E9 plástev - E9 honeycomb

v geometrie, an E9 plástev je mozaikování jednotných polytopů v hyperbolickém 9rozměrném prostoru. , také (E.10) je parabolická hyperbolická skupina, takže buď fazety nebo vrcholové postavy nebude omezen.

E10 je poslední ze série Skupiny coxeterů s rozvětveným Coxeter-Dynkinův diagram o délce 6,2,1. Existuje 1023 jedinečných E10 voštiny všech kombinací Coxeter-Dynkinův diagram. V rodině nejsou žádné pravidelné voštiny, protože jeho Coxeterův diagram je nelineární graf, ale existují tři nejjednodušší, s jedním prstenem na konci jeho 3 větví: 621, 261, 162.

621 plástev

621 plástev
Rodinak21 polytop
Schläfliho symbol{3,3,3,3,3,3,32,1}
Coxeter symbol621
Coxeter-Dynkinův diagramCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png
9 tváří611 Cross graph 9 Nodes highlighted.svg
{38} 9-simplexní t0.svg
8 tváří{37} 8-simplexní t0.svg
7 tváří{36} 7-simplexní t0.svg
6 tváří{35} 6-simplexní t0.svg
5 tváří{34} 5-simplexní t0.svg
4 tváře{33} 4-simplexní t0.svg
Buňky{32} 3-simplexní t0.svg
Tváře{3} 2-simplexní t0.svg
Vrcholová postava521
Skupina symetrie, [36,2,1]

The 621 plástev je konstruován ze střídání 9-simplexní a 9-orthoplex fazety v rámci symetrie E10 Skupina coxeterů.

Tento plástev je velmi pravidelný v tom smyslu, že jeho skupina symetrie (afinní E.9 Weylova skupina) působí přechodně na k- tváře pro k ≤ 7. Všechny k- tváře pro k ≤ 8 jsou jednoduchosti.

Tento plást je poslední v řadě k21 polytopes, vyčísleno Thorold Gosset v roce 1900 seznam polytopů a plástů vytvořených výhradně z pravidelných fazet, ačkoli jeho seznam skončil 8-dimenzionálním euklidovským plástem, 521.[1]

Konstrukce

Je vytvořen a Wythoffova konstrukce po sadě 10 nadrovina zrcadla v 9rozměrném hyperbolickém prostoru.

Fazetové informace lze z něj extrahovat Coxeter-Dynkinův diagram.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

Odstranění uzlu na konci větve o délce 2 opouští 9-orthoplex, 711.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

Odstranění uzlu na konci větve o délce 1 opouští 9-simplexní.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

The vrchol obrázek je určeno odstraněním vyzváněcího uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 521 plástev.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

The hrana postava je určeno z vrcholu obrázku odstraněním zvoněného uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 421 polytop.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

The obličejová postava je určeno z obrázku hrany odstraněním zvoněného uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 321 polytop.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

The postava buňky je určeno z obličeje odstraněním prstencového uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 221 polytop.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png

Související polytopy a voštiny

6. den21 je poslední v dimenzionální sérii semiregular polytopes a voštiny, které v roce 1900 identifikoval Thorold Gosset. Každý člen posloupnosti má předchozího člena jako svého vrchol obrázek. Všechny aspekty těchto polytopů jsou běžné polytopy, jmenovitě simplexes a ortoplexy.

261 plástev

261 plástev
Rodina2k1 polytop
Schläfliho symbol{3,3,36,1}
Coxeter symbol261
Coxeter-Dynkinův diagramCDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
9 typů tváří251
{37}9-simplexní t0.svg
8 tváří241Gosset 2 41 petrie.svg, {37}8-simplexní t0.svg
7 typů obličeje231Gosset 2 31 polytope.svg, {36}7-simplexní t0.svg
6 tváří221E6 graph.svg, {35}6-simplexní t0.svg
5 tváří211Křížový graf 5. svg, {34}5-simplexní t0.svg
4 tváře{33}4-simplexní t0.svg
Buňky{32}3-simplexní t0.svg
Tváře{3}2-simplexní t0.svg
Vrcholová postava161 9-demicube.svg
Skupina coxeterů, [36,2,1]

The 261 plástev se skládá z 251 9-plástev a 9-simplexní fazety. Je to konečná postava v 2k1 rodina.

Konstrukce

Je vytvořen a Wythoffova konstrukce po sadě 10 nadrovina zrcadla v 9rozměrném hyperbolickém prostoru.

Fazetové informace lze z něj extrahovat Coxeter-Dynkinův diagram.

CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Odstranění uzlu na krátké větvi opustí 9-simplexní.

CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Odstranění uzlu na konci větve o délce 6 opouští 251 plástev. Toto je nekonečný aspekt, protože E10 je paracompaktní hyperbolická skupina.

CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

The vrchol obrázek je určeno odstraněním vyzváněcího uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 9-demicube, 161.

CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

The hrana postava je vrchol obrázku hrany. To dělá rektifikovaný 8-simplex, 051.

CDel větev 10.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

The obličejová postava je určeno z obrázku hrany odstraněním zvoněného uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 5-simplexní hranol.

CDel uzel 1.pngCDel 2.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Související polytopy a voštiny

261 je poslední v rozměrová řada z jednotné polytopy a voštiny.

162 plástev

162 plástev
Rodina1k2 polytop
Schläfliho symbol{3,36,2}
Coxeter symbol162
Coxeter-Dynkinův diagramCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel větev 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
9 typů tváří152, 161Demiocteract ortho petrie.svg
8 tváří142Gosset 1 42 polytop petrie.svg, 151Demiocteract ortho petrie.svg
7 typů obličeje132Gosset 1 32 petrie.svg, 141Demihepteract ortho petrie.svg
6 tváří122Gosset 1 22 polytope.svg, {31,3,1}Demihexeract ortho petrie.svg
{35}6-simplexní t0.svg
5 tváří121Demipenteract graph ortho.svg, {34}5-simplexní t0.svg
4 tváře111Křížový graf 4. svg, {33}4-simplexní t0.svg
Buňky{32}3-simplexní t0.svg
Tváře{3}2-simplexní t0.svg
Vrcholová postavat2{38} Birectified 9-simplex.png
Skupina coxeterů, [36,2,1]

The 162 plástev obsahuje 152 (9-plástev) a 161 9-demicube fazety. Je to konečná postava v 1k2 polytop rodina.

Konstrukce

Je vytvořen a Wythoffova konstrukce po sadě 10 nadrovina zrcadla v 9rozměrném prostoru.

Fazetové informace lze z něj extrahovat Coxeter-Dynkinův diagram.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel větev 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Odstranění uzlu na konci větve o délce 2 opouští 9-demicube, 161.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel větev 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Odstranění uzlu na konci větve o délce 6 opouští 152 plástev.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel větev 01lr.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

The vrchol obrázek je určeno odstraněním vyzváněcího uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá birectified 9-simplex, 062.

CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

Související polytopy a voštiny

162 je poslední v rozměrová řada z jednotné polytopy a voštiny.

Poznámky

  1. ^ Conway, 2008, řada Gosset, s. 413

Reference

  • Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN  978-1-56881-220-5 [1]
  • Coxeter Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN  978-0-486-40919-1 (Kapitola 3: Wythoffova konstrukce pro jednotné polytopy)
  • Coxeter Pravidelné Polytopes (1963), Macmillan Company
    • Pravidelné Polytopes, Třetí vydání, (1973), Doverské vydání, ISBN  0-486-61480-8 (Kapitola 5: Kaleidoskop)
  • Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [2]
    • (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
RodinaAnBn2(p) / DnE6 / E7 / E8 / F4 / G2Hn
Pravidelný mnohoúhelníkTrojúhelníkNáměstíp-gonŠestiúhelníkPentagon
Jednotný mnohostěnČtyřstěnOctahedronKrychleDemicubeDodecahedronDvacetistěnu
Jednotný 4-polytop5článková16 buněkTesseractDemitesseract24článková120 buněk600 buněk
Jednotný 5-mnohostěn5-simplexní5-orthoplex5 kostek5-demicube
Jednotný 6-polytop6-simplexní6-orthoplex6 kostek6-demicube122221
Jednotný 7-polytop7-simplexní7-orthoplex7 kostek7-demicube132231321
Jednotný 8-polytop8-simplexní8-orthoplex8 kostek8-demicube142241421
Jednotný 9-polytop9-simplexní9-orthoplex9 kostek9-demicube
Jednotný 10-polytop10-simplexní10-orthoplex10 kostek10-demicube
Jednotný n-polytopn-simplexnín-orthoplexn-krychlen-demicube1k22k1k21n-pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Polytopové rodinyPravidelný mnohostěnSeznam běžných polytopů a sloučenin