Výstřednost (matematika) - Eccentricity (mathematics)

Všechny typy kuželových řezů, uspořádané se zvyšující se výstředností. Všimněte si, že zakřivení klesá s výstředností a že se žádná z těchto křivek neprotíná.

v matematika, excentricita a kuželovitý řez je nezáporné reálné číslo, které jedinečně charakterizuje jeho tvar.

Více formálně jsou dvě kuželovité sekce podobný kdyby a jen kdyby mají stejnou výstřednost.

Lze si představit výstřednost jako měřítko toho, jak moc se kónická část odchyluje od kruhové polohy. Zejména:

Výstřednost a kruh je nula.
Výstřednost elipsa což není kruh je větší než nula, ale menší než 1.
Výstřednost a parabola je 1.
Výstřednost a hyperbola je větší než 1.

Definice

rovinná část kužele

Libovolný kuželovitý řez lze definovat jako lokus bodů, jejichž vzdálenosti k bodu (ohnisko) a přímce (directrix) jsou v konstantním poměru. Tento poměr se nazývá výstřednost, běžně označovaný jako $E$ .

Excentricitu lze také definovat z hlediska průsečíku roviny a dvojitý kužel spojené s kuželovitou částí. Pokud je kužel orientován svisle svou osou, je výstřednost^[1]

{ displaystyle e = { frac { sin beta} { sin alpha}}, 0 < alpha <90 ^ { circ}, 0 leq beta leq 90 ^ { circ} ,}

kde β je úhel mezi rovinou a vodorovnou rovinou a α je úhel mezi šikmým generátorem kužele a vodorovnou rovinou. Pro ${ displaystyle beta = 0}$ rovinná část je kruh, pro ${ displaystyle beta = alfa}$ parabola. (Rovina nesmí splňovat vrchol kužele.)

The lineární výstřednost elipsy nebo hyperboly, označené $C$ (nebo někdy $F$ nebo $E$ ), je vzdálenost mezi jeho středem a jedním z jeho dvou ohniska. Excentricitu lze definovat jako poměr lineární excentricity k poloviční osa $A$ : to znamená, ${ displaystyle e = { frac {c} {a}}}$ (chybí-li střed, lineární výstřednost pro paraboly není definována).

Alternativní názvy

Excentricita se někdy nazývá první výstřednost odlišit od druhá výstřednost a třetí výstřednost definované pro elipsy (viz níže). Excentricita se také někdy nazývá numerická výstřednost.

V případě elips a hyperbolas se lineární výstřednost někdy nazývá napůl ohnisková separace.

Zápis

Běžně se používají tři notační konvence:

$E$ pro výstřednost a $C$ pro lineární excentricitu.
$ε$ pro výstřednost a $E$ pro lineární excentricitu.
$E$ nebo $ϵ <$ pro výstřednost a $F$ pro lineární výstřednost (mnemotechnická pomůcka proFoční separace).

Tento článek používá první notaci.

Hodnoty

Kuželovitý řez	Rovnice	Výstřednost ( $E$ )	Lineární výstřednost ( $C$ )
Kruh	${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
Elipsa	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ nebo ${ displaystyle { frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ kde ${ displaystyle a> b}$	${ displaystyle { sqrt {1 - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$
Parabola	${ displaystyle x ^ {2} = 4ay}$	${ displaystyle 1}$	–
Hyperbola	${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ nebo ${ displaystyle { frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} - { frac {x ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${ displaystyle { sqrt {1 + { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${ displaystyle { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$

Tady, pro elipsu a hyperbolu, $A$ je délka hlavní osy a $b$ je délka poloviční osy.

Když je kuželovitý řez uveden v obecné kvadratické formě

{ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}

následující vzorec udává výstřednost $E$ pokud kónická část není parabola (která má excentricitu rovnou 1), není a zdegenerovaná hyperbola nebo zdegenerovaná elipsa, a ne imaginární elipsa:^[2]

{ displaystyle e = { sqrt { frac {2 { sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} { eta (A + C) + { sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}}}

kde ${ displaystyle eta = 1}$ pokud určující matice 3 × 3

{ displaystyle { begin {bmatrix} A & B / 2 & D / 2 B / 2 & C & E / 2 D / 2 & E / 2 & F end {bmatrix}}}

je negativní nebo ${ displaystyle eta = -1}$ pokud je tento determinant pozitivní.

Elipsa a hyperbola s konstantou

A

a měnící se výstřednost

E

.

Elipsy

Výstřednost elipsa je přísně menší než 1. Když se kruhy (které mají výstřednost 0) počítají jako elipsy, výstřednost elipsy je větší nebo rovna 0; pokud kruhy dostanou speciální kategorii a jsou vyloučeny z kategorie elips, pak je výstřednost elipsy přísně větší než 0.

U jakékoli elipsy nechte $A$ být jeho délka poloviční hlavní osa a $b$ být jeho délka poloviční vedlejší osa.

Definujeme řadu souvisejících dalších konceptů (pouze pro elipsy):

název	Symbol	ve smyslu $A$ a $b$	ve smyslu $E$
První výstřednost	${ displaystyle e}$	${ displaystyle { sqrt {1 - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$	${ displaystyle e}$
Druhá výstřednost	${ displaystyle e '}$	${ displaystyle { sqrt {{ frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} - 1}}}$	${ displaystyle { frac {e} { sqrt {1-e ^ {2}}}}}$
Třetí výstřednost	${ displaystyle e '' = { sqrt {m}}}$	${ displaystyle { frac { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$	${ displaystyle { frac {e} { sqrt {2-e ^ {2}}}}}$
Úhlová výstřednost	${ displaystyle alpha}$	${ displaystyle cos ^ {- 1} doleva ({ frac {b} {a}} doprava)}$	${ displaystyle sin ^ {- 1} e}$

Další vzorce pro výstřednost elipsy

Excentricita elipsy je nejjednodušší poměr vzdálenosti $C$ mezi středem elipsy a každým zaostřením na délku poloviční osy $A$ .

{ displaystyle e = { frac {c} {a}}.}

Excentricita je také poměr osy semimajor $A$ do dálky $d$ z centra do directrix:

{ displaystyle e = { frac {a} {d}}.}

Výstřednost lze vyjádřit pomocí zploštění $F$ (definováno jako ${ displaystyle f = 1-b / a}$ pro poloviční osu $A$ a osa semiminoru $b$ ):

{ displaystyle e = { sqrt {f (2-f)}}.}

(Zploštění může být označeno $G$ v některých oblastech, pokud $F$ je lineární výstřednost.)

Definujte maximální a minimální poloměry ${ displaystyle r _ { text {max}}}$ a ${ displaystyle r _ { text {min}}}$ jako maximální a minimální vzdálenosti od jednoho ohniska k elipsě (tj. vzdálenosti od jednoho ohniska ke dvěma koncům hlavní osy). Pak se semimajorovou osou $A$ , je výstřednost dána

{ displaystyle e = { frac {r _ { text {max}} - r _ { text {min}}} {r _ { text {max}} + r _ { text {min}}}} = { frac {r _ { text {max}} - r _ { text {min}}} {2a}},}

což je vzdálenost mezi ohniskami dělená délkou hlavní osy.

Hyperboly

Výstřednost a hyperbola může být jakékoli reálné číslo větší než 1, bez horní meze. Výstřednost a obdélníková hyperbola je ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ .

Kvadrics

Elipsy, hyperboly se všemi možnými výstřednostmi od nuly do nekonečna a parabola na jedné kubické ploše.

Výstřednost trojrozměrného kvadrický je výstřednost určeného sekce toho. Například na triaxiálním elipsoidu je meridionální výstřednost je elipsa tvořená sekcí obsahující jak nejdelší, tak nejkratší osu (z nichž jedna bude polární osa) a rovníková výstřednost je excentricita elipsy tvořená řezem středem, kolmým k polární ose (tj. v rovníkové rovině). Ale: na plochách vyššího řádu se mohou objevit také kuželovité úseky (viz obrázek).

Nebeská mechanika

v nebeská mechanika, pro vázané dráhy ve sférickém potenciálu je výše uvedená definice neformálně zobecněna. Když apocentrum vzdálenost je blízko k pericentrum vzdálenost, oběžná dráha má nízkou výstřednost; když se velmi liší, oběžná dráha se říká excentrická nebo má excentricitu blízkou jednotě. Tato definice se shoduje s matematickou definicí excentricity pro elipsy, v Keplerian, tj. ${ displaystyle 1 / r}$ potenciály.

Analogické klasifikace

Řada klasifikací v matematice používá odvozenou terminologii z klasifikace kuželoseček podle excentricity:

Klasifikace prvků z SL₂(R) jako eliptické, parabolické a hyperbolické - a podobně pro klasifikace prvků PSL₂(R), skutečný Möbiovy transformace.
Klasifikace diskrétních distribucí podle poměr rozptylu k střední hodnotě; vidět kumulanty některých diskrétních rozdělení pravděpodobnosti pro detaily.
Klasifikace parciální diferenciální rovnice je analogicky s klasifikací kuželoseček; vidět eliptický, parabolický a hyperbolický parciální diferenciální rovnice.^[3]

Viz také

Reference

^ Thomas, George B .; Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (páté vydání), Addison-Wesley, str. 434. ISBN 0-201-07540-7
^ Ayoub, Ayoub B., "Výstřednost kuželovitého řezu", The College Mathematics Journal 34 (2), březen 2003, 116-121.
^ "Klasifikace lineárních PDE ve dvou nezávislých proměnných". Citováno 2. července 2013.

externí odkazy

MathWorld: Excentricita

[1] Thomas, George B .; Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (páté vydání), Addison-Wesley, str. 434. ISBN 0-201-07540-7

[2] Ayoub, Ayoub B., "Výstřednost kuželovitého řezu", The College Mathematics Journal 34 (2), březen 2003, 116-121.

[ornl.gov-3] "Klasifikace lineárních PDE ve dvou nezávislých proměnných". Citováno 2. července 2013.

[1]

[2]

[3]