Regulovaná funkce - Regulated function

v matematika, a regulovaná funkcenebo řízená funkce, je určitý druh dobře vychovaného funkce jediného nemovitý proměnná. Regulované funkce vznikají jako třída integrovatelné funkce a mají několik ekvivalentních charakteristik. Regulované funkce byly zavedeny Nicolas Bourbaki v roce 1949 ve své knize „Livre IV: Fonctions d'une variable réelle“.

Definice

Nechat X být Banachův prostor s normou || - ||_X. Funkce F : [0, T] → X se říká, že je regulovaná funkce pokud platí jedna (a tedy obě) z následujících dvou rovnocenných podmínek:^[1]

pro každého t v interval [0, T], oba levý a pravý limit F(t-) a F(t+) existují v X (kromě, samozřejmě, F(0−) a F(T+));
existuje a sekvence z krokové funkce φ_n : [0, T] → X jednotně konvergující na F (tj. s ohledem na nadřazená norma || - ||_∞).

Vyžaduje to trochu práce, aby se ukázalo, že tyto dvě podmínky jsou rovnocenné. Je však relativně snadné vidět, že druhá podmínka může být znovu uvedena následujícími ekvivalentními způsoby:

pro každého δ > 0, existuje nějaká kroková funkce φ_δ : [0, T] → X takhle

{ displaystyle | f- varphi _ { delta} | _ { infty} = sup _ {t v [0, T]} | f (t) - varphi _ { delta} ( t) | _ {X} < delta;}

F leží v uzavření vesmírného kroku ([0, T]; X) všech funkcí kroků od [0, T] do X (uzavření s ohledem na normu nadřazenosti v prostoru B ([0, T]; X) všech ohraničených funkcí od [0, T] do X).

Vlastnosti regulovaných funkcí

Nechť Reg ([0,T]; X) označují soubor všech regulovaných funkcí F : [0, T] → X.

Součty a skalární násobky regulovaných funkcí jsou opět regulovanými funkcemi. Jinými slovy, Reg ([0,T]; X) je vektorový prostor přes to samé pole K. jako prostor X; typicky, K. bude nemovitý nebo komplexní čísla. Li X je vybaven operací násobení, pak produkty regulovaných funkcí jsou opět regulovanými funkcemi. Jinými slovy, pokud X je K.-algebra, pak je také Reg ([0,T]; X).
Norma nadřazenosti je a norma na reg ([0,T]; X) a Reg ([0,T]; X) je topologický vektorový prostor s ohledem na topologii vyvolanou normou supremum.
Jak je uvedeno výše, Reg ([0,T]; X) je uzávěr v B ([0,T]; X) kroku ([0,T]; X) s ohledem na normu nadřazenosti.
Li X je Banachův prostor, poté Reg ([0,T]; X) je také Banachův prostor s ohledem na normu nadřazenosti.
Reg ([0, T]; R) tvoří nekonečně-dimenzionální real Banachova algebra: konečné lineární kombinace a produkty regulovaných funkcí jsou opět regulované funkce.
Protože a spojitá funkce definované na a kompaktní prostor (například [0, T]) je automaticky rovnoměrně spojité, každá spojitá funkce F : [0, T] → X je rovněž regulován. Ve skutečnosti, s ohledem na nadřazenou normu, prostor C⁰([0, T]; X) spojitých funkcí je a Zavřeno lineární podprostor reg ([0,T]; X).
Li X je Banachův prostor, pak prostor BV ([0,T]; X) funkcí ohraničená variace tvoří a hustý lineární podprostor Reg ([0,T]; X):

{ displaystyle mathrm {Reg} ([0, T]; X) = { overline { mathrm {BV} ([0, T]; X)}} { mbox {w.r.t. }} | cdot | _ { infty}.}

Li X je Banachův prostor, pak funkce F : [0, T] → X je regulováno kdyby a jen kdyby to je z ohraničený φ-variace pro některé φ:

{ displaystyle mathrm {Reg} ([0, T]; X) = bigcup _ { varphi} mathrm {BV} _ { varphi} ([0, T]; X).}

Li X je oddělitelný Hilbertův prostor, poté Reg ([0,T]; X) splňuje větu o kompaktnosti známou jako Fraňková - Věta o výběru Helly.
Sada nespojitosti regulované funkce ohraničená variace BV je počitatelný pro takové funkce mají pouze skokový typ nespojitostí. K tomu stačí poznamenat, že dané ${ displaystyle epsilon> 0}$ , sada bodů, ve kterých se pravá a levá hranice liší o více než ${ displaystyle epsilon}$ je konečný. Sada diskontinuit má zejména změřit nulu, z čehož vyplývá, že regulovaná funkce má dobře definovanou Riemannův integrál.
Poznámka: Podle věty o kategorii Baire množina bodů diskontinuity takové funkce ${ displaystyle F _ { sigma}}$ je buď hubený, nebo má neprázdný interiér. To není vždy ekvivalentní spočetnosti.^[2]

Integrál, jak je definován v krokových funkcích zřejmým způsobem, přirozeně rozšiřuje na Reg ([0,T]; X) definováním integrálu regulované funkce jako limitu integrálů jakékoli posloupnosti krokových funkcí, které k ní rovnoměrně konvergují. Toto rozšíření je dobře definované a splňuje všechny obvyklé vlastnosti integrálu. Zejména regulovaný integrál
- je omezená lineární funkce od Reg ([0,T]; X) až X; tedy v případě X = R, integrál je prvkem prostor, který je dvojí do reg ([0, T]; R);
- souhlasí s Riemannův integrál.

Reference

^ Dieudonné 1969, §7.6
^ Diskuse o výměně zásobníku

Aumann, Georg (1954), Reelle Funktionen, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Bd LXVIII (v němčině), Berlín: Springer-Verlag, str. Viii + 416 PAN0061652
Dieudonné, Jean (1969), Základy moderní analýzy, Academic Press, str. Xviii + 387 PAN0349288
Fraňková, Dana (1991), „Regulované funkce“, Matematika. Bohem., 116 (1): 20–59, ISSN 0862-7959 PAN1100424
Gordon, Russell A. (1994), Integrály Lebesgue, Denjoy, Perron a Henstock, Postgraduální studium matematiky, 4, Providence, RI: American Mathematical Society, str.xii + 395, ISBN 0-8218-3805-9 PAN1288751
Lang, Serge (1985), Rozdělovací potrubí (Druhé vydání), New York: Springer-Verlag, str. Ix + 230, ISBN 0-387-96113-5 PAN772023

externí odkazy

„Jak ukázat, že množina nespojitých bodů rostoucí funkce je nanejvýš spočítatelná“. Stack Exchange. 23. listopadu 2011.
„Funkce ohraničené variace mají skokové nespojitosti“. Stack Exchange. 28. listopadu 2013.
„Jak diskontinuální může být derivát?“. Stack Exchange. 22. února 2012.

[1] Dieudonné 1969, §7.6

[2] Diskuse o výměně zásobníku

[1]

[2]