Expanze rovinných vln - Plane wave expansion - Wikipedia

v fyzika, expanze rovinných vln vyjadřuje a rovinná vlna jako lineární kombinace z sférické vlny,

${ displaystyle e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {r}} = součet _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) i ^ { ell} j_ { ell} (kr) P _ { ell} ({ hat { mathbf {k}}} cdot { hat { mathbf {r}}}),}$

kde

• i je imaginární jednotka,
• k je vlnový vektor délky k,
• r je vektor polohy délky r,
• j_ℓ jsou sférické Besselovy funkce,
• P_ℓ jsou Legendární polynomy, a
• klobouk ^ označuje jednotkový vektor.

Ve zvláštním případě, kdy k je zarovnán s z-osa,

${ displaystyle e ^ {ikr cos theta} = součet _ { ell = 0} ^ { infty} (2 ell +1) i ^ { ell} j _ { ell} (kr) P_ { ell} ( cos theta),}$

kde θ je sférický polární úhel z r.

Expanze sférických harmonických

S věta o sférické harmonické adici rovnici lze přepsat na

${ displaystyle e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {r}} = 4 pi sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} i ^ { ell} j _ { ell} (kr) Y _ { ell} ^ {m} {} ({ hat { mathbf {k}}}) Y _ { ell} ^ {m * } ({ hat { mathbf {r}}}),}$

kde

• Y_ℓ^m jsou sférické harmonické a
• horní index * označuje komplexní konjugace.

Všimněte si, že komplexní konjugace může být zaměňována mezi dvěma sférickými harmonickými kvůli symetrii.

Aplikace

Rozšíření rovinných vln je aplikováno dovnitř

• Akustika
• Optika
• Teorie kvantového rozptylu

Viz také

• Helmholtzova rovnice
• Metoda expanze rovinných vln ve výpočetním elektromagnetismu
• Weylova expanze

Reference

• Digitální knihovna matematických funkcí, rovnice 10.60.7, Národní institut pro normy a technologii
• Rami Mehrem (2009), Expanze rovinných vln, nekonečné integrály a identity zahrnující sférické Besselovy funkce, arXiv:0909.0494, Bibcode:2009arXiv0909.0494M