Jacobiho eliptické funkce - Jacobi elliptic functions
v matematika, Jacobiho eliptické funkce jsou souborem základních eliptické funkce a pomocné theta funkce, které mají historický význam. Nacházejí se v popisu pohybu a kyvadlo (viz také kyvadlo (matematika) ), stejně jako v designu elektroniky eliptické filtry. Zatímco trigonometrické funkce jsou definovány s odkazem na kružnici, Jacobiho eliptické funkce jsou zobecněním, které odkazuje na jiné kuželovité úseky, zejména elipsa. Vztah k trigonometrickým funkcím je obsažen v zápisu, například odpovídajícím zápisem sn pro hřích. Jacobiho eliptické funkce se používají častěji v praktických problémech než Weierstrassovy eliptické funkce protože nevyžadují definování a / nebo pochopení pojmů komplexní analýzy. Byly představeny Carl Gustav Jakob Jacobi (1829 ).
Přehled

Existuje dvanáct Jacobiho eliptických funkcí označených pq (u, m), kde p a q jsou některá z písmen c, s, n a d. (Funkce tvaru pp (u, m) jsou kvůli notační úplnosti triviálně nastaveny na jednotu.) u je argument, a m je parametr, který může být komplexní.
Ve složité rovině argumentu u, dvanáct funkcí tvoří opakující se mřížku jednoduchých póly a nuly.[1] V závislosti na funkci bude mít jeden opakující se paralelogram nebo jednotková buňka strany délky 2K nebo 4K na skutečné ose a 2K 'nebo 4K' na imaginární ose, kde K = K (m) a K '= K ( 1-m) jsou známé jako čtvrtletí přičemž K (.) je eliptický integrál prvního druhu. Povahu jednotkové buňky lze určit kontrolou "pomocného obdélníku" (obvykle rovnoběžníku), což je obdélník tvořený počátkem (0,0) v jednom rohu a (K, K ') jako úhlopříčně protilehlý roh. Stejně jako v diagramu jsou čtyři rohy pomocného obdélníku pojmenovány s, c, d a n, které jdou od počátku proti směru hodinových ručiček. Funkce pq (u, m) bude mít nulu v rohu „p“ a pól v rohu „q“. Dvanáct funkcí odpovídá dvanácti způsobům uspořádání těchto pólů a nul v rozích obdélníku.
Když argument u a parametr m jsou skutečné, s 0 <m<1, K. a K ' bude skutečný a pomocný rovnoběžník bude ve skutečnosti obdélník a Jacobiho eliptické funkce budou všechny oceněny na reálné přímce.
Matematicky jsou Jacobian eliptické funkce dvojnásobně periodické meromorfní funkce na složité letadlo. Vzhledem k tomu, že jsou dvojnásobně periodické, přebírají faktor a torus - ve skutečnosti lze jejich doménu považovat za torus, stejně jako kosinus a sinus jsou ve skutečnosti definovány v kruhu. Místo toho, abychom měli pouze jeden kruh, máme nyní produkt dvou kruhů, jednoho skutečného a druhého imaginárního. Složitá rovina může být nahrazena a komplexní torus. Obvod prvního kruhu je 4K. a druhý 4K.′, Kde K. a K.′ Jsou čtvrtletí. Každá funkce má dvě nuly a dva póly na opačných pozicích na torusu. Mezi body 0, K., K. + iK′, iK′ je tam jeden nula a jeden pól.
Jacobské eliptické funkce jsou pak jedinečné dvojnásobně periodické, meromorfní funkce splňující následující tři vlastnosti:
- V rohu p je jednoduchá nula a v rohu q jednoduchý pól.
- Krok od p do q se rovná polovině periody funkce pqu; tj. funkce pqu je periodická ve směru pq, přičemž perioda je dvojnásobkem vzdálenosti od p do q. Funkce pqu je také periodický v ostatních dvou směrech, s periodou takovou, že vzdálenost od p do jednoho z ostatních rohů je čtvrtinová perioda.
- Pokud je funkce pqu je rozšířen z hlediska u v jednom z rohů má vedoucí člen expanze koeficient 1. Jinými slovy, vedoucí člen expanze pqu v rohu p je u; hlavní termín expanze v rohu q je 1 /ua vedoucí člen expanze v ostatních dvou rozích je 1.




Zápis
Eliptické funkce mohou být uvedeny v různých notacích, což může předmět zbytečně zmást. Eliptické funkce jsou funkce dvou proměnných. První proměnná může být uvedena z hlediska amplituda φ, nebo častěji, pokud jde o u uvedeny níže. Druhá proměnná může být uvedena z hlediska parametr m, nebo jako eliptický modul k, kde k2 = m, nebo ve smyslu modulární úhel α, kde m = hřích2 α. Doplňky k a m jsou definovány jako m ' = 1 m a . Tyto čtyři termíny jsou použity níže bez komentáře ke zjednodušení různých výrazů.
Dvanáct Jacobiho eliptických funkcí je obecně psáno jako pq (u, m) kde „p“ a „q“ jsou některá z písmen „c“, „s“, „n“ a „d“. Funkce formuláře pp (u, m) jsou triviálně nastaveny na jednotu pro úplnost zápisu. „Hlavní“ funkce se obecně považují za cn (u, m), sn (u, m) a dn (u, m) ze kterých lze odvodit všechny ostatní funkce a výrazy se často zapisují pouze z hlediska těchto tří funkcí, avšak různé symetrie a zobecnění se často nejpohodlněji vyjadřují pomocí celé sady. (Tento zápis je způsoben Gudermann a Glaisher a není Jacobiho původní notací.)
Parametr
Funkce jsou notačně vzájemně propojeny pravidlem násobení: (argumenty potlačeny)
ze kterých lze odvodit další běžně používané vztahy:
Pravidlo násobení vyplývá okamžitě z identifikace eliptických funkcí s Funkce Neville theta[3]
Definice jako inverze eliptických integrálů

Výše uvedená definice, pokud jde o jedinečné meromorfní funkce splňující určité vlastnosti, je zcela abstraktní. Existuje jednodušší, ale zcela ekvivalentní definice, která dává eliptické funkce jako inverze neúplných eliptický integrál prvního druhu. Nechat
Pak eliptický sinus snu (Latinský: sinus amplitudinis) darováno
a eliptický kosinus cnu (Latinský: cosinus amplitudinis) darováno
a amplituda delta dnu (Latinský: delta amplitudinis)
Tady úhel se nazývá amplituda. Příležitost, dnu = Δ (u) se nazývá amplituda delta. Ve výše uvedeném případě hodnota m je volný parametr, obvykle považovaný za skutečný, 0 ≤m ≤ 1, a tak lze eliptické funkce považovat za dané dvěma proměnnými, amplitudou a parametrm.
Zbývajících devět eliptických funkcí lze snadno sestavit z výše uvedených tří a jsou uvedeny v části níže.
Všimněte si, že když , že u pak se rovná čtvrtletní období K..
Definice jako trigonometrie: Jacobiho elipsa

jsou definovány na jednotkové kružnici s poloměrem r = 1 a úhel délka oblouku jednotkové kružnice měřená od kladného X-osa. Podobně jsou eliptické funkce Jacobi definovány na jednotkové elipsě[Citace je zapotřebí ], s A = 1. Nechť
pak:
Pro každý úhel parametr
je vypočítán. Na kruhu jednotky (), by byla délka oblouku nenese přímou geometrickou interpretaci v eliptickém případě, ukázalo se, že je to parametr, který vstupuje do definice eliptických funkcí. být bodem na elipsě a nechat je bod, ve kterém jednotková kružnice protíná čáru mezi a původ Potom známé vztahy z kruhu jednotek:
číst pro elipsu:
Takže projekce průsečíku linky s jednotkovým kruhem na X- a y-axy jsou jednoduše a . Tyto projekce lze interpretovat jako „definici jako trigonometrii“. Ve zkratce:
Pro a hodnota bodu s a parametr po vložení vztahu dostaneme:
do: že:
Druhé vztahy pro X- a y- souřadnice bodů na jednotkové elipsě lze považovat za zobecnění vztahů pro souřadnice bodů na jednotkové kružnici.
Následující tabulka shrnuje výrazy pro všechny Jacobiho eliptické funkce pq (u, m) v proměnných (X,y,r) a (φ, dn) s
q | |||||
---|---|---|---|---|---|
C | s | n | d | ||
str | |||||
C | 1 | ||||
s | 1 | ||||
n | 1 | ||||
d | 1 |
Definice z hlediska funkcí Jacobi theta
Ekvivalentně lze Jacobiho eliptické funkce definovat z hlediska jeho theta funkce. Pokud to zkrátíme tak jako , a respektive jako (dále jen konstanty theta) pak eliptický modul k je . Pokud jsme nastavili , my máme
Protože Jacobiho funkce jsou definovány z hlediska eliptického modulu , musíme to obrátit a najít ve smyslu . Vycházíme z , doplňkový modul. Jako funkce to je
Pojďme nejprve definovat
Poté definujte ne já tak jako a rozšířit jako výkonová řada v domě , získáváme
Obrácení série nyní dává
Protože se můžeme omezit na případ, kdy imaginární část je větší nebo rovno , můžeme předpokládat absolutní hodnotu je menší nebo rovno ; pro hodnoty této malé výše uvedené řady konvergují velmi rychle a snadno nám umožňují najít vhodnou hodnotu pro .
Definice z hlediska funkcí Neville theta
Jacobiho eliptické funkce lze definovat velmi jednoduše pomocí Funkce Neville theta:[4]
Zjednodušení komplikovaných produktů Jacobiho eliptických funkcí se pomocí těchto identit často usnadňuje.
Jacobiho transformace
Jacobiho imaginární transformace

Jacobiho imaginární transformace se týkají různých funkcí imaginární proměnné já u nebo rovnocenně vztahy mezi různými hodnotami m parametr. Pokud jde o hlavní funkce:[5]:506
Pomocí pravidla násobení mohou být všechny ostatní funkce vyjádřeny z hlediska výše uvedených tří. Transformace lze obecně psát jako . Následující tabulka uvádí pro zadaný pq (u, m).[4] (Argumenty jsou potlačeny)
Jacobi Imaginární transformace q C s n d str C 1 já jsem nc nd s -i sn 1 -i sc -i sd n cn já cs 1 CD d dn já ds DC 1
Protože hyperbolické trigonometrické funkce jsou úměrné kruhovým trigonometrickým funkcím s imaginárními argumenty, z toho vyplývá, že Jacobiho funkce přinesou hyperbolické funkce pro m = 1.[3]:249 Na obrázku se Jacobiho křivka zvrhla na dvě svislé čáry v X= 1 a X=-1.
Jacobiho skutečné transformace
Jacobiho skutečné transformace[3]:308 výtěžkové výrazy pro eliptické funkce ve smyslu alternativních hodnot m. Transformace lze obecně psát jako . Následující tabulka uvádí pro zadaný pq (u, m).[4] (Argumenty jsou potlačeny)
Jacobi Real transformace q C s n d str C 1 ds dn DC s sd 1 sn sc n nd ns 1 nc d CD cs cn 1
Další Jacobi transformace
Jacobiho skutečné a imaginární transformace lze kombinovat různými způsoby a získat tak další tři jednoduché transformace.[3]:214 Skutečné a imaginární transformace jsou dvě transformace ve skupině (D3 nebo Anharmonická skupina ) šesti transformací. Li
je transformace pro m parametr ve skutečné transformaci a
je transformace m v imaginární transformaci mohou být další transformace vytvořeny postupným použitím těchto dvou základních transformací, čímž se získají pouze tři další možnosti:
Těchto pět transformací spolu s transformací identity (μU(m) = m) získá skupinu 6 prvků. S ohledem na Jacobiho eliptické funkce lze obecnou transformaci vyjádřit pomocí pouhých tří funkcí:
kde i = U, I, IR, R, RI nebo RIR, identifikace transformace, γi je multiplikační faktor společný těmto třem funkcím a prvočíslo označuje transformovanou funkci. Z výše uvedených tří lze sestavit dalších devět transformovaných funkcí. Důvodem, proč byly funkce cs, ns, ds vybrány k reprezentaci transformace, je to, že ostatní funkce budou poměry těchto tří (s výjimkou jejich inverzí) a multiplikační faktory se zruší.
V následující tabulce jsou uvedeny multiplikační faktory pro tři ps funkce, transformované m a názvy transformovaných funkcí pro každou ze šesti transformací.[3]:214 (Jako obvykle, k2= m, 1-k2= k12= m 'a argumenty () jsou potlačeny)
Parametry pro šest transformací Transformace i cs ' ns ' ds ' U 1 m cs ns ds Já i m ' ns cs ds IR já k -m '/ m ds cs ns R k 1 / m ds ns cs RI já k1 1 / m ' ns ds cs RIR k1 -m / m ' cs ds ns
Tak například můžeme sestavit následující tabulku pro transformaci RIR.[4] Transformace je obvykle psána (Argumenty jsou potlačeny)
Transformace RIR q C s n d str C 1 k 'cs CD cn s sc 1 sd sn n DC ds 1 dn d nc ns nd 1
Hodnota Jacobiho transformací spočívá v tom, že libovolná sada Jacobiho eliptických funkcí s jakýmkoli parametrem s komplexní hodnotou m lze převést na jinou sadu, pro kterou 0 <=m<= 1 a pro skutečné hodnoty u, hodnoty funkcí budou skutečné.[3]:str. 215
Jacobova hyperbola

Představujeme komplexní čísla, naše elipsa má přidruženou hyperbolu:
z použití Jacobiho imaginární transformace[4] k eliptickým funkcím ve výše uvedené rovnici pro X ay.
Z toho vyplývá, že můžeme dát . Naše elipsa má tedy duální elipsu s m nahrazeným 1-m. To vede ke složitému torusu uvedenému v úvodu.[6] Obecně m může být komplexní číslo, ale když m je reálné a m <0, křivka je elipsa s hlavní osou ve směru x. Při m = 0 je křivka kruh a pro 0
Drobné funkce
Obrácení pořadí dvou písmen názvu funkce vede k převrácení tří výše uvedených funkcí:
Podobně poměry tří primárních funkcí odpovídají prvnímu písmenu čitatele následovanému prvním písmenem jmenovatele:
Kompaktněji máme
kde p a q jsou některá z písmen s, c, d.
Periodicita, póly a zbytky

Ve složité rovině argumentu uJacobiho eliptické funkce tvoří opakující se vzorec pólů (a nul). Všechny zbytky pólů mají stejnou amplitudu, liší se pouze znaménkem. Každá funkce pq (u, m) má inverzní funkci qp (u, m), ve které se vyměňují polohy pólů a nul. Období opakování se obecně liší v reálném a imaginárním směru, proto je k jejich popisu používá termín „dvojnásobně periodický“.
Dvojitou periodicitu Jacobiho eliptických funkcí lze vyjádřit jako:
kde α a β jsou libovolná dvojice celých čísel. K (.) Je úplný eliptický integrál prvního druhu, známý také jako čtvrtletní období. Síla záporné jednoty (γ) je uvedena v následující tabulce:
q C s n d str C 0 β α + β α s β 0 α α + β n α + β α 0 β d α α + β β 0
Když je faktor (-1)y je rovno -1, rovnice vyjadřuje kvazi-periodicitu. Když se rovná jednotě, vyjadřuje plnou periodicitu. Je například vidět, že pro položky obsahující pouze α, když je sudé, je úplná periodicita vyjádřena výše uvedenou rovnicí a funkce má plné periody 4K (m) a 2iK (1-m). Podobně funkce s položkami obsahujícími pouze β mají plné periody 2K (m) a 4iK (1-m), zatímco funkce s α + β mají plné periody 4K (m) a 4iK (1-m).
V diagramu vpravo, který zobrazuje jednu opakující se jednotku pro každou funkci, označující fázi spolu s umístěním pólů a nul, lze zaznamenat řadu pravidelností: Inverzní funkce je naproti úhlopříčce a má stejnou velikost jednotková buňka, s výměnou pólů a nul. Uspořádání pólu a nuly v pomocném obdélníku tvořeném (0,0), (K, 0), (0, K ') a (K, K') jsou v souladu s popisem umístění pólu a nuly popsaným v úvod výše. Velikost bílých oválů označujících póly je také hrubým měřítkem amplitudy zbytku pro tento pól. Zbytky pólů nejblíže počátku na obrázku (tj. V pomocném obdélníku) jsou uvedeny v následující tabulce:
Zbytky eliptických funkcí Jacobi q C s n d str C 1 s n 1 d -1 1
Pokud je to možné, póly posunuté výše o 2K nebo posunuté doprava o 2K 'mají stejnou hodnotu, ale se značkami obrácenými, zatímco ty, které jsou úhlopříčně proti sobě, mají stejnou hodnotu. Všimněte si, že póly a nuly na levém a dolním okraji jsou považovány za součást jednotkové buňky, zatímco ty na horním a pravém okraji nejsou.
Vztahy mezi druhou mocninou funkcí
Vztahy mezi druhou mocninou funkcí lze odvodit ze dvou základních vztahů (Argumenty (u,m) potlačeno):
kde m + m '= 1 a m = k2. Vynásobením jakoukoli funkcí formuláře nq získá obecnější rovnice:
S q=d, odpovídají trigonometricky rovnicím pro jednotkovou kružnici () a elipsa jednotky (), s x = cd, y = sd a r = nd. Pomocí pravidla násobení lze odvodit další vztahy. Například:
Věty o sčítání
Funkce uspokojí dva čtvercové vztahy
Z toho vidíme, že (cn, sn, dn) parametrizuje an eliptická křivka což je průsečík těchto dvou kvadrics definovaný výše uvedenými dvěma rovnicemi. Nyní můžeme definovat zákon skupiny pro body na této křivce přidáním vzorců pro Jacobiho funkce[1]
Vzorec dvojitého úhlu lze snadno odvodit z výše uvedených rovnic nastavením X=y.[1] Poloviční úhlové vzorce[4][1] jsou všechny formy:
kde:
Rozšíření z hlediska názvu
Nech ne já být a nechť je argument . Pak mají funkce rozšíření jako Lambertova řada
Jacobiho eliptické funkce jako řešení nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic
The deriváty ze tří základních Jacobiho eliptických funkcí jsou:
Ty lze použít k odvození derivátů všech ostatních funkcí, jak je znázorněno v tabulce níže (argumenty (u, m) potlačeny):
q | |||||
---|---|---|---|---|---|
C | s | n | d | ||
str | |||||
C | 0 | -ds ns | -dn sn | -m'dd sd | |
s | dc nc | 0 | cn dn | cd nd | |
n | dc sc | -cs ds | 0 | m cd sd | |
d | m 'nc sc | -cs ns | -m cn sn | 0 |
S výše uvedené věty o sčítání a za dané k s 0 <k <1 hlavními funkcemi jsou proto řešení následujících nelineárních obyčejné diferenciální rovnice:
- řeší diferenciální rovnice
- a
- řeší diferenciální rovnice
- a
- řeší diferenciální rovnice
- a
Aproximace z hlediska hyperbolických funkcí
Jacobiho eliptické funkce lze rozšířit, pokud jde o hyperbolické funkce. Když je blízko k jednotě, takové a vyšší pravomoci lze zanedbávat, máme:
- sn (u):
- cn (u):
- dn (u):
- dopoledne(u):
Inverzní funkce
Inverze Jacobiho eliptických funkcí lze definovat podobně jako inverzní trigonometrické funkce; -li , . Mohou být reprezentovány jako eliptické integrály,[7][8][9] a byly nalezeny reprezentace výkonových řad.[10][1]
Projekce mapy
The Peirceova quincuncial projekce je mapová projekce na základě Jacobských eliptických funkcí.
Viz také
- Eliptická křivka
- Schwarz – Christoffel mapování
- Carlsonova symetrická forma
- Funkce Jacobi theta
- Funkce Ramanujan theta
- Dixonovy eliptické funkce
- Abel eliptické funkce
- Weierstrassovy eliptické funkce
Poznámky
- ^ A b C d E Olver, F. W. J .; et al., eds. (2017-12-22). „Digitální knihovna NIST matematických funkcí (vydání 1.0.17)“. Národní institut pro standardy a technologie. Citováno 2018-02-26.
- ^ http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
- ^ A b C d E F Neville, Eric Harold (1944). Jacobské eliptické funkce. Oxford: Oxford University Press.
- ^ A b C d E F "Úvod do Jacobiho eliptických funkcí". Web Wolfram Functions. Wolfram Research, Inc. 2018. Citováno 7. ledna 2018.
- ^ Whittaker, E.T.; Watson, G.N. (1940). Kurz moderní analýzy. New York, USA: The MacMillan Co. ISBN 978-0-521-58807-2.
- ^ https://paramanands.blogspot.co.uk/2011/01/elliptic-functions-complex-variables.html#.WlHhTbp2t9A
- ^ Reinhardt, W. P .; Walker, P. L. (2010), „§22.15 inverzní funkce“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
- ^ Ehrhardt, Wolfgang. „Speciální funkce AMath a DAMath: Referenční příručka a poznámky k implementaci“ (PDF). p. 42. Archivovány od originál (PDF) dne 31. července 2016. Citováno 17. července 2013.
- ^ Byrd, P.F .; Friedman, M.D. (1971). Příručka eliptických integrálů pro inženýry a vědce (2. vyd.). Berlín: Springer-Verlag.
- ^ Carlson, B. C. (2008). "Silová řada pro inverzní Jacobské eliptické funkce" (PDF). Matematika výpočtu. 77 (263): 1615–1621. doi:10.1090 / s0025-5718-07-02049-2. Citováno 17. července 2013.
Reference
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 16“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 569. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253.
- N. I. Akhiezer, Základy teorie eliptických funkcí (1970) Moskva, přeloženo do angličtiny jako AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
- A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)
- Alfred George Greenhill The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892)
- H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910)
- Jacobi, C. G. J. (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (in Latin), Königsberg, ISBN 978-1-108-05200-9, Reprinted by Cambridge University Press 2012
- Reinhardt, William P .; Walker, Peter L. (2010), "Jacobian Elliptic Functions", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
- (francouzsky) P. Appell and E. Lacour Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications (Paris, Gauthier Villars, 1897)
- (francouzsky) G. H. Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (vol. 1) (Paris, Gauthier-Villars, 1886–1891)
- (francouzsky) G. H. Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (vol. 2) (Paris, Gauthier-Villars, 1886–1891)
- (francouzsky) G. H. Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications (vol. 3) (Paris, Gauthier-Villars, 1886–1891)
- (francouzsky) J. Tannery a J. Molk Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Tome I, Úvod. Calcul différentiel. Jsem partie (Paris : Gauthier-Villars et fils, 1893)
- (francouzsky) J. Tannery a J. Molk Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Tome II, Calcul différentiel. IIe partie (Paris : Gauthier-Villars et fils, 1893)
- (francouzsky) J. Tannery a J. Molk Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Tome III, Calcul intégral. Jsem partie, Théorèmes généraux. Inverze (Paris : Gauthier-Villars et fils, 1893)
- (francouzsky) J. Tannery a J. Molk Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Tome IV, Calcul intégral. IIe partie, Aplikace (Paris : Gauthier-Villars et fils, 1893)
- (francouzsky) C. Briot and J. C. Bouquet Théorie des fonctions elliptiques ( Paris : Gauthier-Villars, 1875)
externí odkazy
- "Jacobi elliptic functions", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Jacobi Elliptic Functions". MathWorld.
- Elliptic Functions and Elliptic Integrals na Youtube, lecture by William A. Schwalm (4 hours)