De Sitterův prostor - De Sitter space
Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)
|
v matematická fyzika, n-dimenzionální de Sitterův prostor (často zkráceno na dSn) je maximálně symetrický Lorentzian potrubí s konstantním kladem skalární zakřivení. Je to Lorentzianův analog n-koule (s kanonickým Riemannova metrika ).
Hlavní aplikací de Sitterova prostoru je jeho použití v obecná relativita, kde slouží jako jeden z nejjednodušších matematických modelů vesmíru shodných s pozorovanými zrychlování rozpínání vesmíru. Přesněji řečeno, de Sitterův prostor je maximálně symetrický vakuové řešení z Einsteinovy rovnice pole s pozitivem kosmologická konstanta (odpovídá kladné hustotě vakuové energie a podtlaku). Existují kosmologické důkazy o tom, že samotný vesmír je asymptoticky de Sitter - viz de Sitter vesmír.
de Sitterův prostor a anti-de Sitterův prostor jsou pojmenovány po Willem de Sitter (1872–1934),[1][2] profesor astronomie na Leiden University a ředitel Leidenská observatoř. Willem de Sitter a Albert Einstein úzce spolupracoval v Leidene ve dvacátých letech 20. století o prostoročasové struktuře našeho vesmíru. de Sitterův prostor byl také objeven nezávisle a přibližně ve stejnou dobu Tullio Levi-Civita.[3]
Definice
de Sitterův prostor lze definovat jako a podmanifold generalizovaného Minkowského prostor jednoho vyššího dimenze. Vezměte Minkowského prostor R1,n se standardem metrický:
de Sitterův prostor je submanifold popsaný hyperboloid jednoho listu
kde je nějaká nenulová konstanta s rozměry délky. The metrický v de Sitterově prostoru je metrika indukovaná z okolní Minkowského metriky. Indukovaná metrika je nedegenerovat a má Lorentzianův podpis. (Všimněte si, že pokud jeden nahradí s ve výše uvedené definici získáme a hyperboloid ze dvou listů. Indukovaná metrika v tomto případě je pozitivní-definitivní a každý list je kopií hyperbolický n-prostor. Podrobný důkaz viz geometrie Minkowského prostoru.)
de Sitterův prostor lze také definovat jako kvocient O (1, n) / O (1, n − 1) ze dvou neurčité ortogonální skupiny, což ukazuje, že se nejedná o Riemannovu bytost symetrický prostor.
Topologicky, de Sitterův prostor je R × Sn−1 (takže pokud n ≥ 3 pak je de Sitterův prostor jednoduše připojeno ).
Vlastnosti
The izometrická skupina de Sitterova prostoru je Skupina Lorentz O (1, n). Metrika tedy má n(n + 1)/2 nezávislý Zabíjení vektorových polí a je maximálně symetrický. Každý maximálně symetrický prostor má konstantní zakřivení. The Riemannův tenzor zakřivení de Sitter je dán
de Sitterův prostor je Einstein potrubí od Ricciho tenzor je úměrná metrice:
To znamená, že de Sitterův prostor je vakuové řešení Einsteinovy rovnice s kosmologickou konstantou danou
The skalární zakřivení de Sitterova prostoru je dáno
Pro případ n = 4, my máme Λ = 3 /α2 a R = 4Λ = 12 /α2.
Statické souřadnice
Můžeme představit statické souřadnice pro de Sittera takto:
kde dává standardní vložení (n − 2)-sphere dovnitř Rn−1. V těchto souřadnicích má metrika de Sitter formu:
Všimněte si, že existuje kosmologický horizont na .
Ploché krájení
Nechat
kde . Pak v čtení metrických souřadnic:
kde je plochá metrika je
Nastavení , získáme konformně plochou metriku:
Otevřete krájení
Nechat
kde formování a se standardní metrikou . Pak se přečte metrika de Sitterova prostoru
kde
je standardní hyperbolická metrika.
Uzavřené krájení
Nechat
kde s popsat a . Pak metrika zní:
Změna časové proměnné na konformní čas pomocí získáme metricky konformně ekvivalentní Einsteinovu statickému vesmíru:
Tyto souřadnice, známé také jako „globální souřadnice“, pokrývají maximální rozšíření de Sitterova prostoru, a lze je proto použít k nalezení jeho Penroseův diagram.[4]
dS krájení
Nechat
kde s popsat a . Pak metrika zní:
kde
je metrika dimenzionální de Sitterův prostor s poloměrem zakřivení v otevřených souřadnicích krájení. Hyperbolická metrika je dána vztahem:
Toto je analytické pokračování otevřených souřadnic řezu pod a také přepínání a protože mění svou časově podobnou / vesmírnou povahu.
Viz také
Reference
- ^ de Sitter, W. (1917), „K relativitě setrvačnosti: Poznámky týkající se Einsteinovy nejnovější hypotézy“, Proc. Kon. Ned. Acad. Mokré., 19: 1217–1225
- ^ de Sitter, W. (1917), „Na zakřivení vesmíru“, Proc. Kon. Ned. Acad. Mokré., 20: 229–243
- ^ Levi-Civita, Tullio (1917), „Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi“, Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei, 26: 519–31
- ^ Hawking & Ellis. Rozsáhlá struktura časoprostoru. Cambridge Univ. Lis.
Další čtení
- Qingming Cheng (2001) [1994], „De Sitterův prostor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Nomizu, Katsumi (1982), „Metrika Lorentz – Poincaré o horním poloprostoru a jeho rozšíření“, Hokkaido Mathematical Journal, 11 (3): 253–261, doi:10,14492 / hokmj / 1381757803
- Coxeter, H. S. M. (1943), „Geometric background for de Sitter's world“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 50 (4): 217–228, doi:10.2307/2303924, JSTOR 2303924
- Susskind, L .; Lindesay, J. (2005), Úvod do černých děr, informací a strunové teorie revoluce: Holografický vesmír, str. 119 (11.5.25)
externí odkazy
- Zjednodušený průvodce de Sitter a anti-de Sitter Spaces Pedagogický úvod do de Sitterových a anti-de Sitterových prostor. Hlavní článek je zjednodušený, téměř bez matematiky. Dodatek je technický a je určen pro čtenáře s fyzikálními nebo matematickými znalostmi.