Uzavřená kategorie - Closed category
v teorie kategorií, pobočka matematika, a uzavřená kategorie je zvláštní druh kategorie.
V místně malá kategorie, externí dom (X, y) mapuje dvojici objektů na a soubor z morfismy. Takže v kategorie sad, toto je objekt samotné kategorie. Stejně tak v uzavřené kategorii lze morfismy (objektů) z jednoho objektu na druhý považovat za ležící uvnitř kategorie. To je vnitřní hom [X, y].
Každá uzavřená kategorie má a zapomnětlivý funktor do kategorie sad, která zejména vezme vnitřní hom do vnější hom.
Definice
A uzavřená kategorie lze definovat jako a kategorie s tzv vnitřní Hom funktor
- ,
s levým Yoneda šipky přírodní v a a dinatural v
as pevným objektem z takové, že existuje přirozený izomorfismus
Příklady
- Kartézské uzavřené kategorie jsou uzavřené kategorie. Zejména jakékoli topos je zavřený. Kanonickým příkladem je kategorie sad.
- Kompaktní uzavřené kategorie jsou uzavřené kategorie. Kanonickým příkladem je kategorie FdVect s konečně-dimenzionální vektorové prostory jako předměty a lineární mapy jako morfismy.
- Obecněji libovolné monoidní uzavřená kategorie je uzavřená kategorie. V tomto případě objekt je monoidní jednotka.
Reference
- Eilenberg, S. & Kelly, G.M. Uzavřené kategorie Sborník z konference o kategorické algebře. (La Jolla, 1965) Springer. 1966. s. 421–562
- Uzavřená kategorie v nLab