V matematice, a Jackson q -Besselova funkce (nebo základní Besselova funkce ) je jedním ze tří q -analogy z Besselova funkce představil Jackson (1906a , 1906b , 1905a , 1905b ). Třetí Jackson q -Besselova funkce je stejná jako Hahn – Exton q -Besselova funkce .
Definice Tři Jackson q -Besselovy funkce jsou uvedeny z hlediska q -Pochhammer symbol a základní hypergeometrická funkce ϕ { displaystyle phi} podle
J ν ( 1 ) ( X ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( X / 2 ) ν 2 ϕ 1 ( 0 , 0 ; q ν + 1 ; q , − X 2 / 4 ) , | X | < 2 , { displaystyle J _ { nu} ^ {(1)} (x; q) = { frac {(q ^ { nu +1}; q) _ { infty}} {(q; q) _ { infty}}} (x / 2) ^ { nu} {} _ {2} phi _ {1} (0,0; q ^ { nu +1}; q, -x ^ {2} / 4), quad | x | <2,} J ν ( 2 ) ( X ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( X / 2 ) ν 0 ϕ 1 ( ; q ν + 1 ; q , − X 2 q ν + 1 / 4 ) , X ∈ C , { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = { frac {(q ^ { nu +1}; q) _ { infty}} {(q; q) _ { infty}}} (x / 2) ^ { nu} {} _ {0} phi _ {1} (; q ^ { nu +1}; q, -x ^ {2} q ^ { nu +1} / 4), quad x in mathbb {C},} J ν ( 3 ) ( X ; q ) = ( q ν + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( X / 2 ) ν 1 ϕ 1 ( 0 ; q ν + 1 ; q , q X 2 / 4 ) , X ∈ C . { displaystyle J _ { nu} ^ {(3)} (x; q) = { frac {(q ^ { nu +1}; q) _ { infty}} {(q; q) _ { infty}}} (x / 2) ^ { nu} {} _ {1} phi _ {1} (0; q ^ { nu +1}; q, qx ^ {2} / 4), quad x in mathbb {C}.} Mohou být redukovány na Besselovu funkci kontinuálním limitem:
lim q → 1 J ν ( k ) ( X ( 1 − q ) ; q ) = J ν ( X ) , k = 1 , 2 , 3. { displaystyle lim _ {q až 1} J _ { nu} ^ {(k)} (x (1-q); q) = J _ { nu} (x), k = 1,2, 3.} Existuje vzorec spojení mezi prvním a druhým Jacksonem q -Besselova funkce (Gasper & Rahman (2004) ):
J ν ( 2 ) ( X ; q ) = ( − X 2 / 4 ; q ) ∞ J ν ( 1 ) ( X ; q ) , | X | < 2. { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = (- x ^ {2} / 4; q) _ { infty} J _ { nu} ^ {(1)} (x ; q), | x | <2.} Pro celočíselné pořadí je q -Besselovy funkce uspokojí
J n ( k ) ( − X ; q ) = ( − 1 ) n J n ( k ) ( X ; q ) , n ∈ Z , k = 1 , 2 , 3. { displaystyle J_ {n} ^ {(k)} (- x; q) = (- 1) ^ {n} J_ {n} ^ {(k)} (x; q), n v mathbb {Z}, k = 1,2,3.} Vlastnosti Negativní celočíselná objednávka Použitím vztahů (Gasper & Rahman (2004) ):
( q m + 1 ; q ) ∞ = ( q m + n + 1 ; q ) ∞ ( q m + 1 ; q ) n , { displaystyle (q ^ {m + 1}; q) _ { infty} = (q ^ {m + n + 1}; q) _ { infty} (q ^ {m + 1}; q) _ {n},} ( q ; q ) m + n = ( q ; q ) m ( q m + 1 ; q ) n , m , n ∈ Z , { displaystyle (q; q) _ {m + n} = (q; q) _ {m} (q ^ {m + 1}; q) _ {n}, m, n v mathbb {Z },} získáváme
J − n ( k ) ( X ; q ) = ( − 1 ) n J n ( k ) ( X ; q ) , k = 1 , 2. { displaystyle J _ {- n} ^ {(k)} (x; q) = (- 1) ^ {n} J_ {n} ^ {(k)} (x; q), k = 1,2 .} Nuly Hahn to zmínil J ν ( 2 ) ( X ; q ) { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q)} má nekonečně mnoho skutečných nul (Hahn (1949 )). Ismail to dokázal pro ν > − 1 { displaystyle nu> -1} všechny nenulové kořeny J ν ( 2 ) ( X ; q ) { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q)} jsou skutečné (Ismail (1982 )).
Poměr q -Besselovy funkce Funkce − i X − 1 / 2 J ν + 1 ( 2 ) ( i X 1 / 2 ; q ) / J ν ( 2 ) ( i X 1 / 2 ; q ) { displaystyle -ix ^ {- 1/2} J _ { nu +1} ^ {(2)} (ix ^ {1/2}; q) / J _ { nu} ^ {(2)} (ix ^ {1/2}; q)} je zcela monotónní funkce (Ismail (1982 )).
Vztahy opakování První a druhý Jackson q -Besselova funkce má následující relace opakování (viz Ismail (1982) a Gasper & Rahman (2004) ):
q ν J ν + 1 ( k ) ( X ; q ) = 2 ( 1 − q ν ) X J ν ( k ) ( X ; q ) − J ν − 1 ( k ) ( X ; q ) , k = 1 , 2. { displaystyle q ^ { nu} J _ { nu +1} ^ {(k)} (x; q) = { frac {2 (1-q ^ { nu})} {x}} J_ { nu} ^ {(k)} (x; q) -J _ { nu -1} ^ {(k)} (x; q), k = 1,2.} J ν ( 1 ) ( X q ; q ) = q ± ν / 2 ( J ν ( 1 ) ( X ; q ) ± X 2 J ν ± 1 ( 1 ) ( X ; q ) ) . { displaystyle J _ { nu} ^ {(1)} (x { sqrt {q}}; q) = q ^ { pm nu / 2} left (J _ { nu} ^ {(1) } (x; q) pm { frac {x} {2}} J _ { nu pm 1} ^ {(1)} (x; q) vpravo).} Nerovnosti Když ν > − 1 { displaystyle nu> -1} , druhý Jackson q -Besselova funkce splňuje: | J ν ( 2 ) ( z ; q ) | ≤ ( − q ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( | z | 2 ) ν exp { log ( | z | 2 q ν / 4 ) 2 log q } . { displaystyle left | J _ { nu} ^ {(2)} (z; q) vpravo | leq { frac {(- { sqrt {q}}; q) _ { infty}} { (q; q) _ { infty}}} left ({ frac {| z |} {2}} right) ^ { nu} exp left {{ frac { log left ( | z | ^ {2} q ^ { nu} / 4 right)} {2 log q}} right }.} (viz Zhang (2006 ).)
Pro n ∈ Z { displaystyle n in mathbb {Z}} , | J n ( 2 ) ( z ; q ) | ≤ ( − q n + 1 ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( | z | 2 ) n ( − | z | 2 ; q ) ∞ . { displaystyle left | J_ {n} ^ {(2)} (z; q) right | leq { frac {(-q ^ {n + 1}; q) _ { infty}} {( q; q) _ { infty}}} left ({ frac {| z |} {2}} right) ^ {n} (- | z | ^ {2}; q) _ { infty} .} (viz Koelink (1993 ).)
Funkce generování Následující vzorce jsou q -analog generující funkce pro Besselovu funkci (viz Gasper & Rahman (2004) ):
∑ n = − ∞ ∞ t n J n ( 2 ) ( X ; q ) = ( − X 2 / 4 ; q ) ∞ E q ( X t / 2 ) E q ( − X / 2 t ) , { displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} t ^ {n} J_ {n} ^ {(2)} (x; q) = (- x ^ {2} / 4; q ) _ { infty} e_ {q} (xt / 2) e_ {q} (- x / 2t),} ∑ n = − ∞ ∞ t n J n ( 3 ) ( X ; q ) = E q ( X t / 2 ) E q ( − q X / 2 t ) . { displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} t ^ {n} J_ {n} ^ {(3)} (x; q) = e_ {q} (xt / 2) E_ { q} (- qx / 2t).} E q { displaystyle e_ {q}} je q -exponenciální funkce.
Alternativní zastoupení Integrovaná prohlášení Druhý Jackson q -Besselova funkce má následující integrální reprezentace (viz Rahman (1987) a Ismail & Zhang (2018a) ):
J ν ( 2 ) ( X ; q ) = ( q 2 ν ; q ) ∞ 2 π ( q ν ; q ) ∞ ( X / 2 ) ν ⋅ ∫ 0 π ( E 2 i θ , E − 2 i θ , − i X q ( ν + 1 ) / 2 2 E i θ , − i X q ( ν + 1 ) / 2 2 E − i θ ; q ) ∞ ( E 2 i θ q ν , E − 2 i θ q ν ; q ) ∞ d θ , { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = { frac {(q ^ {2 nu}; q) _ { infty}} {2 pi (q ^ { nu}; q) _ { infty}}} (x / 2) ^ { nu} cdot int _ {0} ^ { pi} { frac { left (e ^ {2i theta}, e ^ {- 2i theta}, - { frac {ixq ^ {( nu +1) / 2}} {2}} e ^ {i theta}, - { frac {ixq ^ {( nu +1) / 2}} {2}} e ^ {- i theta}; q right) _ { infty}} {(e ^ {2i theta} q ^ { nu}, e ^ {- 2i theta} q ^ { nu}; q) _ { infty}}} , d theta,} ( A 1 , A 2 , ⋯ , A n ; q ) ∞ := ( A 1 ; q ) ∞ ( A 2 ; q ) ∞ ⋯ ( A n ; q ) ∞ , ℜ ν > 0 , { displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, cdots, a_ {n}; q) _ { infty}: = (a_ {1}; q) _ { infty} (a_ {2}; q) _ { infty} cdots (a_ {n}; q) _ { infty}, Re nu> 0,} kde ( A ; q ) ∞ { displaystyle (a; q) _ { infty}} je q -Pochhammer symbol . Tato reprezentace se redukuje na integrální reprezentaci Besselovy funkce v limitu q → 1 { displaystyle q až 1} .
J ν ( 2 ) ( z ; q ) = ( z / 2 ) ν 2 π log q − 1 ∫ − ∞ ∞ ( q ν + 1 / 2 z 2 E i X 4 ; q ) ∞ exp ( X 2 log q 2 ) ( q , − q ν + 1 / 2 E i X ; q ) ∞ d X . { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (z; q) = { frac {(z / 2) ^ { nu}} { sqrt {2 pi log q ^ {- 1} }}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { left ({ frac {q ^ { nu +1/2} z ^ {2} e ^ {ix}} {4 }}; q right) _ { infty} exp left ({ frac {x ^ {2}} { log q ^ {2}}} right)} {(q, -q ^ { nu +1/2} e ^ {ix}; q) _ { infty}}} , dx.} Hypergeometrická zobrazení Druhý Jackson q -Besselova funkce má následující hypergeometrické reprezentace (viz Koelink (1993 ), Chen, Ismail a Muttalib (1994 )):
J ν ( 2 ) ( X ; q ) = ( X / 2 ) ν ( q ; q ) ∞ 1 ϕ 1 ( − X 2 / 4 ; 0 ; q , q ν + 1 ) , { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = { frac {(x / 2) ^ { nu}} {(q; q) _ { infty}}} _ {1} phi _ {1} (- x ^ {2} / 4; 0; q, q ^ { nu +1}),} J ν ( 2 ) ( X ; q ) = ( X / 2 ) ν ( q ; q ) ∞ 2 ( q ; q ) ∞ [ F ( X / 2 , q ( ν + 1 / 2 ) / 2 ; q ) + F ( − X / 2 , q ( ν + 1 / 2 ) / 2 ; q ) ] , F ( X , A ; q ) := ( i A X ; q ) ∞ 3 ϕ 2 ( A , − A , 0 − q , i A X ; q , q ) . { displaystyle J _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = { frac {(x / 2) ^ { nu} ({ sqrt {q}}; q) _ { infty} } {2 (q; q) _ { infty}}} [f (x / 2, q ^ {( nu +1/2) / 2}; q) + f (-x / 2, q ^ { ( nu +1/2) / 2}; q)], f (x, a; q): = (iax; { sqrt {q}}) _ { infty} _ {3} phi _ {2} left ({ begin {matrix} a, & - a, & 0 - { sqrt {q}}, & iax end {matrix}}; { sqrt {q}}, { sqrt {q}} vpravo).} Asymptotickou expanzi lze získat jako okamžitý důsledek druhého vzorce.
Další hypergeometrické reprezentace viz Rahman (1987) .
Upraveno q -Besselovy funkce The q -analog upravených Besselových funkcí je definován Jacksonem q -Besselova funkce (Ismail (1981) a Olshanetsky & Rogov (1995) ):
Já ν ( j ) ( X ; q ) = E i ν π / 2 J ν ( j ) ( X ; q ) , j = 1 , 2. { displaystyle I _ { nu} ^ {(j)} (x; q) = e ^ {i nu pi / 2} J _ { nu} ^ {(j)} (x; q), j = 1,2.} K. ν ( j ) ( X ; q ) = π 2 hřích ( π ν ) { Já − ν ( j ) ( X ; q ) − Já ν ( j ) ( X ; q ) } , j = 1 , 2 , ν ∈ C − Z , { displaystyle K _ { nu} ^ {(j)} (x; q) = { frac { pi} {2 sin ( pi nu)}} vlevo {I _ {- nu} ^ {(j)} (x; q) -I _ { nu} ^ {(j)} (x; q) doprava }, j = 1,2, nu v mathbb {C} - mathbb {Z},} K. n ( j ) ( X ; q ) = lim ν → n K. ν ( j ) ( X ; q ) , n ∈ Z . { displaystyle K_ {n} ^ {(j)} (x; q) = lim _ { nu to n} K _ { nu} ^ {(j)} (x; q), n v mathbb {Z}.} Mezi upravenými funkcemi q-Bessel existuje vzorec připojení:
Já ν ( 2 ) ( X ; q ) = ( − X 2 / 4 ; q ) ∞ Já ν ( 1 ) ( X ; q ) . { displaystyle I _ { nu} ^ {(2)} (x; q) = (- x ^ {2} / 4; q) _ { infty} I _ { nu} ^ {(1)} (x ; q).} Statistické aplikace viz Kemp (1997) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFKemp1997 (Pomoc) .
Vztahy opakování Podle Jacksonova vztahu opakování q -Besselovy funkce a definice modifikovaných q -Besselovy funkce, lze získat následující relaci opakování ( K. ν ( j ) ( X ; q ) { displaystyle K _ { nu} ^ {(j)} (x; q)} také splňuje stejný vztah) (Ismail (1981) ):
q ν Já ν + 1 ( j ) ( X ; q ) = 2 z ( 1 − q ν ) Já ν ( j ) ( X ; q ) + Já ν − 1 ( j ) ( X ; q ) , j = 1 , 2. { displaystyle q ^ { nu} I _ { nu +1} ^ {(j)} (x; q) = { frac {2} {z}} (1-q ^ { nu}) I_ { nu} ^ {(j)} (x; q) + I _ { nu -1} ^ {(j)} (x; q), j = 1,2.} Další relace opakování viz Olshanetsky & Rogov (1995) .
Trvalé vyjádření zlomku Poměr upravených q -Besselovy funkce tvoří pokračující zlomek (Ismail (1981) ):
Já ν ( 2 ) ( z ; q ) Já ν − 1 ( 2 ) ( z ; q ) = 1 2 ( 1 − q ν ) / z + q ν 2 ( 1 − q ν + 1 ) / z + q ν + 1 2 ( 1 − q ν + 2 ) / z + ⋱ . { displaystyle { frac {I _ { nu} ^ {(2)} (z; q)} {I _ { nu -1} ^ {(2)} (z; q)}} = { cfrac { 1} {2 (1-q ^ { nu}) / z + { cfrac {q ^ { nu}} {2 (1-q ^ { nu +1}) / z + { cfrac {q ^ { nu +1}} {2 (1-q ^ { nu +2}) / z + ddots}}}}}}} Alternativní zastoupení Hypergeometrická zobrazení Funkce Já ν ( 2 ) ( z ; q ) { displaystyle I _ { nu} ^ {(2)} (z; q)} má následující zastoupení (Ismail & Zhang (2018b) ):
Já ν ( 2 ) ( z ; q ) = ( z / 2 ) ν ( q , q ) ∞ 1 ϕ 1 ( z 2 / 4 ; 0 ; q , q ν + 1 ) . { displaystyle I _ { nu} ^ {(2)} (z; q) = { frac {(z / 2) ^ { nu}} {(q, q) _ { infty}}} {} _ {1} phi _ {1} (z ^ {2} / 4; 0; q, q ^ { nu +1}).} Integrovaná prohlášení Upravený q -Besselovy funkce mají následující integrální reprezentace (Ismail (1981) ):
Já ν ( 2 ) ( z ; q ) = ( z 2 / 4 ; q ) ∞ ( 1 π ∫ 0 π cos ν θ d θ ( E i θ z / 2 ; q ) ∞ ( E − i θ z / 2 ; q ) ∞ − hřích ν π π ∫ 0 ∞ E − ν t d t ( − E t z / 2 ; q ) ∞ ( − E − t z / 2 ; q ) ∞ ) , { displaystyle I _ { nu} ^ {(2)} (z; q) = left (z ^ {2} / 4; q right) _ { infty} left ({ frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} { frac { cos nu theta , d theta} { left (e ^ {i theta} z / 2; q right) _ { infty} left (e ^ {- i theta} z / 2; q right) _ { infty}}} - { frac { sin nu pi} { pi}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- nu t} , dt} { left (-e ^ {t} z / 2; q right) _ { infty} left (-e ^ {- t} z / 2; q right) _ { infty}}} right),} K. ν ( 1 ) ( z ; q ) = 1 2 ∫ 0 ∞ E − ν t d t ( − E t / 2 z / 2 ; q ) ∞ ( − E − t / 2 z / 2 ; q ) ∞ , | arg z | < π / 2 , { displaystyle K _ { nu} ^ {(1)} (z; q) = { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- nu t} , dt} { left (-e ^ {t / 2} z / 2; q right) _ { infty} left (-e ^ {- t / 2} z / 2; q vpravo) _ { infty}}}, | arg z | < pi / 2,} K. ν ( 1 ) ( z ; q ) = ∫ 0 ∞ hovno ν d t ( − E t / 2 z / 2 ; q ) ∞ ( − E − t / 2 z / 2 ; q ) ∞ . { displaystyle K _ { nu} ^ {(1)} (z; q) = int _ {0} ^ { infty} { frac { cosh nu , dt} { left (-e ^ {t / 2} z / 2; q right) _ { infty} left (-e ^ {- t / 2} z / 2; q right) _ { infty}}}.} Viz také Reference Chen, Yang; Ismail, Mourad E. H .; Muttalib, K.A. (1994), „Asymptotika základních Besselových funkcí a q -Laguerrovy polynomy ", Journal of Computational and Applied Mathematics , 54 (3): 263–272, doi :10.1016 / 0377-0427 (92) 00128-v Gasper, G .; Rahman, M. (2004), Základní hypergeometrická řada Encyklopedie matematiky a její aplikace, 96 (2. vyd.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 , PAN 2128719 Hahn, Wolfgang (1949), „Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen“, Mathematische Nachrichten , 2 : 4–34, doi :10,1002 / many19490020103 , ISSN 0025-584X , PAN 0030647 Ismail, Mourad E. H. (1981), „Základní Besselovy funkce a polynomy“, SIAM Journal on Mathematical Analysis , 12 (3): 454–468, doi :10.1137/0512038 Ismail, Mourad E. H. (1982), „Nuly základních Besselových funkcí, funkce J ν +sekera (X ) a přidružené ortogonální polynomy ", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 86 (1): 1–19, doi :10.1016 / 0022-247X (82) 90248-7 , ISSN 0022-247X , PAN 0649849 Ismail, M. E. H .; Zhang, R. (2018a), „Integral and Series Reprezentations of q -Polynomials and Functions: Part I ", Analýza a aplikace , 16 (2): 209–281, arXiv :1604.08441 , doi :10.1142 / S0219530517500129 Ismail, M. E. H .; Zhang, R. (2018b), "q -Besselovy funkce a identity typu Rogers-Ramanujan ", Proceedings of the American Mathematical Society , 146 (9): 3633–3646, arXiv :1508.06861 , doi :10.1090 / proc / 13078 Jackson, F. H. (1906a), „I. - O obecných funkcích Legendra a Bessela“, Transakce Royal Society of Edinburgh , 41 (1): 1–28, doi :10.1017 / S0080456800080017 Jackson, F. H. (1906b), „VI. — Věty o zobecnění Besselovy funkce“ , Transakce Royal Society of Edinburgh , 41 (1): 105–118, doi :10.1017 / S0080456800080078 Jackson, F. H. (1906c), „XVII. - Věty o zobecnění Besselovy funkce“ , Transakce Royal Society of Edinburgh , 41 (2): 399–408, doi :10.1017 / s0080456800034475 , JFM 36.0513.02 Jackson, F. H. (1905a), „Aplikace základních čísel na Besselovy a Legendrovy funkce“ , Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 2 (1): 192–220, doi :10.1112 / plms / s2-2.1.192 Jackson, F. H. (1905b), „Aplikace základních čísel na Besselovy a Legendrovy funkce (druhá práce)“ , Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 3 (1): 1–23, doi :10.1112 / plms / s2-3.1.1 Koelink, H. T. (1993), „Hansen-Lommel Orthogonality Relations for Jackson's q -Besselovy funkce ", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 175 (2): 425–437, doi :10.1006 / jmaa.1993.1181 Olshanetsky, M. A .; Rogov, V. B. (1995), „The Modified q -Besselovy funkce a q -Bessel-Macdonald Functions ", arXiv :q-alg / 9509013 Rahman, M. (1987), "Integrální reprezentace a některé transformační vlastnosti q -Besselovy funkce ", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 125 : 58–71, doi :10.1016 / 0022-247x (87) 90164-8 Zhang, R. (2006), „Plancherel-Rotach Asymptotics for q -Série", arXiv :matematika / 0612216