Neumannův polynom - Neumann polynomial

V matematice je Neumannovy polynomy, představil Carl Neumann pro zvláštní případ ${ displaystyle alpha = 0}$, jsou posloupností polynomů v ${ displaystyle 1 / t}$ slouží k rozšíření funkcí z hlediska Besselovy funkce.^[1]

Prvních několik polynomů je

${ displaystyle O_ {0} ^ {( alpha)} (t) = { frac {1} {t}},}$

${ displaystyle O_ {1} ^ {( alfa)} (t) = 2 { frac { alfa +1} {t ^ {2}}},}$

${ displaystyle O_ {2} ^ {( alpha)} (t) = { frac {2+ alpha} {t}} + 4 { frac {(2+ alpha) (1+ alpha)} {t ^ {3}}},}$

${ displaystyle O_ {3} ^ {( alpha)} (t) = 2 { frac {(1+ alpha) (3+ alpha)} {t ^ {2}}} + 8 { frac { (1+ alpha) (2+ alpha) (3+ alpha)} {t ^ {4}}},}$

${ displaystyle O_ {4} ^ {( alpha)} (t) = { frac {(1+ alpha) (4+ alpha)} {2t}} + 4 { frac {(1+ alpha ) (2+ alpha) (4+ alpha)} {t ^ {3}}} + 16 { frac {(1+ alpha) (2+ alpha) (3+ alpha) (4+ alfa)} {t ^ {5}}}.}$

Obecná forma polynomu je

${ displaystyle O_ {n} ^ {( alpha)} (t) = { frac { alpha + n} {2 alpha}} sum _ {k = 0} ^ { lfloor n / 2 rfloor } (- 1) ^ {nk} { frac {(nk)!} {K!}} {- alpha vyberte nk} left ({ frac {2} {t}} right) ^ {n + 1-2k},}$

a mají „generující funkci“

${ displaystyle { frac { left ({ frac {z} {2}} right) ^ { alpha}} { Gamma ( alpha +1)}} { frac {1} {tz}} = sum _ {n = 0} O_ {n} ^ {( alpha)} (t) J _ { alpha + n} (z),}$

kde J jsou Besselovy funkce.

Chcete-li rozšířit funkci F ve formě

${ displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} a_ {n} J _ { alfa + n} (z) ,}$

pro ${ displaystyle | z |$, vypočítat

${ displaystyle a_ {n} = { frac {1} {2 pi i}} mast _ {| z | = c '} { frac { Gamma ( alpha +1)} { left ({ frac {z} {2}} vpravo) ^ { alpha}}} f (z) O_ {n} ^ {( alpha)} (z) , dz,}$

kde ${ displaystyle c '$ a C je vzdálenost nejbližší singularity ${ displaystyle z ^ {- alpha} f (z)}$ z ${ displaystyle z = 0}$.

Příklady

Příkladem je rozšíření

${ displaystyle left ({ tfrac {1} {2}} z right) ^ {s} = gama (s) cdot sum _ {k = 0} (- 1) ^ {k} J_ { s + 2k} (z) (s + 2k) {- s vyberte k},}$

nebo obecnější Soninův vzorec^[2]

${ Displaystyle e ^ {i gamma z} = gama (s) cdot sum _ {k = 0} i ^ {k} C_ {k} ^ {(s)} ( gamma) (s + k ) { frac {J_ {s + k} (z)} { left ({ frac {z} {2}} right) ^ {s}}}.}$

kde ${ displaystyle C_ {k} ^ {(s)}}$ je Gegenbauerův polynom. Pak,^{[Citace je zapotřebí ][původní výzkum? ]}

${ displaystyle { frac { left ({ frac {z} {2}} right) ^ {2k}} {(2k-1)!}} J_ {s} (z) = sum _ {i = k} (- 1) ^ {ik} {i + k-1 vyberte 2k-1} {i + k + s-1 vyberte 2k-1} (s + 2i) J_ {s + 2i} (z ),}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} t ^ {n} J_ {s + n} (z) = { frac {e ^ { frac {tz} {2}}} {t ^ {s}} } sum _ {j = 0} { frac { left (- { frac {z} {2t}} right) ^ {j}} {j!}} { frac { gamma left (j + s, { frac {tz} {2}} right)} {, Gamma (j + s)}} = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { frac {zx ^ {2}} {2t}}} { frac {zx} {t}} { frac {J_ {s} (z { sqrt {1-x ^ {2}}})}} {{ sqrt { 1-x ^ {2}}} ^ {s}}} , dx,}$

the konfluentní hypergeometrická funkce

${ displaystyle M (a, s, z) = gama (s) součet _ {k = 0} ^ { infty} left (- { frac {1} {t}} right) ^ {k } L_ {k} ^ {(- ak)} (t) { frac {J_ {s + k-1} left (2 { sqrt {tz}} right)} {({ sqrt {tz} }) ^ {sk-1}}},}$

a zejména

${ displaystyle { frac {J_ {s} (2z)} {z ^ {s}}} = { frac {4 ^ {s} Gamma left (s + { frac {1} {2}} right)} { sqrt { pi}}} e ^ {2iz} sum _ {k = 0} L_ {k} ^ {(- s-1/2-k)} left ({ frac {it } {4}} right) (4iz) ^ {k} { frac {J_ {2s + k} left (2 { sqrt {tz}} right)} {{ sqrt {tz}} ^ { 2 s + k}}},}$

vzorec posunu indexu

${ displaystyle Gamma ( nu - mu) J _ { nu} (z) = Gamma ( mu +1) součet _ {n = 0} { frac { Gamma ( nu - mu + n)} {n! Gamma ( nu + n + 1)}} vlevo ({ frac {z} {2}} vpravo) ^ { nu - mu + n} J _ { mu + n } (z),}$

Taylorova expanze (adiční vzorec)

${ displaystyle { frac {J_ {s} left ({ sqrt {z ^ {2} -2uz}} right)} { left ({ sqrt {z ^ {2} -2uz}} right ) ^ { pm s}}} = sum _ {k = 0} { frac {( pm u) ^ {k}} {k!}} { frac {J_ {s pm k} (z )} {z ^ { pm s}}},}$

(srov.^{[3][ověření se nezdařilo ]}) a rozšíření integrálu Besselovy funkce,

${ displaystyle int J_ {s} (z) dz = 2 součet _ {k = 0} J_ {s + 2k + 1} (z),}$

jsou stejného typu.

Viz také

• Besselova funkce
• Besselův polynom
• Lommelův polynom
• Hankelova transformace
• Série Fourier – Bessel
• Schläfli-polynom

Poznámky