Funkce Hahn – Exton q-Bessel - Hahn–Exton q-Bessel function

V matematice je Hahn – Exton q-Besselova funkce nebo Třetí Jackson q-Besselova funkce je q-analogový z Besselova funkce, a uspokojuje Hahn-Exton q-diferenční rovnice (Swarttouw (1992 )). Tuto funkci zavedl Hahn (1953 ) ve zvláštním případě a do Exton (1983 ) obecně.

Hahn – Exton q-Besselova funkce je dána

{ displaystyle J _ { nu} ^ {(3)} (x; q) = { frac {x ^ { nu} (q ^ { nu +1}; q) _ { infty}} {( q; q) _ { infty}}} sum _ {k geq 0} { frac {(-1) ^ {k} q ^ {k (k + 1) / 2} x ^ {2k}} {(q ^ { nu +1}; q) _ {k} (q; q) _ {k}}} = { frac {(q ^ { nu +1}; q) _ { infty} } {(q; q) _ { infty}}} x ^ { nu} {} _ {1} phi _ {1} (0; q ^ { nu +1}; q, qx ^ {2 }).}

${ displaystyle phi}$ je základní hypergeometrická funkce.

Vlastnosti

Nuly

Koelink a Swarttouw to dokázali ${ displaystyle J _ { nu} ^ {(3)} (x; q)}$ má nekonečné množství skutečných nul. Také to dokázali pro ${ displaystyle nu> -1}$ všechny nenulové kořeny ${ displaystyle J _ { nu} ^ {(3)} (x; q)}$ jsou skutečné (Koelink a Swarttouw (1994 )). Další podrobnosti viz Abreu, Bustoz a Cardoso (2003) a Annaby & Mansour (2009). Nuly Hahn-Extonu q-Besselova funkce se objevuje v diskrétním analogu Daniel Bernoulli problém volných vibrací kusového řetězu (Hahn (1953), Exton (1983) )

Deriváty

Pro (obvyklý) derivát a qderivát ${ displaystyle J _ { nu} ^ {(3)} (x; q)}$ , viz Koelink a Swarttouw (1994 ). Symetrický qderivát ${ displaystyle J _ { nu} ^ {(3)} (x; q)}$ je popsán na Cardoso (2016 ).

Vztah opakování

Hahn – Exton q-Besselova funkce má následující relaci opakování (viz Swarttouw (1992 )):

{ displaystyle J _ { nu +1} ^ {(3)} (x; q) = left ({ frac {1-q ^ { nu}} {x}} + x right) J _ { nu} ^ {(3)} (x; q) -J _ { nu -1} ^ {(3)} (x; q).}

Alternativní zastoupení

Integrální zastoupení

Hahn – Exton q-Besselova funkce má následující integrální zastoupení (viz Ismail a Zhang (2016 )):

{ displaystyle J _ { nu} ^ {(3)} (z; q) = { frac {z ^ { nu}} { sqrt { pi log q ^ {- 2}}}}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { exp left ({ frac {x ^ {2}} { log q ^ {2}}} right)} {(q, -q ^ { nu +1/2} e ^ {ix}, - q ^ {1/2} z ^ {2} e ^ {ix}; q) _ { infty}}} , dx.}

{ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, cdots, a_ {n}; q) _ { infty}: = (a_ {1}; q) _ { infty} (a_ {2}; q) _ { infty} cdots (a_ {n}; q) _ { infty}.}

Integrální zobrazení obrysu viz Prellberg (1995).

Hypergeometrická reprezentace

Hahn – Exton q-Besselova funkce má následující hypergeometrické vyjádření (viz Daalhuis (1994 )):

{ displaystyle J _ { nu} ^ {(3)} (x; q) = x ^ { nu} { frac {(x ^ {2} q; q) _ { infty}} {(q; q) _ { infty}}} _ {1} phi _ {1} (0; x ^ {2} q; q, q ^ { nu +1}).}

To rychle konverguje na ${ displaystyle x to infty}$ . Je to také asymptotická expanze pro ${ displaystyle nu to infty}$ .

Reference

Exton, Harold (1983), q-hypergeometrické funkce a aplikace, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-85312-491-7, PAN 0708496
Hahn, Wolfgang (1953), „Die mechanische Deutung einer geometrischen Differenzengleichung“, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (v němčině), 33 (8–9): 270–272, Bibcode:1953ZaMM ... 33..270H, doi:10,1002 / zamm.19530330811, ISSN 0044-2267, Zbl 0051.15502
Swarttouw, René F. (1992), „Věta o sčítání a některé formule produktu pro Hahn-Exton q-Besselovy funkce ", Kanadský žurnál matematiky, 44 (4): 867–879, doi:10.4153 / CJM-1992-052-6, ISSN 0008-414X, PAN 1178574
Koelink, H. T .; Swarttouw, René F. (1994), „Na nulách Hahn-Extonu q-Besselova funkce a související q-Lommelovy polynomy ", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 186 (3): 690–710, arXiv:matematika / 9703215, Bibcode:Matematika 1997 ... 3215 tis, doi:10.1006 / jmaa.1994.1327, S2CID 14382540
Ismail, M. E. H .; Zhang, R. (2018), „Integral and Series Representations of q-Polynomials and Functions: Part I ", Analýza a aplikace, 16 (2): 209–281, arXiv:1604.08441, doi:10.1142 / S0219530517500129, S2CID 119142457
Daalhuis, A. B. O. (1994), "Asymptotické expanze pro q-Gamma, q-Exponenciální a q-Besselovy funkce. “, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 186 (3): 896–913, doi:10.1006 / jmaa.1994.1339
Swarttouw, René F. (1992), „Hahn-Exton q-Besselova funkce ", PHD Thesis, Delft Technical University
Abreu, L. D .; Bustoz, J .; Cardoso, J. L. (2003), „The Roots of the Third Jackson q-Besselova funkce. ", International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2003 (67): 4241–4248, doi:10.1155 / S016117120320613X
Cardoso, J. L. (2016), „Několik vlastností třetího Jacksona q-Besselova funkce. ", Analýza Mathematica, 42 (4): 323–337, doi:10.1007 / s10476-016-0402-8, S2CID 126278001