Série Schlömilchs - Schlömilchs series - Wikipedia

Schlömilchova řada je Fourierova řada typová expanze dvakrát spojitě diferencovatelné funkce v intervalu ${ displaystyle (0, pi)}$ z hlediska Besselova funkce prvního druhu, pojmenovaný po německém matematikovi Oskar Schlömilch, který odvodil sérii v roce 1857^{[1][2][3][4][5]}. Funkce se skutečnou hodnotou ${ displaystyle f (x)}$ má následující rozšíření:

${ displaystyle f (x) = a_ {0} + součet _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} J_ {0} (nx),}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {0} & = f (0) + { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} int _ {0} ^ { pi / 2} uf '(u sin theta) d theta du, a_ {n} & = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi } int _ {0} ^ { pi / 2} u cos nu f '(u sin theta) d theta du. end {zarovnáno}}}$

Příklady

Některé příklady Schlömilchovy série jsou následující:

• ${ displaystyle x = { frac { pi ^ {2}} {4}} - 2 sum _ {n = 1,3, ...} ^ { infty} { frac {J_ {0} ( nx)} {n ^ {2}}}, quad 0$
• ${ displaystyle x ^ {2} = { frac {2 pi ^ {2}} {3}} + 8 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { n}} {n ^ {2}}} J_ {0} (nx), quad - pi$

Reference