E9 plástev - E9 honeycomb
v geometrie, an E9 plástev je mozaikování jednotných polytopů v hyperbolickém 9rozměrném prostoru. , také (E.10) je parabolická hyperbolická skupina, takže buď fazety nebo vrcholové postavy nebude omezen.
E10 je poslední ze série Skupiny coxeterů s rozvětveným Coxeter-Dynkinův diagram o délce 6,2,1. Existuje 1023 jedinečných E10 voštiny všech kombinací Coxeter-Dynkinův diagram. V rodině nejsou žádné pravidelné voštiny, protože jeho Coxeterův diagram je nelineární graf, ale existují tři nejjednodušší, s jedním prstenem na konci jeho 3 větví: 621, 261, 162.
621 plástev
621 plástev | |
---|---|
Rodina | k21 polytop |
Schläfliho symbol | {3,3,3,3,3,3,32,1} |
Coxeter symbol | 621 |
Coxeter-Dynkinův diagram | |
9 tváří | 611 {38} |
8 tváří | {37} |
7 tváří | {36} |
6 tváří | {35} |
5 tváří | {34} |
4 tváře | {33} |
Buňky | {32} |
Tváře | {3} |
Vrcholová postava | 521 |
Skupina symetrie | , [36,2,1] |
The 621 plástev je konstruován ze střídání 9-simplexní a 9-orthoplex fazety v rámci symetrie E10 Skupina coxeterů.
Tento plástev je velmi pravidelný v tom smyslu, že jeho skupina symetrie (afinní E.9 Weylova skupina) působí přechodně na k- tváře pro k ≤ 7. Všechny k- tváře pro k ≤ 8 jsou jednoduchosti.
Tento plást je poslední v řadě k21 polytopes, vyčísleno Thorold Gosset v roce 1900 seznam polytopů a plástů vytvořených výhradně z pravidelných fazet, ačkoli jeho seznam skončil 8-dimenzionálním euklidovským plástem, 521.[1]
Konstrukce
Je vytvořen a Wythoffova konstrukce po sadě 10 nadrovina zrcadla v 9rozměrném hyperbolickém prostoru.
Fazetové informace lze z něj extrahovat Coxeter-Dynkinův diagram.
Odstranění uzlu na konci větve o délce 2 opouští 9-orthoplex, 711.
Odstranění uzlu na konci větve o délce 1 opouští 9-simplexní.
The vrchol obrázek je určeno odstraněním vyzváněcího uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 521 plástev.
The hrana postava je určeno z vrcholu obrázku odstraněním zvoněného uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 421 polytop.
The obličejová postava je určeno z obrázku hrany odstraněním zvoněného uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 321 polytop.
The postava buňky je určeno z obličeje odstraněním prstencového uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 221 polytop.
Související polytopy a voštiny
6. den21 je poslední v dimenzionální sérii semiregular polytopes a voštiny, které v roce 1900 identifikoval Thorold Gosset. Každý člen posloupnosti má předchozího člena jako svého vrchol obrázek. Všechny aspekty těchto polytopů jsou běžné polytopy, jmenovitě simplexes a ortoplexy.
k21 čísla v n dimenzionální | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Prostor | Konečný | Euklidovský | Hyperbolický | ||||||||
En | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Coxeter skupina | E3= A2A1 | E4= A4 | E5= D5 | E6 | E7 | E8 | E9 = = E8+ | E10 = = E8++ | |||
Coxeter diagram | |||||||||||
Symetrie | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [31,2,1] | [32,2,1] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] | |||
Objednat | 12 | 120 | 1,920 | 51,840 | 2,903,040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Graf | - | - | |||||||||
název | −121 | 021 | 121 | 221 | 321 | 421 | 521 | 621 |
261 plástev
261 plástev | |
---|---|
Rodina | 2k1 polytop |
Schläfliho symbol | {3,3,36,1} |
Coxeter symbol | 261 |
Coxeter-Dynkinův diagram | |
9 typů tváří | 251 {37} |
8 tváří | 241, {37} |
7 typů obličeje | 231, {36} |
6 tváří | 221, {35} |
5 tváří | 211, {34} |
4 tváře | {33} |
Buňky | {32} |
Tváře | {3} |
Vrcholová postava | 161 |
Skupina coxeterů | , [36,2,1] |
The 261 plástev se skládá z 251 9-plástev a 9-simplexní fazety. Je to konečná postava v 2k1 rodina.
Konstrukce
Je vytvořen a Wythoffova konstrukce po sadě 10 nadrovina zrcadla v 9rozměrném hyperbolickém prostoru.
Fazetové informace lze z něj extrahovat Coxeter-Dynkinův diagram.
Odstranění uzlu na krátké větvi opustí 9-simplexní.
Odstranění uzlu na konci větve o délce 6 opouští 251 plástev. Toto je nekonečný aspekt, protože E10 je paracompaktní hyperbolická skupina.
The vrchol obrázek je určeno odstraněním vyzváněcího uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 9-demicube, 161.
The hrana postava je vrchol obrázku hrany. To dělá rektifikovaný 8-simplex, 051.
The obličejová postava je určeno z obrázku hrany odstraněním zvoněného uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá 5-simplexní hranol.
Související polytopy a voštiny
261 je poslední v rozměrová řada z jednotné polytopy a voštiny.
2k1 čísla v n rozměry | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Prostor | Konečný | Euklidovský | Hyperbolický | ||||||||
n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Coxeter skupina | E3= A2A1 | E4= A4 | E5= D5 | E6 | E7 | E8 | E9 = = E8+ | E10 = = E8++ | |||
Coxeter diagram | |||||||||||
Symetrie | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [[31,2,1]] | [32,2,1] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] | |||
Objednat | 12 | 120 | 384 | 51,840 | 2,903,040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Graf | - | - | |||||||||
název | 2−1,1 | 201 | 211 | 221 | 231 | 241 | 251 | 261 |
162 plástev
162 plástev | |
---|---|
Rodina | 1k2 polytop |
Schläfliho symbol | {3,36,2} |
Coxeter symbol | 162 |
Coxeter-Dynkinův diagram | |
9 typů tváří | 152, 161 |
8 tváří | 142, 151 |
7 typů obličeje | 132, 141 |
6 tváří | 122, {31,3,1} {35} |
5 tváří | 121, {34} |
4 tváře | 111, {33} |
Buňky | {32} |
Tváře | {3} |
Vrcholová postava | t2{38} |
Skupina coxeterů | , [36,2,1] |
The 162 plástev obsahuje 152 (9-plástev) a 161 9-demicube fazety. Je to konečná postava v 1k2 polytop rodina.
Konstrukce
Je vytvořen a Wythoffova konstrukce po sadě 10 nadrovina zrcadla v 9rozměrném prostoru.
Fazetové informace lze z něj extrahovat Coxeter-Dynkinův diagram.
Odstranění uzlu na konci větve o délce 2 opouští 9-demicube, 161.
Odstranění uzlu na konci větve o délce 6 opouští 152 plástev.
The vrchol obrázek je určeno odstraněním vyzváněcího uzlu a vyzváněním sousedního uzlu. To dělá birectified 9-simplex, 062.
Související polytopy a voštiny
162 je poslední v rozměrová řada z jednotné polytopy a voštiny.
1k2 čísla v n rozměry | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Prostor | Konečný | Euklidovský | Hyperbolický | ||||||||
n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Coxeter skupina | E3= A2A1 | E4= A4 | E5= D5 | E6 | E7 | E8 | E9 = = E8+ | E10 = = E8++ | |||
Coxeter diagram | |||||||||||
Symetrie (objednat) | [3−1,2,1] | [30,2,1] | [31,2,1] | [[32,2,1]] | [33,2,1] | [34,2,1] | [35,2,1] | [36,2,1] | |||
Objednat | 12 | 120 | 1,920 | 103,680 | 2,903,040 | 696,729,600 | ∞ | ||||
Graf | - | - | |||||||||
název | 1−1,2 | 102 | 112 | 122 | 132 | 142 | 152 | 162 |
Poznámky
- ^ Conway, 2008, řada Gosset, s. 413
Reference
- Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
- Coxeter Krása geometrie: Dvanáct esejůPublikace Dover, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Kapitola 3: Wythoffova konstrukce pro jednotné polytopy)
- Coxeter Pravidelné Polytopes (1963), Macmillan Company
- Pravidelné Polytopes, Třetí vydání, (1973), Doverské vydání, ISBN 0-486-61480-8 (Kapitola 5: Kaleidoskop)
- Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]