Série Fourier – Bessel - Fourier–Bessel series - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (únor 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Série Fourier – Bessel je zvláštní druh zobecněná Fourierova řada (an nekonečná řada expanze na konečný interval) na základě Besselovy funkce.

Řada Fourier-Bessel se používá při řešení parciální diferenciální rovnice, zejména v válcová souřadnice systémy. Série tvořená Besselovou funkcí prvního druhu je známá jako Schlömilchova řada.

Definice

Fourierova-Besselova řada funkcí f (x) s doména z [0,b] uspokojující f (b) = 0

${ displaystyle f: [0, b] rightarrow mathbb {R}}$

je reprezentace této funkce jako a lineární kombinace z mnoha ortogonální verze stejné Besselova funkce prvního druhu J_α, kde je argument pro každou verzi n je podle jiného měřítka

${ displaystyle (J _ { alpha}) _ {n} (x): = J _ { alpha} left ({ frac {u _ { alpha, n}} {b}} x right)}$

kde u_{α, n} je vykořenit, očíslované n spojené s Besselovou funkcí J_α a C_n jsou přiřazené koeficienty:

${ displaystyle f (x) sim sum _ {n = 1} ^ { infty} c_ {n} J _ { alpha} left ({ frac {u _ { alpha, n}} {b}} x vpravo).}$

Výklad

Série Fourier-Bessel lze považovat za Fourierovu expanzi v souřadnici ρ válcové souřadnice. Stejně jako Fourierova řada je definován pro konečný interval a má protějšek, spojitá Fourierova transformace v nekonečném intervalu, takže Fourierova-Besselova řada má protějšek v nekonečném intervalu, jmenovitě Hankelova transformace.

Výpočet koeficientů

Jak již bylo řečeno, Besselovy funkce s různým měřítkem jsou vzhledem k vnitřní produkt

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {0} ^ {b} xf (x) g (x) mathrm {d} x}$

podle

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} xJ _ { alpha} (xu _ { alpha, n}) , J _ { alpha} (xu _ { alpha, m}) , dx = { frac { delta _ {mn}} {2}} [J _ { alpha +1} (u _ { alpha, n})] ^ {2}}$,

(kde: ${ displaystyle { delta _ {mn}}}$ je delta Kronecker). Koeficienty lze získat z promítání funkce f (x) na příslušné Besselovy funkce:

${ displaystyle c_ {n} = { frac { langle f, (J _ { alpha}) _ {n} rangle} { langle (J _ { alpha}) _ {n}, (J _ { alpha }) _ {n} rangle}} = { frac { int _ {0} ^ {b} xf (x) (J _ { alpha}) _ {n} (x) mathrm {d} x} {{ frac {1} {2}} (bJ _ { alpha pm 1} (u _ { alpha, n})) ^ {2}}}}$

kde znaménko plus nebo minus je stejně platné.

aplikace

Expanze Fourier-Besselovy řady využívá jako základ neperiodické a rozpadající se Besselovy funkce. Rozšíření řady Fourier – Bessel bylo úspěšně aplikováno v diverzifikovaných oblastech, jako je diagnostika poruch převodovky, diskriminace odorantů v turbulentním prostředí, analýza posturální stability, detekce času nástupu hlasu, detekce okamžitých okamžiků uzavření (epocha), separace formantů řeči, Segmentace signálu EEG, vylepšení řeči a identifikace reproduktoru. Rozšíření řady Fourier – Bessel bylo také použito ke snížení křížových výrazů v distribuci Wigner – Ville.

Dini série

Druhá série Fourier-Bessel, známá také jako Dini série, je spojen s Okrajová podmínka Robin

${ displaystyle bf '(b) + cf (b) = 0}$, kde ${ displaystyle c}$ je libovolná konstanta.

Řadu Dini lze definovat pomocí

${ displaystyle f (x) sim sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n} J _ { alpha} ( gamma _ {n} x / b)}$,

kde ${ displaystyle gamma _ {n}}$ je nnula ${ displaystyle xJ '_ { alpha} (x) + cJ _ { alpha} (x)}$.

Koeficienty ${ displaystyle b_ {n}}$ jsou dány

${ displaystyle b_ {n} = { frac {2 gamma _ {n} ^ {2}} {b ^ {2} (c ^ {2} + gamma _ {n} ^ {2} - alpha ^ {2}) J _ { alpha} ^ {2} ( gamma _ {n})}} int _ {0} ^ {b} J _ { alpha} ( gamma _ {n} x / b) , f (x) , x , dx.}$

Viz také

• Ortogonalita
• Zobecněná Fourierova řada
• Hankelova transformace
• Neumannův polynom

Reference

• Smythe, William R. (1968). Statická a dynamická elektřina (3. vyd.). New York: McGraw-Hill.
• Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Soni, Raj Pal (1966). Vzorce a věty pro speciální funkce matematické fyziky. Berlín: Springer.
• R.B. Pachori a P. Sircar, Nestacionární analýza signálu: Metody založené na Fourier-Besselově znázornění, LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken, Německo, 2010, ISBN  978-3-8433-8807-8.
• J. Schroeder, Zpracování signálu prostřednictvím rozšíření řady Fourier – Bessel, Proces digitálního signálu. 3 (1993), 112–124.
• G. D’Elia, S. Delvecchio a G. Dalpiaz, O použití rozšíření řady Fourier – Bessel pro diagnostiku převodů, Proc. druhé int. Konf. Monitorování stavu strojů v nestacionárním provozu (2012), 267-275.
• A. Vergaraa, E. Martinelli, R. Huerta, A. D’Amico a C. Di Natale, Ortogonální rozklad chemosenzorických signálů: Diskriminační odoranty v turbulentním prostředí, Procedia Engineering 25 (2011), 491–494.
• F.S. Gurgen a C. S. Chen, Vylepšení řeči pomocí Fourier-Besselových koeficientů řeči a šumu, IEE Proc. Comm. Speech Vis. 137 (1990), 290–294.
• K. Gopalan, T. R. Anderson a E. J. Cupples, Srovnání výsledků identifikace mluvčích pomocí funkcí založených na cepstrum a Fourier-Besselově expanzi, IEEE Trans. Proces řeči zvuku. 7 (1999), 289–294.
• R.B. Pachori a P. Sircar, Analýza vícesložkových signálů AM-FM pomocí metody FB-DESA, Digitální zpracování signálu, roč. 20, s. 42-62, leden 2010.
• R.B. Pachori a P. Sircar, Analýza signálu EEG pomocí expanze FB a lineárního procesu TVAR druhého řádu, Zpracování signálu, sv. 88, č. 2, s. 415-420, únor 2008.
• R.B. Pachori a P. Sircar, Nová technika ke snížení křížových podmínek v distribuci Wigner, Digitální zpracování signálu, sv. 17, č. 2, s. 466-474, březen 2007.
• A. Bhattacharyya, L. Singh a R.B. Pachori, Empirická vlnková transformace založená na expanzi řady Fourier-Bessel pro analýzu nestacionárních signálů, Digitální zpracování signálu, sv. 78, s. 185-196, červenec 2018.
• P. Jain a R.B. Pachori, Metoda založená na událostech pro okamžitý odhad základní frekvence z hlasové řeči na základě vlastního čísla rozkladu Hankelovy matice, IEEE / ACM Transaction on Audio, Speech and Language Processing, sv. 22. číslo 10, str. 1467-1482, říjen 2014.
• R.K. Tripathy, A. Bhattacharyya a R.B. Pachori, Nový přístup k detekci infarktu myokardu ze signálů EKG více elektrod, IEEE Sensors Journal, DOI: 10.1109 / JSEN.2019.2896308, 2019.
• V. Gupta a R.B. Pachori, Epileptická identifikace záchvatů pomocí entropie rytmů EBS založených na FBSE, Biomedical Signal Processing and Control, DOI: 10.1016 / j.bspc.2019.101569, 2019.
• R. Katiyar, V. Gupta a R.B. Pachori, Přístup založený na FBSE-EWT pro stanovení dechové frekvence ze signálů PPG, IEEE Sensors Letters, DOI: 10.1109 / LSENS.2019.2926834, 2019.
• R.K. Tripathy, A. Bhattacharyya a R.B. Pachori, Lokalizace infarktu myokardu ze signálů více elektrokardiogramů pomocí neurální sítě s vícestupňovými konvolucemi, IEEE Sensors Journal, DOI: 10.1109 / JSEN.2019.2935552, 2019.
• P. Gajbhiye, R.K. Tripathy a R.B. Pachori, Eliminace očních artefaktů z jednokanálových signálů EEG pomocí rytmů založených na FBSE-EWT, IEEE Sensors Journal, 2019.
• TAK JAKO. Hood, R.B. Pachori, V.K. Reddy a P. Sircar, Parametrické znázornění řeči s využitím vícesložkového modelu signálu AFM, International Journal of Speech Technology, sv. 18, číslo 03, s. 287-303, září 2015.
• A. Anuragi, D. Sisodia a RB Pachori, Automatická detekce alkoholismu pomocí empirické vlnkové transformace založené na expanzi řady Fourier-Bessel, IEEE Sensors Journal, DOI: 10.1109 / JSEN.2020.2966766, 2020.
• T. Siddharth, P. Gajbhiye, R.K. Tripathy a R.B. Pachori, EEG detekce oblasti ohniskového záchvatu pomocí rytmu FBSE-EWT a sítě SAE-SVM, IEEE Sensors Journal, DOI: 10.1109 / JSEN.2020.2995749.
• V. Gupta a R.B. Pachori, Klasifikace ohniskových signálů EEG pomocí pružné vlnkové transformace časově-frekvenčního pokrytí na základě FBSE, Zpracování a kontrola biomedicínských signálů, DOI: https://doi.org/10.1016/j.bspc.2020.102124.
• A. Bhattacharyya, R.K. Tripathy, L. Garg a R.B. Pachori, Nový multivariační multiscale přístup k výpočtu EEG spektrální a časové složitosti pro rozpoznávání lidských emocí, IEEE Sensors Journal, DOI: 10.1109 / JSEN.2020.3027181.
• P.K. Chaudhary a R.B. Pachori, Automatická diagnostika glaukomu pomocí dvourozměrné empirické vlnkové transformace založené na expanzi řady Fourier-Bessel, Zpracování a kontrola biomedicínských signálů, DOI: https://doi.org/10.1016/j.bspc.2020.102237.
• V. Gupta a R.B. Pachori, FBDM časově-frekvenční reprezentace pro klasifikaci spánkových fází pomocí signálů EEG, Zpracování a kontrola biomedicínských signálů, DOI: https://doi.org/10.1016/j.bspc.2020.102265.

externí odkazy

• "Fourier-Besselova řada", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric. Ž. "Fourier-Besselova řada". Z MathWorld - Webový zdroj Wolfram.
• Série Fourier-Bessel aplikovaná na analýzu akustického pole dne Výzkumná stránka společnosti Trinnov Audio