Jacobi – Angerova expanze - Jacobi–Anger expansion
Expanze exponenciálů trigonometrických funkcí na základě jejich harmonických
v matematika , Jacobi – Angerova expanze (nebo Jacobi – Angerova identita ) je expanze exponenciálu trigonometrické funkce na základě jejich harmonických. Je to užitečné ve fyzice (například pro konvertovat mezi rovinné vlny a válcové vlny ) a v zpracování signálu (popsat FM signály). Tato identita je pojmenována podle matematiků 19. století Carl Jacobi a Carl Theodor Anger .
Nejobecnější identita je dána:[1] [2]
E i z cos θ ≡ ∑ n = − ∞ ∞ i n J n ( z ) E i n θ , { displaystyle e ^ {iz cos theta} equiv sum _ {n = - infty} ^ { infty} i ^ {n} , J_ {n} (z) , e ^ {v theta},} kde J n ( z ) { displaystyle J_ {n} (z)} n { displaystyle n} Besselova funkce prvního druhu a i { displaystyle i} imaginární jednotka , i 2 = − 1. { textstyle i ^ {2} = - 1.} θ { textstyle theta} θ − π 2 { textstyle theta - { frac { pi} {2}}}
E i z hřích θ ≡ ∑ n = − ∞ ∞ J n ( z ) E i n θ . { displaystyle e ^ {iz sin theta} equiv sum _ {n = - infty} ^ { infty} J_ {n} (z) , e ^ {in theta}.} Použití relace J − n ( z ) = ( − 1 ) n J n ( z ) , { displaystyle J _ {- n} (z) = (- 1) ^ {n} , J_ {n} (z),} n { displaystyle n} [1] [2]
E i z cos θ ≡ J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ i n J n ( z ) cos ( n θ ) . { displaystyle e ^ {iz cos theta} equiv J_ {0} (z) , + , 2 , sum _ {n = 1} ^ { infty} , i ^ {n} , J_ {n} (z) , cos , (n theta).} Reálné výrazy Často jsou užitečné i následující varianty se skutečnou hodnotou:[3]
cos ( z cos θ ) ≡ J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n J 2 n ( z ) cos ( 2 n θ ) , hřích ( z cos θ ) ≡ − 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n J 2 n − 1 ( z ) cos [ ( 2 n − 1 ) θ ] , cos ( z hřích θ ) ≡ J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n ( z ) cos ( 2 n θ ) , hřích ( z hřích θ ) ≡ 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n − 1 ( z ) hřích [ ( 2 n − 1 ) θ ] . { displaystyle { begin {zarovnaný} cos (z cos theta) & equiv J_ {0} (z) +2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n } J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z cos theta) & equiv -2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} J_ {2n-1} (z) cos left [ left (2n-1 right) theta right], cos (z sin theta) & equiv J_ {0} (z) +2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z sin theta) & equiv 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n-1} (z) sin left [ left (2n-1 right) theta right]. end {aligned}}} Viz také Poznámky ^ A b Colton & Kress (1998), str. 32. ^ A b Cuyt et al. (2008) s. 344. ^ Abramowitz a Stegun (1965) p. 361, 9.1.42–45 Reference Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 9“ . Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 355. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . PAN 0167642 . LCCN 65-12253 .Colton, David; Kress, Rainer (1998), Inverzní teorie akustického a elektromagnetického rozptylu , Aplikované matematické vědy, 93 (2. vyd.), ISBN 978-3-540-62838-5 Cuyt, Annie; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008), Příručka pokračujících zlomků pro speciální funkce Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2 externí odkazy
![{ displaystyle { begin {aligned} cos (z cos theta) & equiv J_ {0} (z) +2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n } J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z cos theta) & equiv -2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} J_ {2n-1} (z) cos left [ left (2n-1 right) theta right], cos (z sin theta) & equiv J_ {0} (z) +2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n} (z) cos (2n theta), sin (z sin theta) & equiv 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n-1} (z) sin left [ left (2n-1 right) theta right]. end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479f84bed8d8c7faf30d65a780f65362e242bf92)