V aplikované matematice je Kelvinovy funkce berν X ) a beiν X ) jsou nemovitý a imaginární části , respektive, z
J ν ( X E 3 π i 4 ) , { displaystyle J _ { nu} vlevo (xe ^ { frac {3 pi i} {4}} vpravo), ,} kde X je skutečný a Jν (z )ν th objednat Besselova funkce prvního druhu. Podobně funkce kerν (X ) a keiν (X ) jsou skutečná a imaginární část
K. ν ( X E π i 4 ) , { displaystyle K _ { nu} vlevo (xe ^ { frac { pi i} {4}} vpravo), ,} kde K.ν (z )ν th objednat upravená Besselova funkce druhého druhu.
Tyto funkce jsou pojmenovány po William Thomson, 1. baron Kelvin .
Zatímco Kelvinovy funkce jsou definovány jako skutečná a imaginární část Besselových funkcí s X považovány za skutečné, lze funkce analyticky pokračovat pro složité argumenty xe iφ φ < 2π .n X ) a bein X ) pro integrál n , funkce Kelvina mají a odbočka na X = 0.
Níže, Γ (z ) je funkce gama a ψ (z )funkce digamma .
ber (X ) ber (X ) pro X mezi 0 a 20.
b E r ( X ) / E X / 2 { displaystyle mathrm {ber} (x) / e ^ {x / { sqrt {2}}}} pro
X mezi 0 a 50.
Pro celá čísla n , bern X ) má rozšíření série
b E r n ( X ) = ( X 2 ) n ∑ k ≥ 0 cos [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( X 2 4 ) k , { displaystyle mathrm {ber} _ {n} (x) = levý ({ frac {x} {2}} pravý) ^ {n} součet _ {k geq 0} { frac { cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k},} kde Γ (z ) je funkce gama . Zvláštní případ ber0 (X ), běžně označovaný jako jen ber (X ), má rozšíření série
b E r ( X ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k [ ( 2 k ) ! ] 2 ( X 2 ) 4 k { displaystyle mathrm {ber} (x) = 1 + součet _ {k geq 1} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k)!] ^ {2}}} vlevo ({ frac {x} {2}} vpravo) ^ {4k}} a asymptotická série
b E r ( X ) ∼ E X 2 2 π X ( F 1 ( X ) cos α + G 1 ( X ) hřích α ) − k E i ( X ) π { displaystyle mathrm {ber} (x) sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}}} { sqrt {2 pi x}}}} vlevo (f_ { 1} (x) cos alpha + g_ {1} (x) sin alpha right) - { frac { mathrm {kei} (x)} { pi}}} kde
α = X 2 − π 8 , { displaystyle alpha = { frac {x} { sqrt {2}}} - { frac { pi} {8}},} F 1 ( X ) = 1 + ∑ k ≥ 1 cos ( k π / 4 ) k ! ( 8 X ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 { displaystyle f_ {1} (x) = 1 + součet _ {k geq 1} { frac { cos (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}} G 1 ( X ) = ∑ k ≥ 1 hřích ( k π / 4 ) k ! ( 8 X ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 . { displaystyle g_ {1} (x) = součet _ {k geq 1} { frac { sin (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ { l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.} bei (X ) bei (X ) pro X mezi 0 a 20.
b E i ( X ) / E X / 2 { displaystyle mathrm {bei} (x) / e ^ {x / { sqrt {2}}}} pro
X mezi 0 a 50.
Pro celá čísla n , bein X ) má rozšíření série
b E i n ( X ) = ( X 2 ) n ∑ k ≥ 0 hřích [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( X 2 4 ) k . { displaystyle mathrm {bei} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}.} Zvláštní případ0 (X ), běžně označovaný jako jen bei (X ), má rozšíření série
b E i ( X ) = ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( X 2 ) 4 k + 2 { displaystyle mathrm {bei} (x) = součet _ {k geq 0} { frac {(-1) ^ {k}} {[(2k + 1)!] ^ {2}}} vlevo ({ frac {x} {2}} vpravo) ^ {4k + 2}} a asymptotické série
b E i ( X ) ∼ E X 2 2 π X [ F 1 ( X ) hřích α − G 1 ( X ) cos α ] − k E r ( X ) π , { displaystyle mathrm {bei} (x) sim { frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}}} { sqrt {2 pi x}}} [f_ {1} (x) sin alpha -g_ {1} (x) cos alpha] - { frac { mathrm {ker} (x)} { pi}},} kde α, F 1 ( X ) { displaystyle f_ {1} (x)} G 1 ( X ) { displaystyle g_ {1} (x)} X ).
ker (X ) ker (X ) pro X mezi 0 a 14.
k E r ( X ) E X / 2 { displaystyle mathrm {ker} (x) e ^ {x / { sqrt {2}}}} pro
X mezi 0 a 50.
Pro celá čísla n , kern X ) má (komplikované) rozšíření řady
k E r n ( X ) = − ln ( X 2 ) b E r n ( X ) + π 4 b E i n ( X ) + 1 2 ( X 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 cos [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( X 2 4 ) k + 1 2 ( X 2 ) n ∑ k ≥ 0 cos [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( X 2 4 ) k . { displaystyle { begin {aligned} & mathrm {ker} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} _ {n } (x) + { frac { pi} {4}} mathrm {bei} _ {n} (x) & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} vpravo) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {x} {2}} vpravo) ^ {n} sum _ {k geq 0} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {aligned}}} Speciální případ ker0 (X ), běžně označovaný jako jen ker (X ), má rozšíření série
k E r ( X ) = − ln ( X 2 ) b E r ( X ) + π 4 b E i ( X ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 1 ) [ ( 2 k ) ! ] 2 ( X 2 4 ) 2 k { displaystyle mathrm {ker} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} (x) + { frac { pi} {4} } mathrm {bei} (x) + sum _ {k geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 1)} {[(2k)!] ^ {2} }} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {2k}} a asymptotická série
k E r ( X ) ∼ π 2 X E − X 2 [ F 2 ( X ) cos β + G 2 ( X ) hřích β ] , { displaystyle mathrm {ker} (x) sim { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}} [f_ { 2} (x) cos beta + g_ {2} (x) sin beta],} kde
β = X 2 + π 8 , { displaystyle beta = { frac {x} { sqrt {2}}} + { frac { pi} {8}},} F 2 ( X ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k cos ( k π / 4 ) k ! ( 8 X ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 { displaystyle f_ {2} (x) = 1 + součet _ {k geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { cos (k pi / 4)} {k! (8x) ^ {k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}} G 2 ( X ) = ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k hřích ( k π / 4 ) k ! ( 8 X ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 . { displaystyle g_ {2} (x) = součet _ {k geq 1} (- 1) ^ {k} { frac { sin (k pi / 4)} {k! (8x) ^ { k}}} prod _ {l = 1} ^ {k} (2l-1) ^ {2}.}
kei (X ) kei (X ) pro X mezi 0 a 14.
k E i ( X ) E X / 2 { displaystyle mathrm {kei} (x) e ^ {x / { sqrt {2}}}} pro
X mezi 0 a 50.
Pro celé číslo n , kein X ) má rozšíření série
k E i n ( X ) = − ln ( X 2 ) b E i n ( X ) − π 4 b E r n ( X ) − 1 2 ( X 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 hřích [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( X 2 4 ) k + 1 2 ( X 2 ) n ∑ k ≥ 0 hřích [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( X 2 4 ) k . { displaystyle { begin {aligned} & mathrm {kei} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} _ {n } (x) - { frac { pi} {4}} mathrm {ber} _ {n} (x) & - { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {x } {2}} doprava) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {x} {2}} vpravo) ^ {n} sum _ {k geq 0} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {aligned}}} Zvláštní případ kei0 (X ), běžně označovaný jako jen kei (X ), má rozšíření série
k E i ( X ) = − ln ( X 2 ) b E i ( X ) − π 4 b E r ( X ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 2 ) [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( X 2 4 ) 2 k + 1 { displaystyle mathrm {kei} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} (x) - { frac { pi} {4} } mathrm {ber} (x) + sum _ {k geq 0} (- 1) ^ {k} { frac { psi (2k + 2)} {[(2k + 1)!] ^ { 2}}} vlevo ({ frac {x ^ {2}} {4}} vpravo) ^ {2k + 1}} a asymptotická série
k E i ( X ) ∼ − π 2 X E − X 2 [ F 2 ( X ) hřích β + G 2 ( X ) cos β ] , { displaystyle mathrm {kei} (x) sim - { sqrt { frac { pi} {2x}}} e ^ {- { frac {x} { sqrt {2}}}} [f_ {2} (x) sin beta + g_ {2} (x) cos beta],} kde β , F 2 (X ), a G 2 (X ) jsou definovány jako pro ker (X ).
Viz také Reference Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 9“ . Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 379. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . PAN 0167642 . LCCN 65-12253 .Olver, F. W. J .; Maximon, L. C. (2010), "Besselovy funkce" , v Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 PAN 2723248 externí odkazy Weisstein, Eric W. „Kelvin Functions“. From MathWorld — A Wolfram Web Resource. [1] Zdrojový kód C / C ++ s licencí GPL pro výpočet Kelvinových funkcí na codecogs.com: [2] 
![{ displaystyle mathrm {ber} _ {n} (x) = levý ({ frac {x} {2}} pravý) ^ {n} součet _ {k geq 0} { frac { cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0cd93458b54421e6ad2cc1a1d7642427b33221)
![mathrm {ber} (x) = 1 + sum_ {k geq 1} frac {(- 1) ^ k} {[(2k)!] ^ 2} left ( frac {x} {2} right) ^ {4k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b0382d07ebb15b81d9f6d57b4a4c39d727bd7dd)
![{ displaystyle mathrm {bei} _ {n} (x) = left ({ frac {x} {2}} right) ^ {n} sum _ {k geq 0} { frac { sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right]} {k! Gamma (n + k + 1)} } left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08343a9ce9fef41ac36a7add2de1ef813cc3ec3)
![mathrm {bei} (x) = sum_ {k geq 0} frac {(- 1) ^ k} {[(2k + 1)!] ^ 2} left ( frac {x} {2} right) ^ {4k + 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69dab8cb68e3d5e5a8dccfdf3f6c798775a0490)
![mathrm {bei} (x) sim frac {e ^ { frac {x} { sqrt {2}}}} { sqrt {2 pi x}} [f_1 (x) sin alpha - g_1 (x) cos alpha] - frac { mathrm {ker} (x)} { pi},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ac7c7ceb46b3e4f8fe6307064ff05eeb980e04)
![{ displaystyle { begin {aligned} & mathrm {ker} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {ber} _ {n } (x) + { frac { pi} {4}} mathrm {bei} _ {n} (x) & + { frac {1} {2}} left ({ frac {x } {2}} vpravo) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {x} {2}} vpravo) ^ {n} sum _ {k geq 0} cos left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c861946c574b893b798807b4d330a08838a82c03)
![mathrm {ker} (x) = - ln left ( frac {x} {2} right) mathrm {ber} (x) + frac { pi} {4} mathrm {bei} ( x) + sum_ {k geq 0} (-1) ^ k frac { psi (2k + 1)} {[(2k)!] ^ 2} left ( frac {x ^ 2} {4 } vpravo) ^ {2k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e620fcd5ca5f6cba6b4ba993439a8e6878b3505c)
![mathrm {ker} (x) sim sqrt { frac { pi} {2x}} e ^ {- frac {x} { sqrt {2}}} [f_2 (x) cos beta + g_2 (x) sin beta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6156e93597225fc773d61fff4b8c7b9b2ddc16f2)
![{ displaystyle { begin {aligned} & mathrm {kei} _ {n} (x) = - ln left ({ frac {x} {2}} right) mathrm {bei} _ {n } (x) - { frac { pi} {4}} mathrm {ber} _ {n} (x) & - { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {x } {2}} doprava) ^ {- n} sum _ {k = 0} ^ {n-1} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac { k} {2}} right) pi right] { frac {(nk-1)!} {k!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k} & + { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {x} {2}} vpravo) ^ {n} sum _ {k geq 0} sin left [ left ({ frac {3n} {4}} + { frac {k} {2}} right) pi right] { frac { psi (k + 1) + psi (n + k + 1)} {k! (n + k)!}} left ({ frac {x ^ {2}} {4}} right) ^ {k}. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32a3a0932238e7433d48965287b3ab97f0f245)
![mathrm {kei} (x) = - ln left ( frac {x} {2} right) mathrm {bei} (x) - frac { pi} {4} mathrm {ber} ( x) + sum_ {k geq 0} (-1) ^ k frac { psi (2k + 2)} {[(2k + 1)!] ^ 2} left ( frac {x ^ 2} {4} vpravo) ^ {2k + 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84894452aa4ac878be50e50a42b2a91bd3bce86)
![mathrm {kei} (x) sim - sqrt { frac { pi} {2x}} e ^ {- frac {x} { sqrt {2}}} [f_2 (x) sin beta + g_2 (x) cos beta],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cb3fd63059e08690345a00b76f7425ba1bcc768)