Funkce hněvu - Anger function

V matematice je Funkce hněvu, představil C. T. Anger  (1855 ), je funkce definovaná jako

${ displaystyle mathbf {J} _ { nu} (z) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} cos ( nu theta -z sin theta) , d theta}$

a úzce souvisí s Besselovy funkce.

The Funkce Weber (také známý jako Funkce Lommel-Weber), představil H. F. Weber  (1879 ), je úzce související funkce definovaná

${ displaystyle mathbf {E} _ { nu} (z) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} sin ( nu theta -z sin theta) , d theta}$

a úzce souvisí s Besselovy funkce druhého druhu.

Vztah mezi Weberovými a Angerovými funkcemi

Funkce Anger a Weber souvisí s

${ displaystyle { begin {zarovnáno} sin ( pi nu) mathbf {J} _ { nu} (z) & = cos ( pi nu) mathbf {E} _ { nu} (z) - mathbf {E} _ {- nu} (z) - sin ( pi nu) mathbf {E} _ { nu} (z) & = cos ( pi nu) mathbf {J} _ { nu} (z) - mathbf {J} _ {- nu} (z) end {zarovnáno}}}$

takže zejména pokud ν není celé číslo, mohou být vyjádřeny jako lineární kombinace navzájem. Pokud ν je celé číslo, pak funguje hněv J_ν jsou stejné jako Besselovy funkce J_νa Weberovy funkce lze vyjádřit jako konečné lineární kombinace Struve funkce.

Rozšiřování výkonových řad

Funkce Anger má rozšíření energetické řady^[1]

${ displaystyle mathbf {J} _ { nu} (z) = cos { frac { pi nu} {2}} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + 1 right) Gamma left (k - { frac { nu} {2}} + 1 vpravo)}} + sin { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2} } right) Gamma left (k - { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2}} right)}}}$

Zatímco funkce Weber má rozšíření výkonové řady^[1]

${ displaystyle mathbf {E} _ { nu} (z) = sin { frac { pi nu} {2}} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + 1 right) Gamma left (k - { frac { nu} {2}} + 1 vpravo)}} - cos { frac { pi nu} {2}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} Gamma left (k + { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2} } right) Gamma left (k - { frac { nu} {2}} + { frac {3} {2}} right)}}}$

Diferenciální rovnice

Funkce Anger a Weber jsou řešením nehomogenních forem Besselovy rovnice

${ displaystyle z ^ {2} y ^ { prime prime} + zy ^ { prime} + (z ^ {2} - nu ^ {2}) y = 0.}$

Přesněji řečeno, funkce Anger splňují rovnici^[1]

${ displaystyle z ^ {2} y ^ { prime prime} + zy ^ { prime} + (z ^ {2} - nu ^ {2}) y = { frac {(z- nu) sin ( pi nu)} { pi}},}$

a Weberovy funkce splňují rovnici^[1]

${ displaystyle z ^ {2} y ^ { prime prime} + zy ^ { prime} + (z ^ {2} - nu ^ {2}) y = - { frac {z + nu + ( z- nu) cos ( pi nu)} { pi}}.}$

Vztahy opakování

Funkce Anger tuto nehomogenní formu uspokojuje relace opakování^[1]

${ displaystyle z mathbf {J} _ { nu -1} (z) + z mathbf {J} _ { nu +1} (z) = 2 nu mathbf {J} _ { nu} (z) - { frac {2 sin pi nu} { pi}}}$

Zatímco Weberova funkce uspokojuje tuto nehomogenní formu relace opakování^[1]

${ displaystyle z mathbf {E} _ { nu -1} (z) + z mathbf {E} _ { nu +1} (z) = 2 nu mathbf {E} _ { nu} (z) - { frac {2 (1- cos pi nu)} { pi}}}$

Zpoždění diferenciálních rovnic

Funkce Anger a Weber uspokojují tyto homogenní formy zpožďovací diferenciální rovnice^[1]

${ displaystyle mathbf {J} _ { nu -1} (z) - mathbf {J} _ { nu +1} (z) = 2 { dfrac { částečné} { částečné z}} mathbf {J} _ { nu} (z)}$

${ displaystyle mathbf {E} _ { nu -1} (z) - mathbf {E} _ { nu +1} (z) = 2 { dfrac { částečné} { částečné z}} mathbf {E} _ { nu} (z)}$

Funkce Anger a Weber také uspokojují tyto nehomogenní formy zpožďovací diferenciální rovnice^[1]

${ displaystyle z { dfrac { částečné} { částečné z}} mathbf {J} _ { nu} (z) pm nu mathbf {J} _ { nu} (z) = pm z mathbf {J} _ { nu mp 1} (z) pm { frac { sin pi nu} { pi}}}$

${ displaystyle z { dfrac { částečné} { částečné z}} mathbf {E} _ { nu} (z) pm nu mathbf {E} _ { nu} (z) = pm z mathbf {E} _ { nu mp 1} (z) pm { frac {1- cos pi nu} { pi}}}$

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 12“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 498. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• C.T. Anger, Neueste Schr. d. Naturf. d. Ges. i. Danzig, 5 (1855), str. 1–29
• Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Funkce hněvu", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Funkce Weber", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• G.N. Watson „Pojednání o teorii Besselových funkcí“, 1–2, Cambridge Univ. Press (1952)
• H.F.Weber, Curych Vierteljahresschrift, 24 (1879), str. 33–76