnot) (Aurich, Bogomolny & Steiner 1991 ) a kde je jedinečné liché celé číslo, které minimalizuje
Je možné získat ekvivalentní uzavřenou formu systoly přímo ze skupiny trojúhelníků. Vzorce existují k výslovnému výpočtu délek stran trojúhelníků (2,3,8). Systola se rovná čtyřnásobku délky strany střední délky v trojúhelníku (2,3,8), tj.
Geodetické délky také se objeví v Fenchel – Nielsen souřadnice povrchu. Sada Fenchel-Nielsenových souřadnic pro povrch rodu 2 se skládá ze tří párů, přičemž každý pár má délku a kroucení. Snad nejjednodušší taková sada souřadnic pro povrch Bolza je , kde .
K dispozici je také „symetrická“ sada souřadnic , kde všechny tři délky jsou systola a všechny tři zvraty jsou dány[2]
Symetrie povrchu
Základní doménou povrchu Bolzy je pravidelný osmiúhelník v Poincarého disku; čtyři symetrické akce, které generují (úplnou) skupinu symetrie, jsou:
- R - rotace řádu 8 kolem středu osmiúhelníku;
- S - odraz ve skutečné linii;
- T - odraz na straně jednoho z 16 (4,4,4) trojúhelníků, které mozaikují osmiúhelník;
- U - rotace řádu 3 kolem středu trojúhelníku (4,4,4).
Ty jsou zobrazeny tučnými čarami na sousedním obrázku. Splňují následující sadu vztahů:
kde je triviální (identita) akce. Jeden může použít tuto sadu vztahů v MEZERA získat informace o teorii reprezentace skupiny. Zejména existují čtyři jednorozměrná, dvě dvourozměrná, čtyři trojrozměrná a tři čtyřrozměrná neredukovatelná reprezentace a
podle očekávání.
Spektrální teorie
Zde se spektrální teorie týká spektra Laplacian, . První vlastní prostor (tj. Vlastní prostor odpovídající první kladné vlastní hodnotě) povrchu Bolza je trojrozměrný a druhý čtyřrozměrný (Cook 2018 ), (Jenni 1981 ). Předpokládá se, že vyšetřování poruchy uzlových linií funkcí v prvním vlastním prostoru v Teichmüllerův prostor přinese předpokládaný výsledek v úvodu. Tato domněnka je založena na rozsáhlých numerických výpočtech vlastních čísel povrchu a dalších povrchů rodu 2. Zejména je velmi dobře známo spektrum povrchu Bolza (Strohmaier & Uski 2013 ). Následující tabulka uvádí prvních deset kladných vlastních čísel povrchu Bolza.
Vlastní číslo | Číselná hodnota | Násobnost |
---|---|---|
0 | 1 | |
3.8388872588421995185866224504354645970819150157 | 3 | |
5.353601341189050410918048311031446376357372198 | 4 | |
8.249554815200658121890106450682456568390578132 | 2 | |
14.72621678778883204128931844218483598373384446932 | 4 | |
15.04891613326704874618158434025881127570452711372 | 3 | |
18.65881962726019380629623466134099363131475471461 | 3 | |
20.5198597341420020011497712606420998241440266544635 | 4 | |
23.0785584813816351550752062995745529967807846993874 | 1 | |
28.079605737677729081562207945001124964945310994142 | 3 | |
30.833042737932549674243957560470189329562655076386 | 4 |
The spektrální determinant a Casimirova energie povrchu Bolza jsou
a
respektive, kde jsou všechna desetinná místa považována za správná. Předpokládá se, že spektrální determinant je maximalizován v rodu 2 pro povrch Bolza.
Quaternion algebra
Po MacLachlanovi a Reidovi čtveřice algebra lze považovat za algebru generovány generátory jako asociativní algebra já, j a vztahy
s vhodnou volbou objednat.
Viz také
Reference
- Bolza, Oskar (1887), „O binární sextice s lineárními transformacemi do sebe“, American Journal of Mathematics, 10 (1): 47–70, doi:10.2307/2369402, JSTOR 2369402
- Katz, M .; Sabourau, S. (2006). Msgstr "Optimální systolická nerovnost pro metriky CAT (0) v rodu dva". Pacific J. Math. 227 (1): 95–107. arXiv:math.DG / 0501017. doi:10.2140 / pjm.2006.227.95.
- Schmutz, P. (1993). "Riemannovy povrchy s nejkratší geodetikou maximální délky". GAFA. 3 (6): 564–631. doi:10.1007 / BF01896258.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Aurich, R .; Bogomolny, E.B .; Steiner, F. (1991). "Periodické dráhy na pravidelném hyperbolickém osmiúhelníku". Physica D: Nelineární jevy. 48 (1): 91–101. Bibcode:1991PhyD ... 48 ... 91A. doi:10.1016 / 0167-2789 (91) 90053-C.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Cook, J. (2018). Vlastnosti vlastních čísel na Riemannově povrchu s velkými skupinami symetrie (Disertační práce, nepublikováno). Loughborough University.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Jenni, F. (1981). Über das Spektrum des Laplace-Operators auf einer Schar kompakter Riemannscher Flächen (Disertační práce). University of Basel. OCLC 45934169.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Strohmaier, A .; Uski, V. (2013). "Algoritmus pro výpočet vlastních čísel, spektrálních funkcí Zeta a Zeta-determinantů na hyperbolických plochách". Komunikace v matematické fyzice. 317 (3): 827–869. arXiv:1110.2150. Bibcode:2013CMaPh.317..827S. doi:10.1007 / s00220-012-1557-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Maclachlan, C .; Reid, A. (2003). Aritmetika hyperbolických 3-potrubí. Postgraduální texty v matematice. 219. New York: Springer. ISBN 0-387-98386-4.
- Charakteristický
- ^ Aurich, R .; Sieber, M .; Steiner, F. (1. srpna 1988). „Kvantový chaos modelu Hadamard – Gutzwiller“. Dopisy o fyzické kontrole. 61 (5): 483–487. Bibcode:1988PhRvL..61..483A. doi:10.1103 / PhysRevLett.61.483. PMID 10039347.
- ^ Strohmaier, Alexander (2017). Girouard, Alexandre (ed.). "Výpočet vlastních čísel, spektrálních funkcí zeta a zeta-determinantů na hyperbolických površích". Současná matematika. Montréal: Center de Recherches Mathématiques a Americká matematická společnost. 700: 194. doi:10.1090 / conm / 700.