Morley hodnost - Morley rank

v matematická logika, Morley hodnost, představil Michael D. Morley (1965 ), je prostředek k měření velikosti podmnožiny a Modelka a teorie, zevšeobecňující pojem dimenze v algebraická geometrie.

Definice

Opravte teorii T s modelem M. Morleyova hodnost vzorce φ definování a definovatelná (s parametry) podmnožina S z M je pořadové číslo nebo −1 nebo ∞, které je definováno nejprve rekurzivně definováním toho, co to znamená, když má vzorec alespoň Morleyovu hodnost α pro některé pořadové α.

Hodnost Morleye je alespoň 0, pokud S není prázdný.
Pro α pořadový nástupce, Morleyova hodnost je přinejmenším α pokud v některých elementární rozšíření N z M, sada S má nespočetně nekonečně mnoho disjunktních definovatelných podmnožin S_i, každý alespoň z hodnosti α − 1.
Pro α pořadový nenulový limit, Morleyova hodnost je minimálně α pokud je alespoň β pro všechny β méně než α.

Morleyova hodnost je pak definována jako α pokud je alespoň α ale přinejmenším α + 1 a je definováno jako ∞, pokud je alespoň α pro všechny řadové α, a je definováno jako -1, pokud S je prázdný.

Pro definovatelnou podmnožinu modelu M (definováno vzorcem φ) Morleyova hodnost je definována jako Morleyova hodnost φ v libovolném ℵ₀-nasycený elementární rozšíření M. Zejména pro ℵ₀- nasycené modely Morleyova podskupina je Morleyova hodnost jakéhokoli vzorce definujícího podskupinu.

Li φ definování S má hodnost α, a S se rozpadá na ne více než n <ω podmnožiny hodnosti α, pak φ se říká, že má Morley stupeň n. Vzorec definující konečnou množinu má Morleyovu hodnost 0. Volá se vzorec s Morleyovou hodností 1 a Morleyovým stupněm 1 silně minimální. A silně minimální struktura je taková, kde triviální vzorec X = X je silně minimální. Morleyova pozice a silně minimální struktury jsou klíčové nástroje v důkazu Morleyova věta o kategoričnosti a ve větší oblasti modelové teoretiky teorie stability.

Příklady

Prázdná množina má Morleyovu hodnost −1 a naopak cokoli z Morleyovy hodnosti −1 je prázdné.
Podmnožina má Morleyovo pořadí 0 právě tehdy, když je konečná a neprázdná.
Li PROTI je algebraická množina v K.ⁿ, pro algebraicky uzavřené pole K., pak Morleyova hodnost PROTI je stejný jako obvykle Dimenze Krull. Morleyův stupeň PROTI je počet neredukovatelné komponenty maximálního rozměru; to není stejné jako jeho stupně v algebraické geometrii, kromě případů, kdy jeho komponentami maximální dimenze jsou lineární prostory.
The racionální čísla, považováno za objednaná sada, má Morleyovu hodnost ∞, protože obsahuje spočetné disjunktní sjednocení definovatelných podmnožin isomorfních pro sebe.

Viz také

Reference

Alexandre Borovik, Ali Nesin „Skupiny konečné Morleyovy hodnosti“, Oxford Univ. Press (1994)
B. Hart Teorie stability a její varianty (2000), str. 131–148 in Teorie modelů, algebra a geometrie, editoval D. Haskell a kol., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39, Cambridge Univ. Press, New York, 2000. Obsahuje formální definici Morleyovy hodnosti.
David Marker Teorie modelu diferenciálních polí (2000), str. 53–63 palců Teorie modelů, algebra a geometrie, editoval D. Haskell a kol., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39, Cambridge Univ. Press, New York, 2000.
Morley, M.D. (1965), „Kategoricita u moci“, Trans. Amer. Matematika. Soc.Americká matematická společnost, 114 (2): 514–538, doi:10.2307/1994188, JSTOR 1994188
Pillay, Anand (2001) [1994], „Skupina konečné Morleyho pozice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Pillay, Anand (2001) [1994], „Morleyova pozice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS