Vzorec rodu - Genus–degree formula

V klasickém algebraická geometrie, rodový vzorec se týká stupně d neredukovatelné rovinné křivky ${displaystyle C}$ s jeho aritmetický rod G pomocí vzorce:

{displaystyle g = {frac {1} {2}} (d-1) (d-2).}

Zde „rovinová křivka“ znamená to ${displaystyle C}$ je uzavřená křivka v projektivní rovina ${displaystyle mathbb {P} ^ {2}}$ . Pokud křivka není singulární, pak geometrický rod a aritmetický rod jsou stejné, ale pokud je křivka singulární, pouze s obyčejnými singularitami, geometrický rod je menší. Přesněji řečeno, obyčejný jedinečnost multiplicity r snižuje rod o ${displaystyle {frac {1} {2}} r (r-1)}$ .^[1]

Důkaz

Důkaz vyplývá okamžitě z adjunkční vzorec.^{[je zapotřebí objasnění ]} Klasický důkaz najdete v knize Arbarello, Cornalba, Griffiths a Harris.

Zobecnění

Pro nesingulární nadpovrch ${displaystyle H}$ stupně d v projektivní prostor ${displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ z aritmetický rod G vzorec se stává:

{displaystyle g = {jině {d-1} {n}} ,,}

kde ${displaystyle {binom {d-1} {n}}}$ je binomický koeficient.

Poznámky

^ Semple, John Greenlees; Roth, Leonard. Úvod do algebraické geometrie (1985 ed.). Oxford University Press. 53–54. ISBN 0-19-853363-2. PAN 0814690.

Viz také

Thom dohad

Reference

Tento článek včlení materiál z Citizendium článek "Vzorec rodu ", který je licencován pod Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License ale ne pod GFDL.
Enrico Arbarello Maurizio Cornalba, Phillip Griffiths, Joe Harris. Geometrie algebraických křivek. svazek 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4, Příloha A.
Phillip Griffiths a Joe Harris Principy algebraické geometrie, Wiley, ISBN 0-471-05059-8, kapitola 2, část 1.
Robin Hartshorne (1977): Algebraická geometrieSpringer, ISBN 0-387-90244-9.
Kulikov, Viktor S. (2001) [1994], "Rod křivky", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[1] Semple, John Greenlees; Roth, Leonard. Úvod do algebraické geometrie (1985 ed.). Oxford University Press. 53–54. ISBN 0-19-853363-2. PAN 0814690.

[1]