Polární křivka - Polar curve

The eliptická křivka E : 4Y²Z =X³ − XZ² modře a jeho polární křivka (E) : 4Y² = 2.7X² − 2XZ - 0,9 Z² pro věc Q = (0,9, 0) červeně. Černé čáry ukazují tečny k E v průsečících E a jeho první polární s ohledem na Q setkání v Q.

v algebraická geometrie, první polárnínebo jednoduše polární z algebraická rovinná křivka C stupně n s ohledem na bod Q je algebraická křivka stupně n−1, který obsahuje každý bod C jehož tečna prochází Q. Používá se ke zkoumání vztahu mezi křivkou a její dvojí, například při odvození Plückerovy vzorce.

Definice

Nechat C být definován v homogenní souřadnice podle F(x, y, z) = 0 kde F je homogenní polynom stupně na necháme homogenní souřadnice Q být (A, b, C). Definujte operátora

${displaystyle Delta _ {Q} = a {částečné přes částečné x} + b {částečné přes částečné y} + c {částečné přes částečné z}.}$

Pak Δ_QF je homogenní polynom stupně n−1 a Δ_QF(x, y, z) = 0 definuje křivku stupně n−1 volal první polární z C s ohledem na Q.

Li P=(p, q, r) je ne-singulární bod na křivce C pak rovnice tečny v P je

${displaystyle x {parciální f nad parciální x} (p, q, r) + y {parciální f nad parciální y} (p, q, r) + z {parciální f nad parciální z} (p, q, r) = 0.}$

Zejména, P je na křižovatce C a jeho první polární s ohledem na Q kdyby a jen kdyby Q je na tečně k C na P. Za dvojnásobný bod C, dílčí deriváty F jsou všechny 0, takže první polární obsahuje i tyto body.

Třída křivky

The třída z C lze definovat jako počet tečen, ke kterým lze přitáhnout C od bodu ne C (počítání multiplicit a včetně imaginárních tečen). Každá z těchto tečen se dotýká C v jednom z průsečíků C a první polární a tím Bézoutova věta je jich nanejvýš n(n-1) z nich. To dává horní hranici n(n−1) na třídě křivky stupňů n. Třídu lze vypočítat přesně spočítáním počtu a typu singulárních bodů C (vidět Plückerův vzorec ).

Vyšší poláry

The p-tý polární a C pro přirozené číslo p je definována jako Δ_Q^pF(x, y, z) = 0. Toto je křivka stupně n−p. Když p je n-1 p-th polární je čára zvaná polární čára z C s ohledem na Q. Podobně, když p je n−2 křivka se nazývá polární kónická z C.

Použitím Taylor série v několika proměnných a využití homogenity, F(λA+ μp, λb+ μq, λC+ μr) lze rozšířit dvěma způsoby jako

${displaystyle mu ^ {n} f (p, q, r) + lambda mu ^ {n-1} Delta _ {Q} f (p, q, r) + {frac {1} {2}} lambda ^ { 2} mu ^ {n-2} Delta _ {Q} ^ {2} f (p, q, r) + tečky}$

a

${displaystyle lambda ^ {n} f (a, b, c) + mu lambda ^ {n-1} Delta _ {P} f (a, b, c) + {frac {1} {2}} mu ^ { 2} lambda ^ {n-2} Delta _ {P} ^ {2} f (a, b, c) + tečky.}$

Porovnávací koeficienty λ^pμ^n−p ukázat to

${displaystyle {frac {1} {p!}} Delta _ {Q} ^ {p} f (p, q, r) = {frac {1} {(np)!}} Delta _ {P} ^ {np } f (a, b, c).}$

Zejména p-th polární z C s ohledem na Q je místo bodů P aby (n−p) -th polární z C s ohledem na P prochází Q.^[1]

Poláci

Pokud je polární čára C s ohledem na bod Q je čára L, pak Q se říká, že je pól z L. Daný řádek má (n−1)² póly (počítání multiplicit atd.) kde n je stupeň C. Chcete-li to vidět, vyberte dva body P a Q na L. Místo bodů, jehož polární čáry procházejí P je první polární z P a to je křivka stupně n−1. Podobně i lokus bodů, jejichž polární čáry procházejí Q je první polární z Q a to je také křivka stupně n−1. Polární čára bodu je L právě když obsahuje obojí P a Q, takže póly L jsou přesně průsečíky dvou prvních pólů. Podle Bézoutovy věty mají tyto křivky (n−1)² průsečíky a to jsou póly L.^[2]

Hessian

Pro daný bod Q=(A, b, C), polární kónická je lokus bodů P aby Q je na druhém pólu P. Jinými slovy, rovnice polárního kužele je

${displaystyle Delta _ {(x, y, z)} ^ {2} f (a, b, c) = x ^ {2} {částečné ^ {2} f nad částečným x ^ {2}} (a, b , c) + 2xy {částečné ^ {2} f přes částečné xčásteční y} (a, b, c) + tečky = 0.}$

Kužel je zdegenerovaný právě tehdy, je-li determinantem Hesián z F,

${displaystyle H (f) = {egin {bmatrix} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}}} & {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x, částečné y}} & {frac {částečné ^ {2} f} {částečné x, částečné z}} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné y, částečné x}} & {frac {částečné ^ {2} f} {částečné y ^ {2}}} & {frac {částečné ^ {2} f} {částečné y, částečné z}} {frac {částečné ^ {2} f} {částečné z, částečné x}} & { frac {částečné ^ {2} f} {částečné z, částečné y}} & {frac {částečné ^ {2} f} {částečné z ^ {2}}} konec {bmatrix}},}$

zmizí. Proto rovnice |H(F) | = 0 definuje křivku, lokus bodů, jejichž polární kuželosečky jsou zdegenerované, stupně 3 (n−2) volal Hessianova křivka z C.

Viz také

• Polární hyperplocha
• Polární a polární

Reference

• Basset, Alfred Barnard (1901). Základní pojednání o kubických a kvartických křivkách. Deighton Bell & Co., str. 16 a více.
• Losos, Georgi (1879). Vyšší rovinné křivky. Hodges, Foster a Figgis. str. 49 a násl.
• Oddíl 1.2 Fulton, Úvod do teorie průniku v algebraické geometriiCBMS, AMS, 1984.
• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Polární", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Hessian (algebraická křivka)", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS