Věta o struktuře Chevalleye - Chevalleys structure theorem - Wikipedia

v algebraická geometrie, Věta o struktuře Chevalleyho uvádí, že hladké připojení algebraická skupina přes perfektní pole má jedinečnou normální hladkou spojenou afinní algebraickou podskupinu, takže kvocient je abelianská odrůda. Dokázal to Chevalley  (1960 ) (i když předtím oznámil výsledek v roce 1953), Barsotti (1955), a Rosenlicht (1956).

Původní důkaz Chevalleyho a další časné důkazy Barsottiho a Rosenlichta využili myšlenku mapování algebraické skupiny na její Albánská odrůda. Původní důkazy vycházely z Weilovy knihy Základy algebraické geometrie a je těžké je sledovat pro kohokoli, kdo nezná Weilovy základy, ale Conrad (2002) později dal výklad Chevalleyho důkazu v schématicko-teoretické terminologii.

Přes nedokonalá pole stále existuje nejmenší normální připojená lineární podskupina, takže kvocient je abelianská odrůda, ale lineární podskupina nemusí být hladká.

Důsledkem Chevalleyho věty je, že jakákoli algebraická skupina nad polem je kvazi-projektivní.

Příklady

Existuje několik přirozených konstrukcí, které dávají spojené algebraické skupiny, které nejsou ani afinní, ani úplné.

  • Li C je křivka s účinným dělitelem m, pak má přidružený zobecněný Jacobian Jm. Toto je komutativní algebraická skupina, která mapuje jakobijskou odrůdu J0 z C s afinním jádrem. Tak J je rozšíření abelianské odrůdy o afinní algebraickou skupinu. Obecně se toto rozšíření nerozdělí.
  • Redukovaná připojená složka relativního Picardova schématu správného schématu nad dokonalým polem je algebraická skupina, která obecně není afinní ani vlastní.
  • Připojená součást uzavřeného vlákna a Neronův model přes diskrétní oceňovací kruh je algebraická skupina, která obecně není afinní ani správná.
  • Pro analytické skupiny selhávají některé zjevné analogy Chevalleyho věty. Například produkt skupiny přísad C a jakákoli eliptická křivka má hustou sbírku uzavřených (analytických, ale ne algebraických) podskupin izomorfních k C takže neexistuje žádná jedinečná „maximální afinní podskupina“, zatímco produkt dvou kopií multiplikativní skupiny C * je izomorfní (analyticky, ale ne algebraicky) s nerozděleným rozšířením kterékoli dané eliptické křivky C.

Aplikace

Věta o struktuře Chevalley je použita v důkazu o Kritérium Néron – Ogg – Shafarevich.

Reference

  • Barsotti, Iacopo (1955), „Věty o struktuře skupinových odrůd“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, Řada 4, 38: 77–119, doi:10.1007 / bf02413515, ISSN  0003-4622, PAN  0071849
  • Barsotti, Iacopo (1955), „Un teorema di struttura per le varietà gruppali“, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 18: 43–50, PAN  0076427
  • Chevalley, C. (1960), „Une démonstration d'un théorème sur les groupes algébriques“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 39: 307–317, ISSN  0021-7824, PAN  0126447
  • Conrad, Brian (2002), „Moderní důkaz Chevalleyho věty o algebraických skupinách“ (PDF), Journal of Ramanujan Mathematical Society, 17 (1): 1–18, ISSN  0970-1249, PAN  1906417
  • Rosenlicht, Maxwell (1956), „Některé základní věty o algebraických skupinách“, American Journal of Mathematics, 78: 401–443, doi:10.2307/2372523, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372523, PAN  0082183