Carlsonova symetrická forma - Carlson symmetric form - Wikipedia

v matematika, Carlsonovy symetrické tvary eliptické integrály jsou malá kanonická sada eliptických integrálů, na které mohou být redukovány všechny ostatní. Jsou moderní alternativou k Legendární formy. Formuláře Legendre mohou být vyjádřeny formou Carlson a naopak.

Eliptické integrály Carlson jsou:

${ displaystyle R_ {F} (x, y, z) = { tfrac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {dt} { sqrt {(t + x ) (t + y) (t + z)}}}}$

${ displaystyle R_ {J} (x, y, z, p) = { tfrac {3} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {dt} {(t + p) { sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}$

${ displaystyle R_ {C} (x, y) = R_ {F} (x, y, y) = { tfrac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac { dt} {(t + y) { sqrt {(t + x)}}}}}$

${ displaystyle R_ {D} (x, y, z) = R_ {J} (x, y, z, z) = { tfrac {3} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {dt} {(t + z) , { sqrt {(t + x) (t + y) (t + z)}}}}}$

Od té doby ${ displaystyle scriptstyle {R_ {C}}}$ a ${ displaystyle scriptstyle {R_ {D}}}$ jsou speciální případy ${ displaystyle scriptstyle {R_ {F}}}$ a ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J}}}$, všechny eliptické integrály lze nakonec vyhodnotit z hlediska spravedlnosti ${ displaystyle scriptstyle {R_ {F}}}$ a ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J}}}$.

Termín symetrický odkazuje na skutečnost, že na rozdíl od forem Legendre se tyto funkce nezmění výměnou určitých jejich argumentů. Hodnota ${ displaystyle scriptstyle {R_ {F} (x, y, z)}}$ je stejný pro jakoukoli permutaci jeho argumentů a hodnotu ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J} (x, y, z, p)}}$ je stejný pro jakoukoli obměnu jeho prvních tří argumentů.

Eliptické integrály Carlson jsou pojmenovány po Bille C. Carlsonovi.

Vztah k legendárním formám

Neúplné eliptické integrály

Neúplný eliptické integrály lze snadno vypočítat pomocí symetrických tvarů Carlson:

${ displaystyle F ( phi, k) = sin phi R_ {F} vlevo ( cos ^ {2} phi, 1-k ^ {2} sin ^ {2} phi, 1 vpravo )}$

${ displaystyle E ( phi, k) = sin phi R_ {F} vlevo ( cos ^ {2} phi, 1-k ^ {2} sin ^ {2} phi, 1 vpravo ) - { tfrac {1} {3}} k ^ {2} sin ^ {3} phi R_ {D} left ( cos ^ {2} phi, 1-k ^ {2} sin ^ {2} phi, 1 vpravo)}$

${ displaystyle Pi ( phi, n, k) = sin phi R_ {F} vlevo ( cos ^ {2} phi, 1-k ^ {2} sin ^ {2} phi, 1 right) + { tfrac {1} {3}} n sin ^ {3} phi R_ {J} left ( cos ^ {2} phi, 1-k ^ {2} sin ^ {2} phi, 1,1-n sin ^ {2} phi right)}$

(Poznámka: výše uvedené platí pouze pro ${ displaystyle 0 leq phi leq 2 pi}$ a ${ displaystyle 0 leq k ^ {2} sin ^ {2} phi leq 1}$)

Kompletní eliptické integrály

Kompletní eliptické integrály lze vypočítat dosazením φ =¹⁄₂π:

${ displaystyle K (k) = R_ {F} vlevo (0,1-k ^ {2}, 1 vpravo)}$

${ displaystyle E (k) = R_ {F} vlevo (0,1-k ^ {2}, 1 vpravo) - { tfrac {1} {3}} k ^ {2} R_ {D} vlevo (0,1-k ^ {2}, 1 vpravo)}$

${ displaystyle Pi (n, k) = R_ {F} vlevo (0,1-k ^ {2}, 1 vpravo) + { tfrac {1} {3}} nR_ {J} vlevo ( 0,1-k ^ {2}, 1,1-n vpravo)}$

Speciální případy

Když jsou dva nebo všechny tři argumenty ${ displaystyle R_ {F}}$ jsou stejné, pak nahrazení ${ displaystyle { sqrt {t + x}} = u}$ vykreslí integrand racionální. Integrál lze potom vyjádřit pomocí elementárních transcendentálních funkcí.

${ displaystyle R_ {C} (x, y) = R_ {F} (x, y, y) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac { 1} {{ sqrt {t + x}} (t + y)}} dt = int _ { sqrt {x}} ^ { infty} { frac {1} {u ^ {2} -x + y}} du = { begin {cases} { frac { arccos { sqrt { frac {x} {y}}}} { sqrt {yx}}}, & x y end {cases}}}$

Podobně, když alespoň dva z prvních tří argumentů ${ displaystyle R_ {J}}$ jsou stejní,

${ displaystyle R_ {J} (x, y, y, p) = 3 int _ { sqrt {x}} ^ { infty} { frac {1} {(u ^ {2} -x + y ) (u ^ {2} -x + p)}} du = { begin {cases} { frac {3} {py}} (R_ {C} (x, y) -R_ {C} (x, p)), & y neq p { frac {3} {2 (yx)}} left (R_ {C} (x, y) - { frac {1} {y}} { sqrt { x}} right), & y = p neq x { frac {1} {y ^ { frac {3} {2}}}}, & y = p = x end {cases}} }$

Vlastnosti

Stejnorodost

Nahrazením integrálních definic ${ displaystyle t = kappa u}$ pro jakoukoli konstantu ${ displaystyle kappa}$, je zjištěno, že

${ displaystyle R_ {F} vlevo ( kappa x, kappa y, kappa z doprava) = kappa ^ {- 1/2} R_ {F} (x, y, z)}$

${ Displaystyle R_ {J} doleva ( kappa x, kappa y, kappa z, kappa p doprava) = kappa ^ {- 3/2} R_ {J} (x, y, z, p )}$

Věta o duplikaci

${ displaystyle R_ {F} (x, y, z) = 2R_ {F} (x + lambda, y + lambda, z + lambda) = R_ {F} doleva ({ frac {x + lambda} {4 }}, { frac {y + lambda} {4}}, { frac {z + lambda} {4}} vpravo),}$

kde ${ displaystyle lambda = { sqrt {x}} { sqrt {y}} + { sqrt {y}} { sqrt {z}} + { sqrt {z}} { sqrt {x}} }$.

${ displaystyle { begin {seřazeno} R_ {J} (x, y, z, p) & = 2R_ {J} (x + lambda, y + lambda, z + lambda, p + lambda) + 6R_ {C} (d ^ {2}, d ^ {2} + (px) (py) (pz)) & = { frac {1} {4}} R_ {J} left ({ frac {x + lambda} {4}}, { frac {y + lambda} {4}}, { frac {z + lambda} {4}}, { frac {p + lambda} {4}} vpravo) + 6R_ {C} (d ^ {2}, d ^ {2} + (px) (py) (pz)) end {zarovnáno}}}$^[1]

kde ${ displaystyle d = ({ sqrt {p}} + { sqrt {x}}) ({ sqrt {p}} + { sqrt {y}}) ({ sqrt {p}} + { sqrt {z}})}$ a ${ displaystyle lambda = { sqrt {x}} { sqrt {y}} + { sqrt {y}} { sqrt {z}} + { sqrt {z}} { sqrt {x}} }$

Rozšíření série

Při získávání a Taylor série expanze pro ${ displaystyle scriptstyle {R_ {F}}}$ nebo ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J}}}$ osvědčilo se rozšířit o průměrnou hodnotu několika argumentů. Tak pro ${ displaystyle scriptstyle {R_ {F}}}$, necháme střední hodnotu argumentů ${ displaystyle scriptstyle {A = (x + y + z) / 3}}$a pomocí homogenity definujte ${ displaystyle scriptstyle { Delta x}}$, ${ displaystyle scriptstyle { Delta y}}$ a ${ displaystyle scriptstyle { Delta z}}$ podle

${ displaystyle { begin {zarovnáno} R_ {F} (x, y, z) & = R_ {F} (A (1- Delta x), A (1- Delta y), A (1- Delta z)) & = { frac {1} { sqrt {A}}} R_ {F} (1- Delta x, 1- Delta y, 1- Delta z) end {zarovnáno} }}$

to je ${ displaystyle scriptstyle { Delta x = 1-x / A}}$ atd. Rozdíly ${ displaystyle scriptstyle { Delta x}}$, ${ displaystyle scriptstyle { Delta y}}$ a ${ displaystyle scriptstyle { Delta z}}$ jsou definovány tímto znamením (takovým, že jsou odečteno), aby byl v souladu s dokumenty společnosti Carlson. Od té doby ${ displaystyle scriptstyle {R_ {F} (x, y, z)}}$ je symetrický pod permutací ${ displaystyle scriptstyle {x}}$, ${ displaystyle scriptstyle {y}}$ a ${ displaystyle scriptstyle {z}}$, je také symetrický v množstvích ${ displaystyle scriptstyle { Delta x}}$, ${ displaystyle scriptstyle { Delta y}}$ a ${ displaystyle scriptstyle { Delta z}}$. Z toho vyplývá, že oba integrand of ${ displaystyle scriptstyle {R_ {F}}}$ a jeho integrál lze vyjádřit jako funkce elementární symetrické polynomy v ${ displaystyle scriptstyle { Delta x}}$, ${ displaystyle scriptstyle { Delta y}}$ a ${ displaystyle scriptstyle { Delta z}}$ což jsou

${ displaystyle E_ {1} = Delta x + Delta y + Delta z = 0}$

${ displaystyle E_ {2} = Delta x Delta y + Delta y Delta z + Delta z Delta x}$

${ displaystyle E_ {3} = Delta x Delta y Delta z}$

Vyjádření integrandu z hlediska těchto polynomů, provedení vícerozměrné Taylorovy expanze a integrace po jednotlivých termínech ...

${ displaystyle { begin {aligned} R_ {F} (x, y, z) & = { frac {1} {2 { sqrt {A}}}} int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {(t + 1) ^ {3} - (t + 1) ^ {2} E_ {1} + (t + 1) E_ {2} -E_ {3}}} } dt & = { frac {1} {2 { sqrt {A}}}} int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {(t + 1) ^ { frac {3} {2}}}} - { frac {E_ {2}} {2 (t + 1) ^ { frac {7} {2}}}} + { frac {E_ {3 }} {2 (t + 1) ^ { frac {9} {2}}}} + { frac {3E_ {2} ^ {2}} {8 (t + 1) ^ { frac {11} {2}}}} - { frac {3E_ {2} E_ {3}} {4 (t + 1) ^ { frac {13} {2}}}} + O (E_ {1}) + O ( Delta ^ {6}) right) dt & = { frac {1} { sqrt {A}}} left (1 - { frac {1} {10}} E_ {2} + { frac {1} {14}} E_ {3} + { frac {1} {24}} E_ {2} ^ {2} - { frac {3} {44}} E_ {2} E_ { 3} + O (E_ {1}) + O ( Delta ^ {6}) vpravo) end {zarovnáno}}}$

Nyní je zřejmá výhoda rozšíření o střední hodnotu argumentů; snižuje ${ displaystyle scriptstyle {E_ {1}}}$ shodně na nulu, a tak vylučuje všechny související pojmy ${ displaystyle scriptstyle {E_ {1}}}$ - které by jinak byly nejpočetnější.

Vzestupná řada pro ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J}}}$ lze najít podobným způsobem. Existuje mírná obtíž, protože ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J}}}$ není zcela symetrický; jeho závislost na čtvrtém argumentu, ${ displaystyle scriptstyle {p}}$, se liší od jeho závislosti na ${ displaystyle scriptstyle {x}}$, ${ displaystyle scriptstyle {y}}$ a ${ displaystyle scriptstyle {z}}$. To je překonáno léčbou ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J}}}$ jako plně symetrická funkce Pět argumenty, z nichž dva mají shodnou hodnotu ${ displaystyle scriptstyle {p}}$. Střední hodnota argumentů se proto považuje za

${ displaystyle A = { frac {x + y + z + 2p} {5}}}$

a rozdíly ${ displaystyle scriptstyle { Delta x}}$, ${ displaystyle scriptstyle { Delta y}}$ ${ displaystyle scriptstyle { Delta z}}$ a ${ displaystyle scriptstyle { Delta p}}$ definován

${ displaystyle { begin {zarovnáno} R_ {J} (x, y, z, p) & = R_ {J} (A (1- Delta x), A (1- Delta y), A (1 - Delta z), A (1- Delta p)) & = { frac {1} {A ^ { frac {3} {2}}}} R_ {J} (1- Delta x , 1- Delta y, 1- Delta z, 1- Delta p) end {zarovnáno}}}$

The elementární symetrické polynomy v ${ displaystyle scriptstyle { Delta x}}$, ${ displaystyle scriptstyle { Delta y}}$, ${ displaystyle scriptstyle { Delta z}}$, ${ displaystyle scriptstyle { Delta p}}$ a znovu) ${ displaystyle scriptstyle { Delta p}}$ jsou v plném rozsahu

${ displaystyle E_ {1} = Delta x + Delta y + Delta z + 2 Delta p = 0}$

${ displaystyle E_ {2} = Delta x Delta y + Delta y Delta z + 2 Delta z Delta p + Delta p ^ {2} +2 Delta p Delta x + Delta x Delta z + 2 Delta y Delta p}$

${ displaystyle E_ {3} = Delta z Delta p ^ {2} + Delta x Delta p ^ {2} +2 Delta x Delta y Delta p + Delta x Delta y Delta z + 2 Delta y Delta z Delta p + Delta y Delta p ^ {2} +2 Delta x Delta z Delta p}$

${ displaystyle E_ {4} = Delta y Delta z Delta p ^ {2} + Delta x Delta z Delta p ^ {2} + Delta x Delta y Delta p ^ {2} + 2 Delta x Delta y Delta z Delta p}$

${ displaystyle E_ {5} = Delta x Delta y Delta z Delta p ^ {2}}$

Je však možné vzorce pro zjednodušit ${ displaystyle scriptstyle {E_ {2}}}$, ${ displaystyle scriptstyle {E_ {3}}}$ a ${ displaystyle scriptstyle {E_ {4}}}$ díky tomu, že ${ displaystyle scriptstyle {E_ {1} = 0}}$. Vyjádření integrandu z hlediska těchto polynomů, provedení vícerozměrné Taylorovy expanze a integrace po jednotlivých termínech jako dříve ...

${ displaystyle { begin {aligned} R_ {J} (x, y, z, p) & = { frac {3} {2A ^ { frac {3} {2}}}} int _ {0 } ^ { infty} { frac {1} { sqrt {(t + 1) ^ {5} - (t + 1) ^ {4} E_ {1} + (t + 1) ^ {3} E_ {2} - (t + 1) ^ {2} E_ {3} + (t + 1) E_ {4} -E_ {5}}}} dt & = { frac {3} {2A ^ { frac {3} {2}}}} int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {(t + 1) ^ { frac {5} {2}}}} - { frac {E_ {2}} {2 (t + 1) ^ { frac {9} {2}}}} + { frac {E_ {3}} {2 (t + 1) ^ { frac {11} {2}}}} + { frac {3E_ {2} ^ {2} -4E_ {4}} {8 (t + 1) ^ { frac {13} {2}}}} + { frac {2E_ {5} -3E_ {2} E_ {3}} {4 (t + 1) ^ { frac {15} {2}}}} + O (E_ {1}) + O ( Delta ^ {6}) right) dt & = { frac {1} {A ^ { frac {3} {2}}}} left (1 - { frac {3} {14}} E_ {2} + { frac {1} {6}} E_ {3} + { frac {9} {88}} E_ {2} ^ {2} - { frac {3} {22}} E_ {4} - { frac {9} {52}} E_ {2} E_ {3} + { frac {3} {26}} E_ {5} + O (E_ {1}) + O ( Delta ^ {6}) vpravo) end {zarovnáno}}}$

Stejně jako u ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J}}}$rozšířením o průměrnou hodnotu argumentů více než polovina termínů (těch, které zahrnují ${ displaystyle scriptstyle {E_ {1}}}$) jsou vyloučeny.

Negativní argumenty

Obecně platí, že argumenty x, y, z Carlsonových integrálů nemusí být skutečné a negativní, protože by to znamenalo a odbočka na cestě integrace, což činí integrál nejednoznačným. Pokud však druhý argument z ${ displaystyle scriptstyle {R_ {C}}}$nebo čtvrtý argument, p, z ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J}}}$ je negativní, pak to má za následek a jednoduchá tyč na cestě integrace. V těchto případech Hodnota Cauchyho jistiny (konečná část) integrálů může být zajímavá; tyto jsou

${ displaystyle mathrm {pv} ; R_ {C} (x, -y) = { sqrt { frac {x} {x + y}}} , R_ {C} (x + y, y) ,}$

a

${ displaystyle { begin {seřazeno} mathrm {pv} ; R_ {J} (x, y, z, -p) & = { frac {(qy) R_ {J} (x, y, z, q) -3R_ {F} (x, y, z) +3 { sqrt {y}} R_ {C} (xz, -pq)} {y + p}} & = { frac {(qy ) R_ {J} (x, y, z, q) -3R_ {F} (x, y, z) +3 { sqrt { frac {xyz} {xz + pq}}} R_ {C} (xz + pq, pq)} {y + p}} end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle q = y + { frac {(z-y) (y-x)} {y + p}}.}$

pro které musí být větší než nula ${ displaystyle scriptstyle {R_ {J} (x, y, z, q)}}$ být hodnocen. To může být uspořádáno permutací x, yaz, takže hodnota y je mezi hodnotou x a z.

Numerické hodnocení

Duplikační teorém lze použít k rychlému a robustnímu vyhodnocení Carlsonovy symetrické formy eliptických integrálů, a tedy také k vyhodnocení Legendrovy formy eliptických integrálů. Pojďme vypočítat ${ displaystyle R_ {F} (x, y, z)}$: nejprve definovat ${ displaystyle x_ {0} = x}$, ${ displaystyle y_ {0} = y}$ a ${ displaystyle z_ {0} = z}$. Poté sérii opakujte

${ displaystyle lambda _ {n} = { sqrt {x_ {n}}} { sqrt {y_ {n}}} + { sqrt {y_ {n}}} { sqrt {z_ {n}} } + { sqrt {z_ {n}}} { sqrt {x_ {n}}},}$

${ displaystyle x_ {n + 1} = { frac {x_ {n} + lambda _ {n}} {4}}, y_ {n + 1} = { frac {y_ {n} + lambda _ {n}} {4}}, z_ {n + 1} = { frac {z_ {n} + lambda _ {n}} {4}}}$

dokud není dosaženo požadované přesnosti: pokud ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle z}$ jsou nezáporné, všechny řady se rychle sblíží na danou hodnotu, řekněme, ${ displaystyle mu}$. Proto,

${ displaystyle R_ {F} left (x, y, z right) = R_ {F} left ( mu, mu, mu right) = mu ^ {- 1/2}.}$

Hodnocení ${ displaystyle R_ {C} (x, y)}$ je díky vztahu stejný

${ displaystyle R_ {C} left (x, y right) = R_ {F} left (x, y, y right).}$

Odkazy a externí odkazy

• B. C. Carlson, John L. Gustafson 'Asymptotické aproximace pro symetrické eliptické integrály' 1993 arXiv
• B. C. Carlson 'Numerical Computation of Real or Complex Eliptic Integrals' 1994 arXiv
• B. C. Carlson „Eliptické integrály: symetrické integrály“ v kap. 19 ze dne Digitální knihovna matematických funkcí. Datum vydání 2010-05-07. Národní institut pro standardy a technologie.
• „Profil: Bille C. Carlson“ v Digitální knihovna matematických funkcí. Národní institut pro standardy a technologie.
• Stiskněte, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Oddíl 6.12. Eliptické integrály a Jacobské eliptické funkce“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• Fortran kód z SLATEC pro hodnocení RF, RJ, RC, RD,