Funkce Bessel – Clifford - Bessel–Clifford function
v matematická analýza, Funkce Bessel – Clifford, pojmenoval podle Friedrich Bessel a William Kingdon Clifford, je celá funkce ze dvou komplexní proměnné které lze použít k poskytnutí alternativního vývoje teorie Besselovy funkce. Li
je celá funkce definovaná pomocí reciproční funkce gama, pak je Bessel – Cliffordova funkce definována řadou
Poměr po sobě jdoucích podmínek je z/k(n + k), který pro všechny hodnoty z a n s narůstající tendencí k nulek. Podle poměrový test, tato řada konverguje naprosto pro všechny z ana jednotně pro všechny regiony s ohraničeným |z|, a proto je funkce Bessel – Clifford celá funkce dvou komplexních proměnných n az.
Diferenciální rovnice Besselovy-Cliffordovy funkce
Z výše uvedené řady vyplývá rozlišování s ohledem na X že uspokojuje lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu
Tato rovnice je zobecněného hypergeometrického typu a ve skutečnosti je funkce Bessel – Clifford až do měřítka a Pochhammer – Barnesova hypergeometrická funkce; my máme
Pokud n není záporné celé číslo, v takovém případě není definována pravá strana, jsou obě definice v zásadě ekvivalentní; hypergeometrická funkce je normalizována tak, aby její hodnota byla z = 0 je jedna.
Vztah k Besselovým funkcím
The Besselova funkce prvního druhu lze definovat z hlediska funkce Bessel – Clifford jako
když n není celé číslo, z čehož vidíme, že Besselova funkce není celá. Podobně lze definovat modifikovanou Besselovu funkci prvního druhu jako
Postup lze samozřejmě obrátit, abychom mohli definovat funkci Bessel – Clifford jako
ale od tohoto výchozího bodu bychom pak museli ukázat byl celý.
Vztah opakování
Z definující řady to okamžitě vyplývá
Pomocí toho můžeme přepsat diferenciální rovnici pro tak jako
který definuje vztah opakování pro funkci Bessel – Clifford. To odpovídá obdobnému vztahu pro 0F1. Jako zvláštní případ máme Gaussova pokračující část
Je možné ukázat, že tato pokračující část konverguje ve všech případech.
Besselova-Cliffordova funkce druhého druhu
Bessel – Cliffordova diferenciální rovnice
má dvě lineárně nezávislá řešení. Protože počátek je pravidelným singulárním bodem diferenciální rovnice a od té doby je celé, druhé řešení musí být v počátcích singulární.
Pokud jsme nastavili
který konverguje pro , a analyticky v něm pokračujeme, získáme druhé lineárně nezávislé řešení diferenciální rovnice.
Faktor 1/2 je vložen za účelem provedení odpovídají Besselovým funkcím druhého druhu. My máme
a
Ve smyslu K., my máme
Tudíž stejně jako Besselovu funkci a modifikovanou Besselovu funkci prvního druhu lze vyjádřit jak z hlediska , oba druhy lze vyjádřit pomocí .
Generující funkce
Pokud vynásobíme absolutně konvergentní řadu pro exp (t) a exp (z/t) společně získáme (kdy t není nula) absolutně konvergentní řada pro exp (t + z/t). Shromažďování termínů v t, najdeme ve srovnání s definicí výkonové řady pro které máme
Tuto generovací funkci lze poté použít k získání dalších vzorců, které můžeme zejména použít Cauchyho integrální vzorec a získat pro celé číslo n tak jako
Reference
Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Srpna 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
- Clifford, William Kingdon (1882), "On Bessel's Functions", Matematické papíry, Londýn: 346–349.
- Greenhill, A. George (1919), „Funkce Bessel – Clifford a její aplikace“, Filozofický časopis, Šestá série: 501–528.
- Legendre, Adrien-Marie (1802), Éléments de Géometrie, Poznámka IV, Paříž.
- Schläfli, Ludwig (1868), „Sulla relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 2 (I): 232–242.
- Watson, G. N. (1944), Pojednání o teorii Besselových funkcí (Second ed.), Cambridge: Cambridge University Press.
- Wallisser, Rolf (2000), „O Lambertově důkazu iracionality π“, Halter-Koch, Franz; Tichy, Robert F. (eds.), Algebraická teorie čísel a analýza diofantinů, Berlín: Walter de Gruyer, ISBN 3-11-016304-7.