Nagell – Lutzova věta - Nagell–Lutz theorem

v matematika, Nagell – Lutzova věta je výsledkem v diofantická geometrie z eliptické křivky, který popisuje Racionální kroucení body na eliptických křivkách nad celými čísly. Je pojmenován pro Trygve Nagell a Élisabeth Lutz.

Definice pojmů

Předpokládejme, že rovnice

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax ^ {2} + bx + c}$

definuje a ne singulární kubická křivka s celým číslem koeficienty A, b, Ca nechte D být diskriminující krychle polynomiální na pravé straně:

${ displaystyle D = -4a ^ {3} c + a ^ {2} b ^ {2} + 18abc-4b ^ {3} -27c ^ {2}.}$

Výrok věty

Li P = (X,y) je racionální bod konečný objednat na C, pro eliptická křivka skupinový zákon, pak:

• 1) X a y jsou celá čísla
• 2) buď y = 0, v takovém případě P má objednávku dva, nebo jinak y rozděluje D, což to okamžitě naznačuje y² rozděluje D.

Zobecnění

Nagell – Lutzova věta zobecňuje pole na libovolné číslo a obecnější kubické rovnice.^[1] U křivek nad racionály generalizace říká, že u nesingulární kubické křivky, jejíž Weierstrassova forma

${ displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}}$

má celočíselné koeficienty, jakýkoli racionální bod P=(X,y) konečného pořadí musí mít celočíselné souřadnice, jinak musí mít pořadí 2 a souřadnice formuláře X=m/4, y=n/ 8, pro m a n celá čísla.

Dějiny

Výsledek je pojmenován po dvou nezávislých objevitelích, Norovi Trygve Nagell (1895–1988), který ji publikoval v roce 1935, a Élisabeth Lutz (1937).

Viz také

• Mordell – Weilova věta

Reference

• Élisabeth Lutz (1937). „Sur l'équation y² = X³ − Sekera − B dans les corps str-adiques “. J. Reine Angew. Matematika. 177: 237–247.
• Joseph H. Silverman, John Tate (1994), „Racionální body na eliptických křivkách“, Springer, ISBN  0-387-97825-9.