Besselovy polynomy - Bessel polynomials

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Besselovy polynomy jsou ortogonální posloupnost polynomy. Existuje celá řada různých, ale úzce souvisejících definic. Definice upřednostňovaná matematiky je dána sérií (Krall & Frink, 1948)

${displaystyle y_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} {frac {(n + k)!} {(nk)! k!}}, vlevo ({frac {x} {2 }} ight) ^ {k}}$

Další definice upřednostňovaná elektrotechniky je někdy známá jako reverzní Besselovy polynomy (Viz Grosswald 1978, Berg 2000).

${displaystyle heta _ {n} (x) = x ^ {n}, y_ {n} (1 / x) = součet _ {k = 0} ^ {n} {frac {(n + k)!} {( nk)! k!}}, {frac {x ^ {nk}} {2 ^ {k}}}}$

Koeficienty druhé definice jsou stejné jako první, ale v opačném pořadí. Například Besselův polynom třetího stupně je

${displaystyle y_ {3} (x) = 15x ^ {3} + 15x ^ {2} + 6x + 1,}$

zatímco reverzní Besselův polynom třetího stupně je

${displaystyle heta _ {3} (x) = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 15x + 15,}$

Zpětný Besselův polynom se používá při návrhu Besselovy elektronické filtry.

Vlastnosti

Definice z hlediska Besselových funkcí

Besselův polynom lze také definovat pomocí Besselovy funkce ze kterého polynom čerpá svůj název.

${displaystyle y_ {n} (x) =, x ^ {n} heta _ {n} (1 / x),}$

${displaystyle y_ {n} (x) = {sqrt {frac {2} {pi x}}}, e ^ {1 / x} K_ {n + {frac {1} {2}}} (1 / x)}$

${displaystyle heta _ {n} (x) = {sqrt {frac {2} {pi}}}, x ^ {n + 1/2} e ^ {x} K_ {n + {frac {1} {2}} }(X)}$

kde K._n(X) je upravená Besselova funkce druhého druhu, y_n(X) je obyčejný polynom a θ_n(X) je reverzní polynom (str. 7 a 34 Grosswald 1978). Například:^[1]

${displaystyle y_ {3} (x) = 15x ^ {3} + 15x ^ {2} + 6x + 1 = {sqrt {frac {2} {pi x}}}, e ^ {1 / x} K_ {3 + {frac {1} {2}}} (1 / x)}$

Definice jako hypergeometrická funkce

Besselův polynom lze také definovat jako a konfluentní hypergeometrická funkce (Dita, 2006)

${displaystyle y_ {n} (x) =, _ {2} F_ {0} (- n, n + 1 ;; - x / 2) = left ({frac {2} {x}} ight) ^ {- n} Uleft (-n, -2n, {frac {2} {x}} ight) = vlevo ({frac {2} {x}} ight) ^ {n + 1} Uleft (n + 1,2n + 2 , {frac {2} {x}} ight).}$

Reverzní Besselův polynom lze definovat jako zobecněný Laguerrův polynom:

${displaystyle heta _ {n} (x) = {frac {n!} {(- 2) ^ {n}}}, L_ {n} ^ {- 2n-1} (2x)}$

z čehož vyplývá, že může být také definována jako hypergeometrická funkce:

${displaystyle heta _ {n} (x) = {frac {(-2n) _ {n}} {(- 2) ^ {n}}} ,, _ {1} F_ {1} (- n; -2n ; -2x)}$

kde (−2n)_n je Pochhammer symbol (rostoucí faktoriál).

Inverze pro monomials darováno

${displaystyle {frac {(2x) ^ {n}} {n!}} = (- 1) ^ {n} součet _ {j = 0} ^ {n} {frac {n + 1} {j + 1} } {j + 1 vyberte nj} L_ {j} ^ {- 2j-1} (2x) = {frac {2 ^ {n}} {n!}} součet _ {i = 0} ^ {n} i! (2i + 1) {2n + 1 zvolte ni} x ^ {i} L_ {i} ^ {(- 2i-1)} vlevo ({frac {1} {x}} vpravo).}$

Generující funkce

Besselovy polynomy s posunutým indexem mají generující funkci

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} {sqrt {frac {2} {pi}}} x ^ {n + {frac {1} {2}}} e ^ {x} K_ {n- {frac {1} {2}}} (x) {frac {t ^ {n}} {n!}} = 1 + xsum _ {n = 1} ^ {infty} heta _ {n-1} (x) { frac {t ^ {n}} {n!}} = e ^ {x (1- {sqrt {1-2t}})}}}$

Rozlišování s ohledem na ${displaystyle t}$, zrušení ${displaystyle x}$, získá generující funkci pro polynomy ${displaystyle {heta _ {n}} _ {ngeq 0}}$

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} heta _ {n} (x) {frac {t ^ {n}} {n!}} = {frac {1} {sqrt {1-2t}}} e ^ {x (1- {sqrt {1-2t}})}.}$

Rekurze

Besselův polynom lze také definovat pomocí rekurzního vzorce:

${displaystyle y_ {0} (x) = 1,}$

${displaystyle y_ {1} (x) = x + 1,}$

${displaystyle y_ {n} (x) = (2n! -! 1) x, y_ {n-1} (x) + y_ {n-2} (x),}$

a

${displaystyle heta _ {0} (x) = 1,}$

${displaystyle heta _ {1} (x) = x + 1,}$

${displaystyle heta _ {n} (x) = (2n! -! 1) heta _ {n-1} (x) + x ^ {2} heta _ {n-2} (x),}$

Diferenciální rovnice

Besselův polynom se řídí následující diferenciální rovnicí:

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} y_ {n} (x)} {dx ^ {2}}} + 2 (x! +! 1) {frac {dy_ {n} (x) } {dx}} - n (n + 1) y_ {n} (x) = 0}$

a

${displaystyle x {frac {d ^ {2} heta _ {n} (x)} {dx ^ {2}}} - 2 (x! +! n) {frac {d heta _ {n} (x)} {dx}} + 2n, heta _ {n} (x) = 0}$

Zobecnění

Výslovný formulář

Zobecnění Besselových polynomů bylo v literatuře navrženo (Krall, Fink) následovně:

${displaystyle y_ {n} (x; alpha, eta): = (- 1) ^ {n} n! left ({frac {x} {eta}} ight) ^ {n} L_ {n} ^ {(1 -2n-alpha)} vlevo ({frac {eta} {x}} vpravo),}$

odpovídající reverzní polynomy jsou

${displaystyle heta _ {n} (x; alpha, eta): = {frac {n!} {(- eta) ^ {n}}} L_ {n} ^ {(1-2n-alpha)} (eta x ) = x ^ {n} y_ {n} vlevo ({frac {1} {x}}; alfa, eta ight).}$

Pro funkci vážení

${displaystyle ho (x; alpha, eta): =, _ {1} F_ {1} vlevo (1, alfa -1, - {frac {eta} {x}} vpravo)}$

jsou pro vztah ortogonální

${displaystyle 0 = mast _ {c} ho (x; alpha, eta) y_ {n} (x; alpha, eta) y_ {m} (x; alpha, eta) mathrm {d} x}$

platí pro m ≠ n a C křivka obklopující 0 bod.

Specializují se na Besselovy polynomy pro α = β = 2, přičemž situace ρ (X) = exp (−2 / X).

Rodriguesův vzorec pro Besselovy polynomy

Rodriguesův vzorec pro Besselovy polynomy jako konkrétní řešení výše uvedené diferenciální rovnice je:

${displaystyle B_ {n} ^ {(alpha, eta)} (x) = {frac {a_ {n} ^ {(alpha, eta)}} {x ^ {alpha} e ^ {- {frac {eta} { x}}}}} vlevo ({frac {d} {dx}} vpravo) ^ {n} (x ^ {alpha + 2n} e ^ {- {frac {eta} {x}}})}}$

kde A^{(α, β)}
_n jsou normalizační koeficienty.

Přidružené Besselovy polynomy

Podle této generalizace máme následující zobecněnou diferenciální rovnici pro přidružené Besselovy polynomy:

${displaystyle x ^ {2} {frac {d ^ {2} B_ {n, m} ^ {(alfa, eta)} (x)} {dx ^ {2}}} + [(alfa +2) x + eta ] {frac {dB_ {n, m} ^ {(alfa, eta)} (x)} {dx}} - vlevo [n (alfa + n + 1) + {frac {m eta} {x}} vpravo] B_ {n, m} ^ {(alfa, eta)} (x) = 0}$

kde ${displaystyle 0leq mleq n}$. Řešení jsou,

${displaystyle B_ {n, m} ^ {(alfa, eta)} (x) = {frac {a_ {n, m} ^ {(alfa, eta)}} {x ^ {alfa + m} e ^ {- {frac {eta} {x}}}}} vlevo ({frac {d} {dx}} ight) ^ {nm} (x ^ {alpha + 2n} e ^ {- {frac {eta} {x}} })}$

Zvláštní hodnoty

Prvních pět Besselových polynomů je vyjádřeno jako:

${displaystyle {egin {aligned} y_ {0} (x) & = 1 y_ {1} (x) & = x + 1 y_ {2} (x) & = 3x ^ {2} + 3x + 1 y_ {3} (x) & = 15x ^ {3} + 15x ^ {2} + 6x + 1 y_ {4} (x) & = 105x ^ {4} + 105x ^ {3} + 45x ^ {2 } + 10x + 1 y_ {5} (x) & = 945x ^ {5} + 945x ^ {4} + 420x ^ {3} + 105x ^ {2} + 15x + 1end {zarovnáno}}}$

Žádný Besselův polynom nelze započítat do polynomů nižšího řádu s přísně racionálními koeficienty.^[2]Pět reverzních Besselových polynomů se získá obrácením koeficientů. ${extstyle heta _ {k} (x) = x ^ {k} y_ {k} (1 / x)}$To má za následek následující:

${displaystyle {egin {aligned} heta _ {0} (x) & = 1 heta _ {1} (x) & = x + 1 heta _ {2} (x) & = x ^ {2} + 3x +3 heta _ {3} (x) & = x ^ {3} + 6x ^ {2} + 15x + 15 heta _ {4} (x) & = x ^ {4} + 10x ^ {3} + 45x ^ {2} + 105x + 105 heta _ {5} (x) & = x ^ {5} + 15x ^ {4} + 105x ^ {3} + 420x ^ {2} + 945x + 945 end {zarovnaný}}}$

Viz také

• Besselova funkce
• Neumannův polynom
• Lommelův polynom
• Hankelova transformace
• Série Fourier – Bessel

Reference

• „On-line encyklopedie celočíselných sekvencí (OEIS)“. Společnost byla založena v roce 1964 Sloanem, N. J. A. The OEIS Foundation Inc.CS1 maint: ostatní (odkaz) (Viz sekvence OEIS: A001497, OEIS: A001498, a OEIS: A104548)
• Berg, Christian; Vignat, C. (2000). "Linearizační koeficienty Besselových polynomů a vlastnosti Student-t distribucí" (PDF). Citováno 2006-08-16.
• Carlitz, Leonard (1957). "Poznámka k Besselovým polynomům". Vévoda Math. J. 24 (2): 151–162. doi:10.1215 / S0012-7094-57-02421-3. PAN  0085360.
• Dita, P .; Grama, Grama, N. (24. května 2006). „O Adomianově metodě rozkladu pro řešení diferenciálních rovnic“. arXiv:solv-int / 9705008.
• Fakhri, H .; Chenaghlou, A. (2006). "Žebříkové operátory a rekurzní vztahy pro přidružené Besselovy polynomy". Fyzikální písmena A. 358 (5–6): 345–353. Bibcode:2006PhLA..358..345F. doi:10.1016 / j.physleta.2006.05.070.
• Grosswald, E. (1978). Besselovy polynomy (přednášky z matematiky). New York: Springer. ISBN  978-0-387-09104-4.
• Krall, H.L .; Frink, O. (1948). „Nová třída ortogonálních polynomů: Besselovy polynomy“. Trans. Amer. Matematika. Soc. 65 (1): 100–115. doi:10.2307/1990516. JSTOR  1990516.
• Roman, S. (1984). Umbral Calculus (Besselovy polynomy §4.1.7). New York: Academic Press. ISBN  978-0-486-44139-9.

externí odkazy

• „Besselovy polynomy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Besselův polynom“. MathWorld.
• OEIS posloupnost A001498 (trojúhelník a (n, k) (n> = 0, 0 <= k <= n) koeficientů Besselových polynomů y_n (x) (exponenty ve vzestupném pořadí))