Graf
H n ( X ) {displaystyle mathrm {H} _ {n} (x)} pro
n ∈ [ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ] {displaystyle nin [0,1,2,3,4,5]} v matematika , Struve funkce H α X )y (X )Besselova diferenciální rovnice :
X 2 d 2 y d X 2 + X d y d X + ( X 2 − α 2 ) y = 4 ( X 2 ) α + 1 π Γ ( α + 1 2 ) {displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {frac {dy} {dx}} + vlevo (x ^ {2} -alpha ^ {2} ight) y = {frac {4left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha +1}} {{sqrt {pi}} Gamma left (alpha + {frac {1} {2}} ight) }}} představil Hermann Struve (1882 ). The komplexní číslo α je objednat funkce Struve a je často celé číslo.
A dále definovala svou verzi druhého druhu K. α ( X ) {displaystyle mathbf {K} _ {alpha} (x)} K. α ( X ) = H α ( X ) − Y α ( X ) {displaystyle mathbf {K} _ {alpha} (x) = mathbf {H} _ {alpha} (x) -Y_ {alpha} (x)}
The upravené funkce Struve L α X )−tj −iαπ / 2 H α ix ) , jsou řešení y (X )Besselova diferenciální rovnice :
X 2 d 2 y d X 2 + X d y d X − ( X 2 + α 2 ) y = 4 ( X 2 ) α + 1 π Γ ( α + 1 2 ) {displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {frac {dy} {dx}} - vlevo (x ^ {2} + alfa ^ {2} ight) y = {frac {4left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha +1}} {{sqrt {pi}} Gamma left (alpha + {frac {1} {2}} ight) }}} A dále definovala svou verzi druhého druhu M α ( X ) {displaystyle mathbf {M} _ {alpha} (x)} M α ( X ) = L α ( X ) − Já α ( X ) {displaystyle mathbf {M} _ {alpha} (x) = mathbf {L} _ {alpha} (x) -I_ {alpha} (x)}
Definice Protože se jedná o nehomogenní rovnice, řešení lze sestrojit z jednoho konkrétního řešení přidáním řešení homogenní úlohy. V tomto případě jsou homogenní řešení Besselovy funkce a konkrétní řešení lze zvolit jako odpovídající funkci Struve.
Rozšiřování výkonových řad Struve funkce, označené jako H α z )
H α ( z ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m Γ ( m + 3 2 ) Γ ( m + α + 3 2 ) ( z 2 ) 2 m + α + 1 , {displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (z) = součet _ {m = 0} ^ {infty} {frac {(-1) ^ {m}} {zbývající gamma (m + {frac {3} {2} } ight) Gamma left (m + alpha + {frac {3} {2}} ight)}} left ({frac {z} {2}} ight) ^ {2m + alpha +1},} kde Γ (z ) je funkce gama .
Upravené funkce Struve, označené L ν z )
L ν ( z ) = ( z 2 ) ν + 1 ∑ k = 0 ∞ 1 Γ ( 3 2 + k ) Γ ( 3 2 + k + ν ) ( z 2 ) 2 k . {displaystyle mathbf {L} _ {u} (z) = left ({frac {z} {2}} ight) ^ {u +1} součet _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} { Gama vlevo ({frac {3} {2}} + kight) Gama vlevo ({frac {3} {2}} + k + u ight)}} vlevo ({frac {z} {2}} ight) ^ { 2k}.} Integrální forma Další definice funkce Struve pro hodnoty α uspokojující Re(α ) > − 1 / 2 , je možné vyjádřit z hlediska Poissonova integrálního vyjádření:
H α ( X ) = 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) α − 1 2 hřích X t d t = 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 hřích ( X cos τ ) hřích 2 α τ d τ = 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 hřích ( X hřích τ ) cos 2 α τ d τ {displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (x) = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gamma vlevo (alfa + {frac { 1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {1} (1-t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} sin xt ~ dt = {frac { 2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gamma left (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ { frac {pi} {2}} sin (xcos au) sin ^ {2alpha} au ~ d au = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi} } Gamma left (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} sin (xsin au) cos ^ {2alpha} au ~ d au} K. α ( X ) = 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 ∞ ( 1 + t 2 ) α − 1 2 E − X t d t = 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 ∞ E − X sinh τ hovno 2 α τ d τ {displaystyle mathbf {K} _ {alpha} (x) = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gamma vlevo (alfa + {frac { 1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {infty} (1 + t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} e ^ {- xt} ~ dt = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gamma left (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ { 0} ^ {infty} e ^ {- xsinh au} cosh ^ {2alpha} au ~ d au} L α ( X ) = 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) α − 1 2 sinh X t d t = 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 sinh ( X cos τ ) hřích 2 α τ d τ = 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 sinh ( X hřích τ ) cos 2 α τ d τ {displaystyle mathbf {L} _ {alpha} (x) = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gama vlevo (alfa + {frac { 1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {1} (1-t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} sinh xt ~ dt = {frac { 2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gamma left (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ { frac {pi} {2}} sinh (xcos au) sin ^ {2alpha} au ~ d au = {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi} } Gamma left (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} sinh (xsin au) cos ^ {2alpha} au ~ d au} M α ( X ) = − 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) α − 1 2 E − X t d t = − 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 E − X cos τ hřích 2 α τ d τ = − 2 ( X 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π 2 E − X hřích τ cos 2 α τ d τ {displaystyle mathbf {M} _ {alpha} (x) = - {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gamma vlevo (alfa + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {1} (1-t ^ {2}) ^ {alpha - {frac {1} {2}}} e ^ {- xt} ~ dt = - {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gamma left (alpha + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} e ^ {- xcos au} sin ^ {2alpha} au ~ d au = - {frac {2left ({frac {x} {2}} ight) ^ { alpha}} {{sqrt {pi}} vlevo gama (alfa + {frac {1} {2}} ight)}} int _ {0} ^ {frac {pi} {2}} e ^ {- xsin au} cos ^ {2alpha} au ~ d au} Asymptotické formy Pro malé X , je uvedeno rozšíření výkonové řady výše .
Pro velké X , jeden získá:
H α ( X ) − Y α ( X ) = ( X 2 ) α − 1 π Γ ( α + 1 2 ) + Ó ( ( X 2 ) α − 3 ) , {displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (x) -Y_ {alpha} (x) = {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha -1}} {{sqrt {pi }} Gama vlevo (alfa + {frac {1} {2}} vpravo)}} + Oleft (vlevo ({frac {x} {2}} vpravo) ^ {alpha -3} vpravo),} kde Yα (X )Neumannova funkce .
Vlastnosti Funkce Struve splňují následující relace opakování:
H α − 1 ( X ) + H α + 1 ( X ) = 2 α X H α ( X ) + ( X 2 ) α π Γ ( α + 3 2 ) , H α − 1 ( X ) − H α + 1 ( X ) = 2 d d X ( H α ( X ) ) − ( X 2 ) α π Γ ( α + 3 2 ) . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {H} _ {alpha -1} (x) + mathbf {H} _ {alpha +1} (x) & = {frac {2alpha} {x}} mathbf {H} _ {alpha} (x) + {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gamma left (alpha + {frac {3} {2}} ight )}}, mathbf {H} _ {alpha -1} (x) -mathbf {H} _ {alpha +1} (x) & = 2 {frac {d} {dx}} vlevo (mathbf {H} _ {alpha} (x) ight) - {frac {left ({frac {x} {2}} ight) ^ {alpha}} {{sqrt {pi}} Gamma left (alpha + {frac {3} {2 }} hned)}}. konec {zarovnáno}}} Vztah k ostatním funkcím Strukturní funkce celočíselného řádu lze vyjádřit pomocí Weber funkce E n n je tedy nezáporné celé číslo
E n ( z ) = 1 π ∑ k = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ Γ ( k + 1 2 ) ( z 2 ) n − 2 k − 1 Γ ( n − k + 1 2 ) − H n ( z ) , E − n ( z ) = ( − 1 ) n + 1 π ∑ k = 0 ⌊ n − 1 2 ⌋ Γ ( n − k − 1 2 ) ( z 2 ) − n + 2 k + 1 Γ ( k + 3 2 ) − H − n ( z ) . {displaystyle {egin {aligned} mathbf {E} _ {n} (z) & = {frac {1} {pi}} součet _ {k = 0} ^ {leftlfloor {frac {n-1} {2}} ightfloor} {frac {Gamma left (k + {frac {1} {2}} ight) left ({frac {z} {2}} ight) ^ {n-2k-1}} {Gamma left (n-k + { frac {1} {2}} ight)}} - mathbf {H} _ {n} (z), mathbf {E} _ {- n} (z) & = {frac {(-1) ^ {n +1}} {pi}} součet _ {k = 0} ^ {leftlfloor {frac {n-1} {2}} ightfloor} {frac {Gamma (nk- {frac {1} {2}}) vlevo ( {frac {z} {2}} ight) ^ {- n + 2k + 1}} {Gamma left (k + {frac {3} {2}} ight)}} - mathbf {H} _ {- n} ( z). end {zarovnáno}}} Strukturujte funkce řádu n + 1 / 2 n je celé číslo lze vyjádřit pomocí elementárních funkcí. Zejména pokud n je tedy nezáporné celé číslo
H − n − 1 2 ( z ) = ( − 1 ) n J n + 1 2 ( z ) , {displaystyle mathbf {H} _ {- n- {frac {1} {2}}} (z) = (- 1) ^ {n} J_ {n + {frac {1} {2}}} (z), } kde je pravá strana a sférická Besselova funkce .
Strukturované funkce (libovolného řádu) lze vyjádřit pomocí generalizovaná hypergeometrická funkce 1 F 2 ne Gaussova hypergeometrická funkce 2 F 1
H α ( z ) = z α + 1 2 α π Γ ( α + 3 2 ) 1 F 2 ( 1 , 3 2 , α + 3 2 , − z 2 4 ) . {displaystyle mathbf {H} _ {alpha} (z) = {frac {z ^ {alpha +1}} {2 ^ {alpha} {sqrt {pi}} Gamma vlevo (alfa + {frac {3} {2} } ight)}} {} _ {1} F_ {2} vlevo (1, {frac {3} {2}}, alfa + {frac {3} {2}}, - {frac {z ^ {2} } {4}} hned).} Reference R. M. Aarts a Augustus J. E. M. Janssen (2003). "Aproximace funkce Struve H 1 vyskytující se při výpočtech impedance ". J. Acoust. Soc. Dopoledne . 113 (5): 2635–2637. Bibcode :2003ASAJ..113,2635A . doi :10.1121/1.1564019 . PMID 12765381 . R. M. Aarts a Augustus J. E. M. Janssen (2016). "Efektivní aproximace funkcí Struve H n . J. Acoust. Soc. Dopoledne . 140 (6): 4154–4160. Bibcode :2016ASAJ..140.4154A . doi :10.1121/1.4968792 . PMID 28040027 . Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 12“ . Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 496. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . PAN 0167642 . LCCN 65-12253 .Ivanov, A. B. (2001) [1994], "Funkce Struve" , Encyclopedia of Mathematics Stiskněte EMS Paris, R. B. (2010), "Funkce Struve" , v Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 PAN 2723248 Struve, H. (1882). „Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren“ . Annalen der Physik und Chemie . 17 (13): 1008–1016. Bibcode :1882AnP ... 253.1008S . doi :10,1002 / a 18822531319 . externí odkazy 
![nin [0,1,2,3,4,5]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff616f773f808ad1bf4d829aeb4565f76fd3446)
